Algèbre Exemples

${(\frac{a^{3} b^{4}}{a^{2} b})}^{6} = a^{x} b^{y}$

Étape 1

Réécrivez l’équation comme $a^{x} b^{y} = {(\frac{a^{3} b^{4}}{a^{2} b})}^{6}$ .

$a^{x} b^{y} = {(\frac{a^{3} b^{4}}{a^{2} b})}^{6}$

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

Réduisez l’expression $\frac{a^{3} b^{4}}{a^{2} b}$ en annulant les facteurs communs.

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Étape 2.1.1

Factorisez $a^{2}$ à partir de $a^{3} b^{4}$ .

$a^{x} b^{y} = {(\frac{a^{2} (a b^{4})}{a^{2} b})}^{6}$

Étape 2.1.2

Factorisez $a^{2}$ à partir de $a^{2} b$ .

$a^{x} b^{y} = {(\frac{a^{2} (a b^{4})}{a^{2} (b)})}^{6}$

Étape 2.1.3

Annulez le facteur commun.

$a^{x} b^{y} = {(\frac{a^{2} (a b^{4})}{a^{2} b})}^{6}$

Étape 2.1.4

Réécrivez l’expression.

$a^{x} b^{y} = {(\frac{a b^{4}}{b})}^{6}$

Étape 2.2

Réduisez l’expression $\frac{a b^{4}}{b}$ en annulant les facteurs communs.

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Étape 2.2.1

Factorisez $b$ à partir de $a b^{4}$ .

$a^{x} b^{y} = {(\frac{b (a b^{3})}{b})}^{6}$

Étape 2.2.2

Élevez $b$ à la puissance $1$ .

$a^{x} b^{y} = {(\frac{b (a b^{3})}{b^{1}})}^{6}$

Étape 2.2.3

Factorisez $b$ à partir de $b^{1}$ .

$a^{x} b^{y} = {(\frac{b (a b^{3})}{b \cdot 1})}^{6}$

Étape 2.2.4

Annulez le facteur commun.

$a^{x} b^{y} = {(\frac{b (a b^{3})}{b \cdot 1})}^{6}$

Étape 2.2.5

Réécrivez l’expression.

$a^{x} b^{y} = {(\frac{a b^{3}}{1})}^{6}$

Étape 2.3

Divisez $a b^{3}$ par $1$ .

$a^{x} b^{y} = {(a b^{3})}^{6}$

Étape 3

Divisez chaque terme dans $a^{x} b^{y} = {(a b^{3})}^{6}$ par $b^{y}$ et simplifiez.

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Étape 3.1

Divisez chaque terme dans $a^{x} b^{y} = {(a b^{3})}^{6}$ par $b^{y}$ .

$\frac{a^{x} b^{y}}{b^{y}} = \frac{{(a b^{3})}^{6}}{b^{y}}$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Annulez le facteur commun de $b^{y}$ .

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Étape 3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{a^{x} b^{y}}{b^{y}} = \frac{{(a b^{3})}^{6}}{b^{y}}$

Étape 3.2.1.2

Divisez $a^{x}$ par $1$ .

$a^{x} = \frac{{(a b^{3})}^{6}}{b^{y}}$

Étape 3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.3.1.1

Appliquez la règle de produit à $a b^{3}$ .

$a^{x} = \frac{a^{6} {(b^{3})}^{6}}{b^{y}}$

Étape 3.3.1.2

Multipliez les exposants dans ${(b^{3})}^{6}$ .

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Étape 3.3.1.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$a^{x} = \frac{a^{6} b^{3 \cdot 6}}{b^{y}}$

Étape 3.3.1.2.2

Multipliez $3$ par $6$ .

$a^{x} = \frac{a^{6} b^{18}}{b^{y}}$

Étape 3.3.2

Annulez le facteur commun à $b^{18}$ et $b^{y}$ .

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Étape 3.3.2.1

Factorisez $b^{y}$ à partir de $a^{6} b^{18}$ .

$a^{x} = \frac{b^{y} (a^{6} b^{18 - y})}{b^{y}}$

Étape 3.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.3.2.2.1

Multipliez par $1$ .

$a^{x} = \frac{b^{y} (a^{6} b^{18 - y})}{b^{y} \cdot 1}$

Étape 3.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$a^{x} = \frac{b^{y} (a^{6} b^{18 - y})}{b^{y} \cdot 1}$

Étape 3.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$a^{x} = \frac{a^{6} b^{18 - y}}{1}$

Étape 3.3.2.2.4

Divisez $a^{6} b^{18 - y}$ par $1$ .

$a^{x} = a^{6} b^{18 - y}$

Étape 4

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (a^{x}) = \ln (a^{6} b^{18 - y})$

Étape 5

Développez $\ln (a^{x})$ en déplaçant $x$ hors du logarithme.

$x \ln (a) = \ln (a^{6} b^{18 - y})$

Étape 6

Développez le côté droit.

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Étape 6.1

Réécrivez $\ln (a^{6} b^{18 - y})$ comme $\ln (a^{6}) + \ln (b^{18 - y})$ .

$x \ln (a) = \ln (a^{6}) + \ln (b^{18 - y})$

Étape 6.2

Développez $\ln (a^{6})$ en déplaçant $6$ hors du logarithme.

$x \ln (a) = 6 \ln (a) + \ln (b^{18 - y})$

Étape 6.3

Développez $\ln (b^{18 - y})$ en déplaçant $18 - y$ hors du logarithme.

$x \ln (a) = 6 \ln (a) + (18 - y) \ln (b)$

Étape 7

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.1

Appliquez la propriété distributive.

$x \ln (a) = 6 \ln (a) + 18 \ln (b) - y \ln (b)$

Étape 8

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$x \ln (a) - 6 \ln (a) - 18 \ln (b) + y \ln (b) = 0$

Étape 9

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 9.1

Ajoutez $6 \ln (a)$ aux deux côtés de l’équation.

$x \ln (a) - 18 \ln (b) + y \ln (b) = 6 \ln (a)$

Étape 9.2

Ajoutez $18 \ln (b)$ aux deux côtés de l’équation.

$x \ln (a) + y \ln (b) = 6 \ln (a) + 18 \ln (b)$

Étape 9.3

Soustrayez $y \ln (b)$ des deux côtés de l’équation.

$x \ln (a) = 6 \ln (a) + 18 \ln (b) - y \ln (b)$

Étape 10

Divisez chaque terme dans $x \ln (a) = 6 \ln (a) + 18 \ln (b) - y \ln (b)$ par $\ln (a)$ et simplifiez.

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Étape 10.1

Divisez chaque terme dans $x \ln (a) = 6 \ln (a) + 18 \ln (b) - y \ln (b)$ par $\ln (a)$ .

$\frac{x \ln (a)}{\ln (a)} = \frac{6 \ln (a)}{\ln (a)} + \frac{18 \ln (b)}{\ln (a)} + \frac{- y \ln (b)}{\ln (a)}$

Étape 10.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 10.2.1

Annulez le facteur commun de $\ln (a)$ .

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Étape 10.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \ln (a)}{\ln (a)} = \frac{6 \ln (a)}{\ln (a)} + \frac{18 \ln (b)}{\ln (a)} + \frac{- y \ln (b)}{\ln (a)}$

Étape 10.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{6 \ln (a)}{\ln (a)} + \frac{18 \ln (b)}{\ln (a)} + \frac{- y \ln (b)}{\ln (a)}$

Étape 10.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 10.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.3.1.1

Annulez le facteur commun de $\ln (a)$ .

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Étape 10.3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{6 \ln (a)}{\ln (a)} + \frac{18 \ln (b)}{\ln (a)} + \frac{- y \ln (b)}{\ln (a)}$

Étape 10.3.1.1.2

Divisez $6$ par $1$ .

$x = 6 + \frac{18 \ln (b)}{\ln (a)} + \frac{- y \ln (b)}{\ln (a)}$

Étape 10.3.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = 6 + \frac{18 \ln (b)}{\ln (a)} - \frac{y \ln (b)}{\ln (a)}$