Algèbre Exemples

$\frac{{(x + 2)}^{2}}{5} + \frac{{(x - 2)}^{2}}{3} = \frac{16}{3}$

Étape 1

Soustrayez $\frac{16}{3}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{{(x + 2)}^{2}}{5} + \frac{{(x - 2)}^{2}}{3} - \frac{16}{3} = 0$

Étape 2

Multipliez par le plus petit dénominateur commun $15$ , puis simplifiez.

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Étape 2.1

Pour écrire $\frac{{(x + 2)}^{2}}{5}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$15 (\frac{{(x + 2)}^{2}}{5} \cdot \frac{3}{3} + \frac{{(x - 2)}^{2}}{3} - \frac{16}{3}) = 0$

Étape 2.2

Pour écrire $\frac{{(x - 2)}^{2}}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$15 (\frac{{(x + 2)}^{2}}{5} \cdot \frac{3}{3} + \frac{{(x - 2)}^{2}}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{16}{3}) = 0$

Étape 2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $15$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 2.3.1

Multipliez $\frac{{(x + 2)}^{2}}{5}$ par $\frac{3}{3}$ .

$15 (\frac{{(x + 2)}^{2} \cdot 3}{5 \cdot 3} + \frac{{(x - 2)}^{2}}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{16}{3}) = 0$

Étape 2.3.2

Multipliez $5$ par $3$ .

$15 (\frac{{(x + 2)}^{2} \cdot 3}{15} + \frac{{(x - 2)}^{2}}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{16}{3}) = 0$

Étape 2.3.3

Multipliez $\frac{{(x - 2)}^{2}}{3}$ par $\frac{5}{5}$ .

$15 (\frac{{(x + 2)}^{2} \cdot 3}{15} + \frac{{(x - 2)}^{2} \cdot 5}{3 \cdot 5} - \frac{16}{3}) = 0$

Étape 2.3.4

Multipliez $3$ par $5$ .

$15 (\frac{{(x + 2)}^{2} \cdot 3}{15} + \frac{{(x - 2)}^{2} \cdot 5}{15} - \frac{16}{3}) = 0$

Étape 2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$15 (\frac{{(x + 2)}^{2} \cdot 3 + {(x - 2)}^{2} \cdot 5}{15} - \frac{16}{3}) = 0$

Étape 2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.5.1

Réécrivez ${(x + 2)}^{2}$ comme $(x + 2) (x + 2)$ .

$15 (\frac{(x + 2) (x + 2) \cdot 3 + {(x - 2)}^{2} \cdot 5}{15} - \frac{16}{3}) = 0$

Étape 2.5.2

Développez $(x + 2) (x + 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.5.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$15 (\frac{(x (x + 2) + 2 (x + 2)) \cdot 3 + {(x - 2)}^{2} \cdot 5}{15} - \frac{16}{3}) = 0$

Étape 2.5.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$15 (\frac{(x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2)) \cdot 3 + {(x - 2)}^{2} \cdot 5}{15} - \frac{16}{3}) = 0$

Étape 2.5.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$15 (\frac{(x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2) \cdot 3 + {(x - 2)}^{2} \cdot 5}{15} - \frac{16}{3}) = 0$

Étape 2.5.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.5.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.5.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$15 (\frac{(x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2) \cdot 3 + {(x - 2)}^{2} \cdot 5}{15} - \frac{16}{3}) = 0$

Étape 2.5.3.1.2

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$15 (\frac{(x^{2} + 2 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 2) \cdot 3 + {(x - 2)}^{2} \cdot 5}{15} - \frac{16}{3}) = 0$

Étape 2.5.3.1.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$15 (\frac{(x^{2} + 2 x + 2 x + 4) \cdot 3 + {(x - 2)}^{2} \cdot 5}{15} - \frac{16}{3}) = 0$

Étape 2.5.3.2

Additionnez $2 x$ et $2 x$ .

$15 (\frac{(x^{2} + 4 x + 4) \cdot 3 + {(x - 2)}^{2} \cdot 5}{15} - \frac{16}{3}) = 0$

Étape 2.5.4

Appliquez la propriété distributive.

$15 (\frac{x^{2} \cdot 3 + 4 x \cdot 3 + 4 \cdot 3 + {(x - 2)}^{2} \cdot 5}{15} - \frac{16}{3}) = 0$

Étape 2.5.5

Simplifiez

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Étape 2.5.5.1

Déplacez $3$ à gauche de $x^{2}$ .

$15 (\frac{3 \cdot x^{2} + 4 x \cdot 3 + 4 \cdot 3 + {(x - 2)}^{2} \cdot 5}{15} - \frac{16}{3}) = 0$

Étape 2.5.5.2

Multipliez $3$ par $4$ .

$15 (\frac{3 \cdot x^{2} + 12 x + 4 \cdot 3 + {(x - 2)}^{2} \cdot 5}{15} - \frac{16}{3}) = 0$

Étape 2.5.5.3

Multipliez $4$ par $3$ .

$15 (\frac{3 \cdot x^{2} + 12 x + 12 + {(x - 2)}^{2} \cdot 5}{15} - \frac{16}{3}) = 0$

Étape 2.5.6

Réécrivez ${(x - 2)}^{2}$ comme $(x - 2) (x - 2)$ .

$15 (\frac{3 x^{2} + 12 x + 12 + (x - 2) (x - 2) \cdot 5}{15} - \frac{16}{3}) = 0$

Étape 2.5.7

Développez $(x - 2) (x - 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.5.7.1

Appliquez la propriété distributive.

$15 (\frac{3 x^{2} + 12 x + 12 + (x (x - 2) - 2 (x - 2)) \cdot 5}{15} - \frac{16}{3}) = 0$

Étape 2.5.7.2

Appliquez la propriété distributive.

$15 (\frac{3 x^{2} + 12 x + 12 + (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2)) \cdot 5}{15} - \frac{16}{3}) = 0$

Étape 2.5.7.3

Appliquez la propriété distributive.

$15 (\frac{3 x^{2} + 12 x + 12 + (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2) \cdot 5}{15} - \frac{16}{3}) = 0$

Étape 2.5.8

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.5.8.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.5.8.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$15 (\frac{3 x^{2} + 12 x + 12 + (x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2) \cdot 5}{15} - \frac{16}{3}) = 0$

Étape 2.5.8.1.2

Déplacez $- 2$ à gauche de $x$ .

$15 (\frac{3 x^{2} + 12 x + 12 + (x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2) \cdot 5}{15} - \frac{16}{3}) = 0$

Étape 2.5.8.1.3

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$15 (\frac{3 x^{2} + 12 x + 12 + (x^{2} - 2 x - 2 x + 4) \cdot 5}{15} - \frac{16}{3}) = 0$

Étape 2.5.8.2

Soustrayez $2 x$ de $- 2 x$ .

$15 (\frac{3 x^{2} + 12 x + 12 + (x^{2} - 4 x + 4) \cdot 5}{15} - \frac{16}{3}) = 0$

Étape 2.5.9

Appliquez la propriété distributive.

$15 (\frac{3 x^{2} + 12 x + 12 + x^{2} \cdot 5 - 4 x \cdot 5 + 4 \cdot 5}{15} - \frac{16}{3}) = 0$

Étape 2.5.10

Simplifiez

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Étape 2.5.10.1

Déplacez $5$ à gauche de $x^{2}$ .

$15 (\frac{3 x^{2} + 12 x + 12 + 5 \cdot x^{2} - 4 x \cdot 5 + 4 \cdot 5}{15} - \frac{16}{3}) = 0$

Étape 2.5.10.2

Multipliez $5$ par $- 4$ .

$15 (\frac{3 x^{2} + 12 x + 12 + 5 \cdot x^{2} - 20 x + 4 \cdot 5}{15} - \frac{16}{3}) = 0$

Étape 2.5.10.3

Multipliez $4$ par $5$ .

$15 (\frac{3 x^{2} + 12 x + 12 + 5 \cdot x^{2} - 20 x + 20}{15} - \frac{16}{3}) = 0$

Étape 2.5.11

Additionnez $3 x^{2}$ et $5 x^{2}$ .

$15 (\frac{8 x^{2} + 12 x + 12 - 20 x + 20}{15} - \frac{16}{3}) = 0$

Étape 2.5.12

Soustrayez $20 x$ de $12 x$ .

$15 (\frac{8 x^{2} - 8 x + 12 + 20}{15} - \frac{16}{3}) = 0$

Étape 2.5.13

Additionnez $12$ et $20$ .

$15 (\frac{8 x^{2} - 8 x + 32}{15} - \frac{16}{3}) = 0$

Étape 2.5.14

Factorisez $8$ à partir de $8 x^{2} - 8 x + 32$ .

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Étape 2.5.14.1

Factorisez $8$ à partir de $8 x^{2}$ .

$15 (\frac{8 (x^{2}) - 8 x + 32}{15} - \frac{16}{3}) = 0$

Étape 2.5.14.2

Factorisez $8$ à partir de $- 8 x$ .

$15 (\frac{8 (x^{2}) + 8 (- x) + 32}{15} - \frac{16}{3}) = 0$

Étape 2.5.14.3

Factorisez $8$ à partir de $32$ .

$15 (\frac{8 (x^{2}) + 8 (- x) + 8 (4)}{15} - \frac{16}{3}) = 0$

Étape 2.5.14.4

Factorisez $8$ à partir de $8 (x^{2}) + 8 (- x)$ .

$15 (\frac{8 (x^{2} - x) + 8 (4)}{15} - \frac{16}{3}) = 0$

Étape 2.5.14.5

Factorisez $8$ à partir de $8 (x^{2} - x) + 8 (4)$ .

$15 (\frac{8 (x^{2} - x + 4)}{15} - \frac{16}{3}) = 0$

Étape 2.6

Pour écrire $- \frac{16}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$15 (\frac{8 (x^{2} - x + 4)}{15} - \frac{16}{3} \cdot \frac{5}{5}) = 0$

Étape 2.7

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $15$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 2.7.1

Multipliez $\frac{16}{3}$ par $\frac{5}{5}$ .

$15 (\frac{8 (x^{2} - x + 4)}{15} - \frac{16 \cdot 5}{3 \cdot 5}) = 0$

Étape 2.7.2

Multipliez $3$ par $5$ .

$15 (\frac{8 (x^{2} - x + 4)}{15} - \frac{16 \cdot 5}{15}) = 0$

Étape 2.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$15 (\frac{8 (x^{2} - x + 4) - 16 \cdot 5}{15}) = 0$

Étape 2.9

Annulez le facteur commun de $15$ .

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Étape 2.9.1

Annulez le facteur commun.

$15 (\frac{8 (x^{2} - x + 4) - 16 \cdot 5}{15}) = 0$

Étape 2.9.2

Réécrivez l’expression.

$8 (x^{2} - x + 4) - 16 \cdot 5 = 0$

Étape 2.10

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.10.1

Appliquez la propriété distributive.

$8 x^{2} + 8 (- x) + 8 \cdot 4 - 16 \cdot 5 = 0$

Étape 2.10.2

Simplifiez

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Étape 2.10.2.1

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$8 x^{2} - 8 x + 8 \cdot 4 - 16 \cdot 5 = 0$

Étape 2.10.2.2

Multipliez $8$ par $4$ .

$8 x^{2} - 8 x + 32 - 16 \cdot 5 = 0$

Étape 2.10.3

Multipliez $- 16$ par $5$ .

$8 x^{2} - 8 x + 32 - 80 = 0$

Étape 2.11

Soustrayez $80$ de $32$ .

$8 x^{2} - 8 x - 48 = 0$

Étape 3

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 4

Remplacez les valeurs $a = 8$ , $b = - 8$ et $c = - 48$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot (8 \cdot - 48)}}{2 \cdot 8}$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1.1

Élevez $- 8$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 8 \cdot - 48}}{2 \cdot 8}$

Étape 5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 8 \cdot - 48$ .

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Étape 5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $8$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 32 \cdot - 48}}{2 \cdot 8}$

Étape 5.1.2.2

Multipliez $- 32$ par $- 48$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 1536}}{2 \cdot 8}$

Étape 5.1.3

Additionnez $64$ et $1536$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{1600}}{2 \cdot 8}$

Étape 5.1.4

Réécrivez $1600$ comme $40^{2}$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{40^{2}}}{2 \cdot 8}$

Étape 5.1.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \frac{8 \pm 40}{2 \cdot 8}$

Étape 5.2

Multipliez $2$ par $8$ .

$x = \frac{8 \pm 40}{16}$

Étape 5.3

Simplifiez $\frac{8 \pm 40}{16}$ .

$x = \frac{1 \pm 5}{2}$

Étape 6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = 3, - 2$