Algèbre Exemples

$\frac{8 x^{3} - 125 y^{3}}{{(2 x + 5 y)}^{3}} \div \frac{4 x^{2} + 10 x y + 25 y^{2}}{4 x^{2} + 20 x y + 25 y^{2}}$

Étape 1

Pour diviser par une fraction, multipliez par sa réciproque.

$\frac{8 x^{3} - 125 y^{3}}{{(2 x + 5 y)}^{3}} \cdot \frac{4 x^{2} + 20 x y + 25 y^{2}}{4 x^{2} + 10 x y + 25 y^{2}}$

Étape 2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.1

Réécrivez $8 x^{3}$ comme ${(2 x)}^{3}$ .

$\frac{{(2 x)}^{3} - 125 y^{3}}{{(2 x + 5 y)}^{3}} \cdot \frac{4 x^{2} + 20 x y + 25 y^{2}}{4 x^{2} + 10 x y + 25 y^{2}}$

Étape 2.2

Réécrivez $125 y^{3}$ comme ${(5 y)}^{3}$ .

$\frac{{(2 x)}^{3} - {(5 y)}^{3}}{{(2 x + 5 y)}^{3}} \cdot \frac{4 x^{2} + 20 x y + 25 y^{2}}{4 x^{2} + 10 x y + 25 y^{2}}$

Étape 2.3

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des cubes, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ où $a = 2 x$ et $b = 5 y$ .

$\frac{(2 x - (5 y)) ({(2 x)}^{2} + 2 x (5 y) + {(5 y)}^{2})}{{(2 x + 5 y)}^{3}} \cdot \frac{4 x^{2} + 20 x y + 25 y^{2}}{4 x^{2} + 10 x y + 25 y^{2}}$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$\frac{(2 x - 5 y) ({(2 x)}^{2} + 2 x (5 y) + {(5 y)}^{2})}{{(2 x + 5 y)}^{3}} \cdot \frac{4 x^{2} + 20 x y + 25 y^{2}}{4 x^{2} + 10 x y + 25 y^{2}}$

Étape 2.4.2

Appliquez la règle de produit à $2 x$ .

$\frac{(2 x - 5 y) (2^{2} x^{2} + 2 x (5 y) + {(5 y)}^{2})}{{(2 x + 5 y)}^{3}} \cdot \frac{4 x^{2} + 20 x y + 25 y^{2}}{4 x^{2} + 10 x y + 25 y^{2}}$

Étape 2.4.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{(2 x - 5 y) (4 x^{2} + 2 x (5 y) + {(5 y)}^{2})}{{(2 x + 5 y)}^{3}} \cdot \frac{4 x^{2} + 20 x y + 25 y^{2}}{4 x^{2} + 10 x y + 25 y^{2}}$

Étape 2.4.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{(2 x - 5 y) (4 x^{2} + 2 \cdot 5 x y + {(5 y)}^{2})}{{(2 x + 5 y)}^{3}} \cdot \frac{4 x^{2} + 20 x y + 25 y^{2}}{4 x^{2} + 10 x y + 25 y^{2}}$

Étape 2.4.5

Multipliez $2$ par $5$ .

$\frac{(2 x - 5 y) (4 x^{2} + 10 x y + {(5 y)}^{2})}{{(2 x + 5 y)}^{3}} \cdot \frac{4 x^{2} + 20 x y + 25 y^{2}}{4 x^{2} + 10 x y + 25 y^{2}}$

Étape 2.4.6

Appliquez la règle de produit à $5 y$ .

$\frac{(2 x - 5 y) (4 x^{2} + 10 x y + 5^{2} y^{2})}{{(2 x + 5 y)}^{3}} \cdot \frac{4 x^{2} + 20 x y + 25 y^{2}}{4 x^{2} + 10 x y + 25 y^{2}}$

Étape 2.4.7

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$\frac{(2 x - 5 y) (4 x^{2} + 10 x y + 25 y^{2})}{{(2 x + 5 y)}^{3}} \cdot \frac{4 x^{2} + 20 x y + 25 y^{2}}{4 x^{2} + 10 x y + 25 y^{2}}$

Étape 3

Simplifiez les termes.

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Étape 3.1

Annulez le facteur commun de $4 x^{2} + 10 x y + 25 y^{2}$ .

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Étape 3.1.1

Factorisez $4 x^{2} + 10 x y + 25 y^{2}$ à partir de $(2 x - 5 y) (4 x^{2} + 10 x y + 25 y^{2})$ .

$\frac{(4 x^{2} + 10 x y + 25 y^{2}) (2 x - 5 y)}{{(2 x + 5 y)}^{3}} \cdot \frac{4 x^{2} + 20 x y + 25 y^{2}}{4 x^{2} + 10 x y + 25 y^{2}}$

Étape 3.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{(4 x^{2} + 10 x y + 25 y^{2}) (2 x - 5 y)}{{(2 x + 5 y)}^{3}} \cdot \frac{4 x^{2} + 20 x y + 25 y^{2}}{4 x^{2} + 10 x y + 25 y^{2}}$

Étape 3.1.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 x - 5 y}{{(2 x + 5 y)}^{3}} (4 x^{2} + 20 x y + 25 y^{2})$

Étape 3.2

Multipliez $\frac{2 x - 5 y}{{(2 x + 5 y)}^{3}}$ par $4 x^{2} + 20 x y + 25 y^{2}$ .

$\frac{(2 x - 5 y) (4 x^{2} + 20 x y + 25 y^{2})}{{(2 x + 5 y)}^{3}}$

Étape 4

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 4.1

Réécrivez $4 x^{2}$ comme ${(2 x)}^{2}$ .

$\frac{(2 x - 5 y) ({(2 x)}^{2} + 20 x y + 25 y^{2})}{{(2 x + 5 y)}^{3}}$

Étape 4.2

Réécrivez $25 y^{2}$ comme ${(5 y)}^{2}$ .

$\frac{(2 x - 5 y) ({(2 x)}^{2} + 20 x y + {(5 y)}^{2})}{{(2 x + 5 y)}^{3}}$

Étape 4.3

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$20 x y = 2 \cdot (2 x) \cdot (5 y)$

Étape 4.4

Réécrivez le polynôme.

$\frac{(2 x - 5 y) ({(2 x)}^{2} + 2 \cdot (2 x) \cdot (5 y) + {(5 y)}^{2})}{{(2 x + 5 y)}^{3}}$

Étape 4.5

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , où $a = 2 x$ et $b = 5 y$ .

$\frac{(2 x - 5 y) {(2 x + 5 y)}^{2}}{{(2 x + 5 y)}^{3}}$

Étape 5

Annulez le facteur commun à ${(2 x + 5 y)}^{2}$ et ${(2 x + 5 y)}^{3}$ .

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Étape 5.1

Factorisez ${(2 x + 5 y)}^{2}$ à partir de $(2 x - 5 y) {(2 x + 5 y)}^{2}$ .

$\frac{{(2 x + 5 y)}^{2} (2 x - 5 y)}{{(2 x + 5 y)}^{3}}$

Étape 5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.1

Factorisez ${(2 x + 5 y)}^{2}$ à partir de ${(2 x + 5 y)}^{3}$ .

$\frac{{(2 x + 5 y)}^{2} (2 x - 5 y)}{{(2 x + 5 y)}^{2} (2 x + 5 y)}$

Étape 5.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{{(2 x + 5 y)}^{2} (2 x - 5 y)}{{(2 x + 5 y)}^{2} (2 x + 5 y)}$

Étape 5.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 x - 5 y}{2 x + 5 y}$