Algèbre Exemples

$\frac{y + 2}{y^{2} - y - 2} + \frac{y + 1}{y^{2} - 4} = \frac{1}{y + 1}$

Étape 1

Factorisez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Factorisez $y^{2} - y - 2$ à l’aide de la méthode AC.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 2$ et dont la somme est $- 1$ .

$- 2, 1$

Étape 1.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{y + 2}{(y - 2) (y + 1)} + \frac{y + 1}{y^{2} - 4} = \frac{1}{y + 1}$

Étape 1.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{y + 2}{(y - 2) (y + 1)} + \frac{y + 1}{y^{2} - 2^{2}} = \frac{1}{y + 1}$

Étape 1.3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = y$ et $b = 2$ .

$\frac{y + 2}{(y - 2) (y + 1)} + \frac{y + 1}{(y + 2) (y - 2)} = \frac{1}{y + 1}$

Étape 2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$(y - 2) (y + 1), (y + 2) (y - 2), y + 1$

Étape 2.2

Le plus petit multiple commun est le plus petit nombre positif dans lequel tous les nombres peuvent être divisés parfaitement.

1. Indiquez les facteurs premiers de chaque nombre.

2. Multipliez chaque facteur le plus grand nombre de fois qu’il apparaît dans un nombre.

Étape 2.3

Le nombre $1$ n’est pas un nombre premier car il ne comporte qu’un facteur positif, qui est lui-même.

Pas premier

Étape 2.4

Le plus petit multiple commun de $1, 1, 1$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un nombre ou l’autre.

$1$

Étape 2.5

Le facteur pour $y - 2$ est $y - 2$ lui-même.

$(y - 2) = y - 2$

$(y - 2)$ se produit $1$ fois.

Étape 2.6

Le facteur pour $y + 1$ est $y + 1$ lui-même.

$(y + 1) = y + 1$

$(y + 1)$ se produit $1$ fois.

Étape 2.7

Le facteur pour $y + 2$ est $y + 2$ lui-même.

$(y + 2) = y + 2$

$(y + 2)$ se produit $1$ fois.

Étape 2.8

Le facteur pour $y - 2$ est $y - 2$ lui-même.

$(y - 2) = y - 2$

$(y - 2)$ se produit $1$ fois.

Étape 2.9

Le facteur pour $y + 1$ est $y + 1$ lui-même.

$(y + 1) = y + 1$

$(y + 1)$ se produit $1$ fois.

Étape 2.10

Le plus petit multiple commun de $y - 2, y + 1, y + 2, y - 2, y + 1$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un terme ou l’autre.

$(y - 2) (y + 1) (y + 2)$

Étape 3

Multiplier chaque terme dans $\frac{y + 2}{(y - 2) (y + 1)} + \frac{y + 1}{(y + 2) (y - 2)} = \frac{1}{y + 1}$ par $(y - 2) (y + 1) (y + 2)$ afin d’éliminer les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{y + 2}{(y - 2) (y + 1)} + \frac{y + 1}{(y + 2) (y - 2)} = \frac{1}{y + 1}$ par $(y - 2) (y + 1) (y + 2)$ .

$\frac{y + 2}{(y - 2) (y + 1)} ((y - 2) (y + 1) (y + 2)) + \frac{y + 1}{(y + 2) (y - 2)} ((y - 2) (y + 1) (y + 2)) = \frac{1}{y + 1} ((y - 2) (y + 1) (y + 2))$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1.1

Annulez le facteur commun de $(y - 2) (y + 1)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y + 2}{(y - 2) (y + 1)} ((y - 2) (y + 1) (y + 2)) + \frac{y + 1}{(y + 2) (y - 2)} ((y - 2) (y + 1) (y + 2)) = \frac{1}{y + 1} ((y - 2) (y + 1) (y + 2))$

Étape 3.2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$(y + 2) (y + 2) + \frac{y + 1}{(y + 2) (y - 2)} ((y - 2) (y + 1) (y + 2)) = \frac{1}{y + 1} ((y - 2) (y + 1) (y + 2))$

Étape 3.2.1.2

Élevez $y + 2$ à la puissance $1$ .

${(y + 2)}^{1} (y + 2) + \frac{y + 1}{(y + 2) (y - 2)} ((y - 2) (y + 1) (y + 2)) = \frac{1}{y + 1} ((y - 2) (y + 1) (y + 2))$

Étape 3.2.1.3

Élevez $y + 2$ à la puissance $1$ .

${(y + 2)}^{1} {(y + 2)}^{1} + \frac{y + 1}{(y + 2) (y - 2)} ((y - 2) (y + 1) (y + 2)) = \frac{1}{y + 1} ((y - 2) (y + 1) (y + 2))$

Étape 3.2.1.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

${(y + 2)}^{1 + 1} + \frac{y + 1}{(y + 2) (y - 2)} ((y - 2) (y + 1) (y + 2)) = \frac{1}{y + 1} ((y - 2) (y + 1) (y + 2))$

Étape 3.2.1.5

Additionnez $1$ et $1$ .

${(y + 2)}^{2} + \frac{y + 1}{(y + 2) (y - 2)} ((y - 2) (y + 1) (y + 2)) = \frac{1}{y + 1} ((y - 2) (y + 1) (y + 2))$

Étape 3.2.1.6

Annulez le facteur commun de $(y - 2) (y + 2)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1.6.1

Factorisez $(y - 2) (y + 2)$ à partir de $(y + 2) (y - 2)$ .

${(y + 2)}^{2} + \frac{y + 1}{(y - 2) (y + 2) (1)} ((y - 2) (y + 1) (y + 2)) = \frac{1}{y + 1} ((y - 2) (y + 1) (y + 2))$

Étape 3.2.1.6.2

Factorisez $(y - 2) (y + 2)$ à partir de $(y - 2) (y + 1) (y + 2)$ .

${(y + 2)}^{2} + \frac{y + 1}{(y - 2) (y + 2) (1)} ((y - 2) (y + 2) (y + 1)) = \frac{1}{y + 1} ((y - 2) (y + 1) (y + 2))$

Étape 3.2.1.6.3

Annulez le facteur commun.

${(y + 2)}^{2} + \frac{y + 1}{(y - 2) (y + 2) \cdot 1} ((y - 2) (y + 2) (y + 1)) = \frac{1}{y + 1} ((y - 2) (y + 1) (y + 2))$

Étape 3.2.1.6.4

Réécrivez l’expression.

${(y + 2)}^{2} + (y + 1) (y + 1) = \frac{1}{y + 1} ((y - 2) (y + 1) (y + 2))$

Étape 3.2.1.7

Élevez $y + 1$ à la puissance $1$ .

${(y + 2)}^{2} + {(y + 1)}^{1} (y + 1) = \frac{1}{y + 1} ((y - 2) (y + 1) (y + 2))$

Étape 3.2.1.8

Élevez $y + 1$ à la puissance $1$ .

${(y + 2)}^{2} + {(y + 1)}^{1} {(y + 1)}^{1} = \frac{1}{y + 1} ((y - 2) (y + 1) (y + 2))$

Étape 3.2.1.9

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

${(y + 2)}^{2} + {(y + 1)}^{1 + 1} = \frac{1}{y + 1} ((y - 2) (y + 1) (y + 2))$

Étape 3.2.1.10

Additionnez $1$ et $1$ .

${(y + 2)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = \frac{1}{y + 1} ((y - 2) (y + 1) (y + 2))$

Étape 3.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1

Annulez le facteur commun de $y + 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1.1

Factorisez $y + 1$ à partir de $(y - 2) (y + 1) (y + 2)$ .

${(y + 2)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = \frac{1}{y + 1} ((y + 1) ((y - 2) (y + 2)))$

Étape 3.3.1.2

Annulez le facteur commun.

${(y + 2)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = \frac{1}{y + 1} ((y + 1) ((y - 2) (y + 2)))$

Étape 3.3.1.3

Réécrivez l’expression.

${(y + 2)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = (y - 2) (y + 2)$

Étape 3.3.2

Développez $(y - 2) (y + 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.1

Appliquez la propriété distributive.

${(y + 2)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = y (y + 2) - 2 (y + 2)$

Étape 3.3.2.2

Appliquez la propriété distributive.

${(y + 2)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = y \cdot y + y \cdot 2 - 2 (y + 2)$

Étape 3.3.2.3

Appliquez la propriété distributive.

${(y + 2)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = y \cdot y + y \cdot 2 - 2 y - 2 \cdot 2$

Étape 3.3.3

Simplifiez les termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.3.1

Associez les termes opposés dans $y \cdot y + y \cdot 2 - 2 y - 2 \cdot 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.3.1.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $y \cdot 2$ et $- 2 y$ .

${(y + 2)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = y \cdot y + 2 y - 2 y - 2 \cdot 2$

Étape 3.3.3.1.2

Soustrayez $2 y$ de $2 y$ .

${(y + 2)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = y \cdot y + 0 - 2 \cdot 2$

Étape 3.3.3.1.3

Additionnez $y \cdot y$ et $0$ .

${(y + 2)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = y \cdot y - 2 \cdot 2$

Étape 3.3.3.2

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.3.2.1

Multipliez $y$ par $y$ .

${(y + 2)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = y^{2} - 2 \cdot 2$

Étape 3.3.3.2.2

Multipliez $- 2$ par $2$ .

${(y + 2)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = y^{2} - 4$

Étape 4

Résolvez l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Déplacez tous les termes contenant $y$ du côté gauche de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.1

Soustrayez $y^{2}$ des deux côtés de l’équation.

${(y + 2)}^{2} + {(y + 1)}^{2} - y^{2} = - 4$

Étape 4.1.2

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.1

Réécrivez ${(y + 2)}^{2}$ comme $(y + 2) (y + 2)$ .

$(y + 2) (y + 2) + {(y + 1)}^{2} - y^{2} = - 4$

Étape 4.1.2.2

Développez $(y + 2) (y + 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$y (y + 2) + 2 (y + 2) + {(y + 1)}^{2} - y^{2} = - 4$

Étape 4.1.2.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$y \cdot y + y \cdot 2 + 2 (y + 2) + {(y + 1)}^{2} - y^{2} = - 4$

Étape 4.1.2.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$y \cdot y + y \cdot 2 + 2 y + 2 \cdot 2 + {(y + 1)}^{2} - y^{2} = - 4$

Étape 4.1.2.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.3.1.1

Multipliez $y$ par $y$ .

$y^{2} + y \cdot 2 + 2 y + 2 \cdot 2 + {(y + 1)}^{2} - y^{2} = - 4$

Étape 4.1.2.3.1.2

Déplacez $2$ à gauche de $y$ .

$y^{2} + 2 \cdot y + 2 y + 2 \cdot 2 + {(y + 1)}^{2} - y^{2} = - 4$

Étape 4.1.2.3.1.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$y^{2} + 2 y + 2 y + 4 + {(y + 1)}^{2} - y^{2} = - 4$

Étape 4.1.2.3.2

Additionnez $2 y$ et $2 y$ .

$y^{2} + 4 y + 4 + {(y + 1)}^{2} - y^{2} = - 4$

Étape 4.1.2.4

Réécrivez ${(y + 1)}^{2}$ comme $(y + 1) (y + 1)$ .

$y^{2} + 4 y + 4 + (y + 1) (y + 1) - y^{2} = - 4$

Étape 4.1.2.5

Développez $(y + 1) (y + 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$y^{2} + 4 y + 4 + y (y + 1) + 1 (y + 1) - y^{2} = - 4$

Étape 4.1.2.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$y^{2} + 4 y + 4 + y \cdot y + y \cdot 1 + 1 (y + 1) - y^{2} = - 4$

Étape 4.1.2.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$y^{2} + 4 y + 4 + y \cdot y + y \cdot 1 + 1 y + 1 \cdot 1 - y^{2} = - 4$

Étape 4.1.2.6

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.6.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.6.1.1

Multipliez $y$ par $y$ .

$y^{2} + 4 y + 4 + y^{2} + y \cdot 1 + 1 y + 1 \cdot 1 - y^{2} = - 4$

Étape 4.1.2.6.1.2

Multipliez $y$ par $1$ .

$y^{2} + 4 y + 4 + y^{2} + y + 1 y + 1 \cdot 1 - y^{2} = - 4$

Étape 4.1.2.6.1.3

Multipliez $y$ par $1$ .

$y^{2} + 4 y + 4 + y^{2} + y + y + 1 \cdot 1 - y^{2} = - 4$

Étape 4.1.2.6.1.4

Multipliez $1$ par $1$ .

$y^{2} + 4 y + 4 + y^{2} + y + y + 1 - y^{2} = - 4$

Étape 4.1.2.6.2

Additionnez $y$ et $y$ .

$y^{2} + 4 y + 4 + y^{2} + 2 y + 1 - y^{2} = - 4$

Étape 4.1.3

Associez les termes opposés dans $y^{2} + 4 y + 4 + y^{2} + 2 y + 1 - y^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.3.1

Soustrayez $y^{2}$ de $y^{2}$ .

$4 y + 4 + y^{2} + 2 y + 1 + 0 = - 4$

Étape 4.1.3.2

Additionnez $4 y + 4 + y^{2} + 2 y + 1$ et $0$ .

$4 y + 4 + y^{2} + 2 y + 1 = - 4$

Étape 4.1.4

Additionnez $4 y$ et $2 y$ .

$6 y + 4 + y^{2} + 1 = - 4$

Étape 4.1.5

Additionnez $4$ et $1$ .

$6 y + y^{2} + 5 = - 4$

Étape 4.2

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$6 y + y^{2} + 5 + 4 = 0$

Étape 4.3

Additionnez $5$ et $4$ .

$6 y + y^{2} + 9 = 0$

Étape 4.4

Factorisez le côté gauche de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.4.1

Laissez $u = y$ . Remplacez toutes les occurrences de $y$ par $u$ .

$6 u + u^{2} + 9 = 0$

Étape 4.4.2

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.4.2.1

Réorganisez les termes.

$u^{2} + 6 u + 9 = 0$

Étape 4.4.2.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$u^{2} + 6 u + 3^{2} = 0$

Étape 4.4.2.3

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$6 u = 2 \cdot u \cdot 3$

Étape 4.4.2.4

Réécrivez le polynôme.

$u^{2} + 2 \cdot u \cdot 3 + 3^{2} = 0$

Étape 4.4.2.5

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , où $a = u$ et $b = 3$ .

${(u + 3)}^{2} = 0$

Étape 4.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

${(y + 3)}^{2} = 0$

Étape 4.5

Définissez le $y + 3$ égal à $0$ .

$y + 3 = 0$

Étape 4.6

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$y = - 3$