Algèbre Exemples

${(x + 1)}^{2} = - \frac{1}{2} (y - 2)$

Étape 1

Résolvez $y$ .

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Étape 1.1

Réécrivez l’équation comme $- \frac{1}{2} \cdot (y - 2) = {(x + 1)}^{2}$ .

$- \frac{1}{2} \cdot (y - 2) = {(x + 1)}^{2}$

Étape 1.2

Multipliez les deux côtés de l’équation par $- 2$ .

$- 2 (- \frac{1}{2} \cdot (y - 2)) = - 2 {(x + 1)}^{2}$

Étape 1.3

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.3.1

Simplifiez $- 2 (- \frac{1}{2} \cdot (y - 2))$ .

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Étape 1.3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$- 2 (- \frac{1}{2} y - \frac{1}{2} \cdot - 2) = - 2 {(x + 1)}^{2}$

Étape 1.3.1.2

Associez $y$ et $\frac{1}{2}$ .

$- 2 (- \frac{y}{2} - \frac{1}{2} \cdot - 2) = - 2 {(x + 1)}^{2}$

Étape 1.3.1.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.3.1.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{2}$ dans le numérateur.

$- 2 (- \frac{y}{2} + \frac{- 1}{2} \cdot - 2) = - 2 {(x + 1)}^{2}$

Étape 1.3.1.3.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$- 2 (- \frac{y}{2} + \frac{- 1}{2} \cdot (2 (- 1))) = - 2 {(x + 1)}^{2}$

Étape 1.3.1.3.3

Annulez le facteur commun.

$- 2 (- \frac{y}{2} + \frac{- 1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)) = - 2 {(x + 1)}^{2}$

Étape 1.3.1.3.4

Réécrivez l’expression.

$- 2 (- \frac{y}{2} - 1 \cdot - 1) = - 2 {(x + 1)}^{2}$

Étape 1.3.1.4

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- 2 (- \frac{y}{2} + 1) = - 2 {(x + 1)}^{2}$

Étape 1.3.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$- 2 (- \frac{y}{2}) - 2 \cdot 1 = - 2 {(x + 1)}^{2}$

Étape 1.3.1.6

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.3.1.6.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{y}{2}$ dans le numérateur.

$- 2 \frac{- y}{2} - 2 \cdot 1 = - 2 {(x + 1)}^{2}$

Étape 1.3.1.6.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{- y}{2} - 2 \cdot 1 = - 2 {(x + 1)}^{2}$

Étape 1.3.1.6.3

Annulez le facteur commun.

$2 \cdot - 1 \frac{- y}{2} - 2 \cdot 1 = - 2 {(x + 1)}^{2}$

Étape 1.3.1.6.4

Réécrivez l’expression.

$- - y - 2 \cdot 1 = - 2 {(x + 1)}^{2}$

Étape 1.3.1.7

Multipliez.

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Étape 1.3.1.7.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 y - 2 \cdot 1 = - 2 {(x + 1)}^{2}$

Étape 1.3.1.7.2

Simplifiez

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Étape 1.3.1.7.2.1

Multipliez $y$ par $1$ .

$y - 2 \cdot 1 = - 2 {(x + 1)}^{2}$

Étape 1.3.1.7.2.2

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$y - 2 = - 2 {(x + 1)}^{2}$

Étape 1.4

Simplifiez $- 2 {(x + 1)}^{2}$ .

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Étape 1.4.1

Réécrivez.

$y - 2 = 0 + 0 - 2 {(x + 1)}^{2}$

Étape 1.4.2

Réécrivez ${(x + 1)}^{2}$ comme $(x + 1) (x + 1)$ .

$y - 2 = - 2 ((x + 1) (x + 1))$

Étape 1.4.3

Développez $(x + 1) (x + 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.4.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$y - 2 = - 2 (x (x + 1) + 1 (x + 1))$

Étape 1.4.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$y - 2 = - 2 (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1))$

Étape 1.4.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$y - 2 = - 2 (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1)$

Étape 1.4.4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.4.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.4.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$y - 2 = - 2 (x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1)$

Étape 1.4.4.1.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$y - 2 = - 2 (x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1)$

Étape 1.4.4.1.3

Multipliez $x$ par $1$ .

$y - 2 = - 2 (x^{2} + x + x + 1 \cdot 1)$

Étape 1.4.4.1.4

Multipliez $1$ par $1$ .

$y - 2 = - 2 (x^{2} + x + x + 1)$

Étape 1.4.4.2

Additionnez $x$ et $x$ .

$y - 2 = - 2 (x^{2} + 2 x + 1)$

Étape 1.4.5

Appliquez la propriété distributive.

$y - 2 = - 2 x^{2} - 2 (2 x) - 2 \cdot 1$

Étape 1.4.6

Simplifiez

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Étape 1.4.6.1

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$y - 2 = - 2 x^{2} - 4 x - 2 \cdot 1$

Étape 1.4.6.2

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$y - 2 = - 2 x^{2} - 4 x - 2$

Étape 1.5

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 1.5.1

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$y = - 2 x^{2} - 4 x - 2 + 2$

Étape 1.5.2

Associez les termes opposés dans $- 2 x^{2} - 4 x - 2 + 2$ .

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Étape 1.5.2.1

Additionnez $- 2$ et $2$ .

$y = - 2 x^{2} - 4 x + 0$

Étape 1.5.2.2

Additionnez $- 2 x^{2} - 4 x$ et $0$ .

$y = - 2 x^{2} - 4 x$

Étape 2

Déterminez les probabilités de la parabole donnée.

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Étape 2.1

Réécrivez l’équation en forme de sommet.

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Étape 2.1.1

Complétez le carré pour $- 2 x^{2} - 4 x$ .

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Étape 2.1.1.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = - 2$

$b = - 4$

$c = 0$

Étape 2.1.1.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 2.1.1.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 2.1.1.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 4}{2 \cdot - 2}$

Étape 2.1.1.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.1.1.3.2.1

Annulez le facteur commun à $- 4$ et $2$ .

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Étape 2.1.1.3.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 4$ .

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot - 2}$

Étape 2.1.1.3.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.1.1.3.2.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot - 2$ .

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 (- 2)}$

Étape 2.1.1.3.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot - 2}$

Étape 2.1.1.3.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{- 2}{- 2}$

Étape 2.1.1.3.2.2

Annulez le facteur commun de $- 2$ .

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Étape 2.1.1.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{- 2}{- 2}$

Étape 2.1.1.3.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$d = 1$

Étape 2.1.1.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 2.1.1.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 4)}^{2}}{4 \cdot - 2}$

Étape 2.1.1.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.1.1.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1.4.2.1.1

Annulez le facteur commun à ${(- 4)}^{2}$ et $4$ .

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Étape 2.1.1.4.2.1.1.1

Réécrivez $- 4$ comme $- 1 (4)$ .

$e = 0 - \frac{{(- 1 (4))}^{2}}{4 \cdot - 2}$

Étape 2.1.1.4.2.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $- 1 (4)$ .

$e = 0 - \frac{{(- 1)}^{2} \cdot 4^{2}}{4 \cdot - 2}$

Étape 2.1.1.4.2.1.1.3

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{1 \cdot 4^{2}}{4 \cdot - 2}$

Étape 2.1.1.4.2.1.1.4

Multipliez $4^{2}$ par $1$ .

$e = 0 - \frac{4^{2}}{4 \cdot - 2}$

Étape 2.1.1.4.2.1.1.5

Factorisez $4$ à partir de $4^{2}$ .

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot - 2}$

Étape 2.1.1.4.2.1.1.6

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.1.1.4.2.1.1.6.1

Factorisez $4$ à partir de $4 \cdot - 2$ .

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 (- 2)}$

Étape 2.1.1.4.2.1.1.6.2

Annulez le facteur commun.

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot - 2}$

Étape 2.1.1.4.2.1.1.6.3

Réécrivez l’expression.

$e = 0 - \frac{4}{- 2}$

Étape 2.1.1.4.2.1.2

Annulez le facteur commun à $4$ et $- 2$ .

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Étape 2.1.1.4.2.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$e = 0 - \frac{2 (2)}{- 2}$

Étape 2.1.1.4.2.1.2.2

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{2}{- 1}$ .

$e = 0 - (- 1 \cdot 2)$

Étape 2.1.1.4.2.1.3

Multipliez $- (- 1 \cdot 2)$ .

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Étape 2.1.1.4.2.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$e = 0 - - 2$

Étape 2.1.1.4.2.1.3.2

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$e = 0 + 2$

Étape 2.1.1.4.2.2

Additionnez $0$ et $2$ .

$e = 2$

Étape 2.1.1.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $- 2 {(x + 1)}^{2} + 2$ .

$- 2 {(x + 1)}^{2} + 2$

Étape 2.1.2

Définissez $y$ égal au nouveau côté droit.

$y = - 2 {(x + 1)}^{2} + 2$

Étape 2.2

Utilisez la forme du sommet, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , pour déterminer les valeurs de $a$ , $h$ et $k$ .

$a = - 2$

$h = - 1$

$k = 2$

Étape 2.3

Comme la valeur de $a$ est négative, la parabole ouvre vers le bas.

ouvre vers le bas

Étape 2.4

Déterminez le sommet $(h, k)$ .

$(- 1, 2)$

Étape 2.5

Déterminez $p$ , la distance du sommet au foyer.

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Étape 2.5.1

Déterminez la distance du sommet à un foyer de la parabole en utilisant la formule suivante.

$\frac{1}{4 a}$

Étape 2.5.2

Remplacez la valeur de $a$ dans la fonction.

$\frac{1}{4 \cdot - 2}$

Étape 2.5.3

Simplifiez

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Étape 2.5.3.1

Multipliez $4$ par $- 2$ .

$\frac{1}{- 8}$

Étape 2.5.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{8}$

Étape 2.6

Déterminez le foyer.

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Étape 2.6.1

Le foyer d’une parabole peut être trouvé en ajoutant $p$ à la coordonnée y $k$ si la parabole ouvre vers le haut ou vers le bas.

$(h, k + p)$

Étape 2.6.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $p$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(- 1, \frac{15}{8})$

Étape 2.7

Déterminez l’axe de symétrie en trouvant la droite qui passe par le sommet et le foyer.

$x = - 1$

Étape 2.8

Déterminez la directrice.

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Étape 2.8.1

La directrice d’une parabole est la droite horizontale déterminée en soustrayant $p$ de la coordonnée y $k$ du sommet si la parabole ouvre vers le haut ou vers le bas.

$y = k - p$

Étape 2.8.2

Remplacez les valeurs connues de $p$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$y = \frac{17}{8}$

Étape 2.9

Utilisez les propriétés de la parabole pour analyser la parabole et la représenter sous forme graphique.

Direction : ouvre vers le bas

Sommet : $(- 1, 2)$

Foyer : $(- 1, \frac{15}{8})$

Axe de symétrie : $x = - 1$

Directrice : $y = \frac{17}{8}$

Direction : ouvre vers le bas

Sommet : $(- 1, 2)$

Foyer : $(- 1, \frac{15}{8})$

Axe de symétrie : $x = - 1$

Directrice : $y = \frac{17}{8}$

Étape 3

Sélectionnez quelques valeurs $x$ et insérez-les dans l’équation pour déterminer les valeurs $y$ correspondantes. Les valeurs $x$ devraient être sélectionnées autour du sommet.

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Étape 3.1

Remplacez la variable $x$ par $- 2$ dans l’expression.

$f (- 2) = - 2 {(- 2)}^{2} - 4 \cdot - 2$

Étape 3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.1

Multipliez $- 2$ par ${(- 2)}^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.2.1.1.1

Multipliez $- 2$ par ${(- 2)}^{2}$ .

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Étape 3.2.1.1.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $1$ .

$f (- 2) = (- 2) {(- 2)}^{2} - 4 \cdot - 2$

Étape 3.2.1.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (- 2) = {(- 2)}^{1 + 2} - 4 \cdot - 2$

Étape 3.2.1.1.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$f (- 2) = {(- 2)}^{3} - 4 \cdot - 2$

Étape 3.2.1.2

Élevez $- 2$ à la puissance $3$ .

$f (- 2) = - 8 - 4 \cdot - 2$

Étape 3.2.1.3

Multipliez $- 4$ par $- 2$ .

$f (- 2) = - 8 + 8$

Étape 3.2.2

Additionnez $- 8$ et $8$ .

$f (- 2) = 0$

Étape 3.2.3

La réponse finale est $0$ .

$0$

Étape 3.3

La valeur $y$ sur $x = - 2$ est $0$ .

$y = 0$

Étape 3.4

Remplacez la variable $x$ par $- 3$ dans l’expression.

$f (- 3) = - 2 {(- 3)}^{2} - 4 \cdot - 3$

Étape 3.5

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.5.1.1

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$f (- 3) = - 2 \cdot 9 - 4 \cdot - 3$

Étape 3.5.1.2

Multipliez $- 2$ par $9$ .

$f (- 3) = - 18 - 4 \cdot - 3$

Étape 3.5.1.3

Multipliez $- 4$ par $- 3$ .

$f (- 3) = - 18 + 12$

Étape 3.5.2

Additionnez $- 18$ et $12$ .

$f (- 3) = - 6$

Étape 3.5.3

La réponse finale est $- 6$ .

$- 6$

Étape 3.6

La valeur $y$ sur $x = - 3$ est $- 6$ .

$y = - 6$

Étape 3.7

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = - 2 {(0)}^{2} - 4 \cdot 0$

Étape 3.8

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.8.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.8.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = - 2 \cdot 0 - 4 \cdot 0$

Étape 3.8.1.2

Multipliez $- 2$ par $0$ .

$f (0) = 0 - 4 \cdot 0$

Étape 3.8.1.3

Multipliez $- 4$ par $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Étape 3.8.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$f (0) = 0$

Étape 3.8.3

La réponse finale est $0$ .

$0$

Étape 3.9

La valeur $y$ sur $x = 0$ est $0$ .

$y = 0$

Étape 3.10

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f (1) = - 2 {(1)}^{2} - 4 \cdot 1$

Étape 3.11

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.11.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.11.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (1) = - 2 \cdot 1 - 4 \cdot 1$

Étape 3.11.1.2

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$f (1) = - 2 - 4 \cdot 1$

Étape 3.11.1.3

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$f (1) = - 2 - 4$

Étape 3.11.2

Soustrayez $4$ de $- 2$ .

$f (1) = - 6$

Étape 3.11.3

La réponse finale est $- 6$ .

$- 6$

Étape 3.12

La valeur $y$ sur $x = 1$ est $- 6$ .

$y = - 6$

Étape 3.13

Représentez la parabole en utilisant ses propriétés et les points sélectionnés.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 3 & - 6 \\ - 2 & 0 \\ - 1 & 2 \\ 0 & 0 \\ 1 & - 6 \end{array}$

Étape 4

Représentez la parabole en utilisant ses propriétés et les points sélectionnés.

Direction : ouvre vers le bas

Sommet : $(- 1, 2)$

Foyer : $(- 1, \frac{15}{8})$

Axe de symétrie : $x = - 1$

Directrice : $y = \frac{17}{8}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 3 & - 6 \\ - 2 & 0 \\ - 1 & 2 \\ 0 & 0 \\ 1 & - 6 \end{array}$

Étape 5