Algèbre Exemples

$\frac{1}{8} x^{3} + \frac{8}{27}$

Étape 1

Réécrivez $\frac{1}{8} x^{3}$ comme ${(\frac{1}{2} x)}^{3}$ .

${(\frac{1}{2} x)}^{3} + \frac{8}{27}$

Étape 2

Réécrivez $8$ comme $2^{3}$ .

${(\frac{1}{2} x)}^{3} + \frac{2^{3}}{27}$

Étape 3

Réécrivez $27$ comme $3^{3}$ .

${(\frac{1}{2} x)}^{3} + \frac{2^{3}}{3^{3}}$

Étape 4

Réécrivez $\frac{2^{3}}{3^{3}}$ comme ${(\frac{2}{3})}^{3}$ .

${(\frac{1}{2} x)}^{3} + {(\frac{2}{3})}^{3}$

Étape 5

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la somme des cubes, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ où $a = \frac{1}{2} x$ et $b = \frac{2}{3}$ .

$(\frac{1}{2} x + \frac{2}{3}) ({(\frac{1}{2} x)}^{2} - (\frac{1}{2} x) \frac{2}{3} + {(\frac{2}{3})}^{2})$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $x$ .

$(\frac{x}{2} + \frac{2}{3}) ({(\frac{1}{2} x)}^{2} - (\frac{1}{2} x) \frac{2}{3} + {(\frac{2}{3})}^{2})$

Étape 6.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $x$ .

$(\frac{x}{2} + \frac{2}{3}) ({(\frac{x}{2})}^{2} - (\frac{1}{2} x) \frac{2}{3} + {(\frac{2}{3})}^{2})$

Étape 6.3

Appliquez la règle de produit à $\frac{x}{2}$ .

$(\frac{x}{2} + \frac{2}{3}) (\frac{x^{2}}{2^{2}} - (\frac{1}{2} x) \frac{2}{3} + {(\frac{2}{3})}^{2})$

Étape 6.4

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$(\frac{x}{2} + \frac{2}{3}) (\frac{x^{2}}{4} - (\frac{1}{2} x) \frac{2}{3} + {(\frac{2}{3})}^{2})$

Étape 6.5

Associez $\frac{1}{2}$ et $x$ .

$(\frac{x}{2} + \frac{2}{3}) (\frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{2} \cdot \frac{2}{3} + {(\frac{2}{3})}^{2})$

Étape 6.6

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.6.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{x}{2}$ dans le numérateur.

$(\frac{x}{2} + \frac{2}{3}) (\frac{x^{2}}{4} + \frac{- x}{2} \cdot \frac{2}{3} + {(\frac{2}{3})}^{2})$

Étape 6.6.2

Annulez le facteur commun.

$(\frac{x}{2} + \frac{2}{3}) (\frac{x^{2}}{4} + \frac{- x}{2} \cdot \frac{2}{3} + {(\frac{2}{3})}^{2})$

Étape 6.6.3

Réécrivez l’expression.

$(\frac{x}{2} + \frac{2}{3}) (\frac{x^{2}}{4} - x \frac{1}{3} + {(\frac{2}{3})}^{2})$

Étape 6.7

Associez $\frac{1}{3}$ et $x$ .

$(\frac{x}{2} + \frac{2}{3}) (\frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{3} + {(\frac{2}{3})}^{2})$

Étape 6.8

Appliquez la règle de produit à $\frac{2}{3}$ .

$(\frac{x}{2} + \frac{2}{3}) (\frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{3} + \frac{2^{2}}{3^{2}})$

Étape 6.9

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$(\frac{x}{2} + \frac{2}{3}) (\frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{3} + \frac{4}{3^{2}})$

Étape 6.10

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$(\frac{x}{2} + \frac{2}{3}) (\frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{3} + \frac{4}{9})$

Étape 6.11

Factorisez.

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Étape 6.11.1

Factorisez $\frac{1}{36}$ dans chaque terme.

$(\frac{x}{2} + \frac{2}{3}) (\frac{1}{36} (9 x^{2} - 12 x + 16))$

Étape 6.11.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(\frac{x}{2} + \frac{2}{3}) \frac{1}{36} (9 x^{2} - 12 x + 16)$