Algèbre Exemples

$\log (x) + \log (x + 3) = 2 \log (x + 1)$

Étape 1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log (x (x + 3)) = 2 \log (x + 1)$

Étape 1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\log (x \cdot x + x \cdot 3) = 2 \log (x + 1)$

Étape 1.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.3.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$\log (x^{2} + x \cdot 3) = 2 \log (x + 1)$

Étape 1.3.2

Déplacez $3$ à gauche de $x$ .

$\log (x^{2} + 3 x) = 2 \log (x + 1)$

Étape 2

Simplifiez $2 \log (x + 1)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$\log (x^{2} + 3 x) = \log ({(x + 1)}^{2})$

Étape 3

Pour que l’équation soit égale, l’argument des logarithmes des deux côtés de l’équation doit être égal.

$x^{2} + 3 x = {(x + 1)}^{2}$

Étape 4

Résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Simplifiez ${(x + 1)}^{2}$ .

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Étape 4.1.1

Réécrivez ${(x + 1)}^{2}$ comme $(x + 1) (x + 1)$ .

$x^{2} + 3 x = (x + 1) (x + 1)$

Étape 4.1.2

Développez $(x + 1) (x + 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} + 3 x = x (x + 1) + 1 (x + 1)$

Étape 4.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} + 3 x = x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1)$

Étape 4.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} + 3 x = x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1$

Étape 4.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$x^{2} + 3 x = x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1$

Étape 4.1.3.1.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$x^{2} + 3 x = x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1$

Étape 4.1.3.1.3

Multipliez $x$ par $1$ .

$x^{2} + 3 x = x^{2} + x + x + 1 \cdot 1$

Étape 4.1.3.1.4

Multipliez $1$ par $1$ .

$x^{2} + 3 x = x^{2} + x + x + 1$

Étape 4.1.3.2

Additionnez $x$ et $x$ .

$x^{2} + 3 x = x^{2} + 2 x + 1$

Étape 4.2

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 4.2.1

Soustrayez $x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} + 3 x - x^{2} = 2 x + 1$

Étape 4.2.2

Soustrayez $2 x$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} + 3 x - x^{2} - 2 x = 1$

Étape 4.2.3

Associez les termes opposés dans $x^{2} + 3 x - x^{2} - 2 x$ .

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Étape 4.2.3.1

Soustrayez $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$3 x + 0 - 2 x = 1$

Étape 4.2.3.2

Additionnez $3 x$ et $0$ .

$3 x - 2 x = 1$

Étape 4.2.4

Soustrayez $2 x$ de $3 x$ .

$x = 1$