Algèbre Exemples

$\frac{{(x^{\frac{1}{3}})}^{2}}{\sqrt[3]{x^{2}}} = x^{a}$

Étape 1

Réécrivez l’équation comme $x^{a} = \frac{{(x^{\frac{1}{3}})}^{2}}{\sqrt[3]{x^{2}}}$ .

$x^{a} = \frac{{(x^{\frac{1}{3}})}^{2}}{\sqrt[3]{x^{2}}}$

Étape 2

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (x^{a}) = \ln (\frac{{(x^{\frac{1}{3}})}^{2}}{\sqrt[3]{x^{2}}})$

Étape 3

Développez $\ln (x^{a})$ en déplaçant $a$ hors du logarithme.

$a \ln (x) = \ln (\frac{{(x^{\frac{1}{3}})}^{2}}{\sqrt[3]{x^{2}}})$

Étape 4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.1

Simplifiez $\ln (\frac{{(x^{\frac{1}{3}})}^{2}}{\sqrt[3]{x^{2}}})$ .

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Étape 4.1.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{3}})}^{2}$ .

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Étape 4.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$a \ln (x) = \ln (\frac{x^{\frac{1}{3} \cdot 2}}{\sqrt[3]{x^{2}}})$

Étape 4.1.1.2

Associez $\frac{1}{3}$ et $2$ .

$a \ln (x) = \ln (\frac{x^{\frac{2}{3}}}{\sqrt[3]{x^{2}}})$

Étape 4.1.2

Multipliez $\frac{x^{\frac{2}{3}}}{\sqrt[3]{x^{2}}}$ par $\frac{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}$ .

$a \ln (x) = \ln (\frac{x^{\frac{2}{3}}}{\sqrt[3]{x^{2}}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}})$

Étape 4.1.3

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.1.3.1

Multipliez $\frac{x^{\frac{2}{3}}}{\sqrt[3]{x^{2}}}$ par $\frac{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}$ .

$a \ln (x) = \ln (\frac{x^{\frac{2}{3}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{\sqrt[3]{x^{2}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}})$

Étape 4.1.3.2

Élevez $\sqrt[3]{x^{2}}$ à la puissance $1$ .

$a \ln (x) = \ln (\frac{x^{\frac{2}{3}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{1} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}})$

Étape 4.1.3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$a \ln (x) = \ln (\frac{x^{\frac{2}{3}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{1 + 2}})$

Étape 4.1.3.4

Additionnez $1$ et $2$ .

$a \ln (x) = \ln (\frac{x^{\frac{2}{3}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{3}})$

Étape 4.1.3.5

Réécrivez ${\sqrt[3]{x^{2}}}^{3}$ comme $x^{2}$ .

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Étape 4.1.3.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{x^{2}}$ comme $x^{\frac{2}{3}}$ .

$a \ln (x) = \ln (\frac{x^{\frac{2}{3}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{{(x^{\frac{2}{3}})}^{3}})$

Étape 4.1.3.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$a \ln (x) = \ln (\frac{x^{\frac{2}{3}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{\frac{2}{3} \cdot 3}})$

Étape 4.1.3.5.3

Associez $\frac{2}{3}$ et $3$ .

$a \ln (x) = \ln (\frac{x^{\frac{2}{3}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{\frac{2 \cdot 3}{3}}})$

Étape 4.1.3.5.4

Multipliez $2$ par $3$ .

$a \ln (x) = \ln (\frac{x^{\frac{2}{3}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{\frac{6}{3}}})$

Étape 4.1.3.5.5

Annulez le facteur commun à $6$ et $3$ .

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Étape 4.1.3.5.5.1

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$a \ln (x) = \ln (\frac{x^{\frac{2}{3}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{\frac{3 \cdot 2}{3}}})$

Étape 4.1.3.5.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.1.3.5.5.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$a \ln (x) = \ln (\frac{x^{\frac{2}{3}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{\frac{3 \cdot 2}{3 (1)}}})$

Étape 4.1.3.5.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$a \ln (x) = \ln (\frac{x^{\frac{2}{3}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1}}})$

Étape 4.1.3.5.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$a \ln (x) = \ln (\frac{x^{\frac{2}{3}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{\frac{2}{1}}})$

Étape 4.1.3.5.5.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$a \ln (x) = \ln (\frac{x^{\frac{2}{3}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{2}})$

Étape 4.1.4

Placez $x^{\frac{2}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$a \ln (x) = \ln (\frac{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{2} x^{- \frac{2}{3}}})$

Étape 4.1.5

Multipliez $x^{2}$ par $x^{- \frac{2}{3}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.1.5.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$a \ln (x) = \ln (\frac{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{2 - \frac{2}{3}}})$

Étape 4.1.5.2

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$a \ln (x) = \ln (\frac{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{2 \cdot \frac{3}{3} - \frac{2}{3}}})$

Étape 4.1.5.3

Associez $2$ et $\frac{3}{3}$ .

$a \ln (x) = \ln (\frac{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{\frac{2 \cdot 3}{3} - \frac{2}{3}}})$

Étape 4.1.5.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$a \ln (x) = \ln (\frac{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{\frac{2 \cdot 3 - 2}{3}}})$

Étape 4.1.5.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.5.5.1

Multipliez $2$ par $3$ .

$a \ln (x) = \ln (\frac{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{\frac{6 - 2}{3}}})$

Étape 4.1.5.5.2

Soustrayez $2$ de $6$ .

$a \ln (x) = \ln (\frac{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{\frac{4}{3}}})$

Étape 4.1.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.6.1

Réécrivez ${\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}$ comme $\sqrt[3]{{(x^{2})}^{2}}$ .

$a \ln (x) = \ln (\frac{\sqrt[3]{{(x^{2})}^{2}}}{x^{\frac{4}{3}}})$

Étape 4.1.6.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{2}$ .

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Étape 4.1.6.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$a \ln (x) = \ln (\frac{\sqrt[3]{x^{2 \cdot 2}}}{x^{\frac{4}{3}}})$

Étape 4.1.6.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$a \ln (x) = \ln (\frac{\sqrt[3]{x^{4}}}{x^{\frac{4}{3}}})$

Étape 4.1.6.3

Factorisez $x^{3}$ .

$a \ln (x) = \ln (\frac{\sqrt[3]{x^{3} x}}{x^{\frac{4}{3}}})$

Étape 4.1.6.4

Extrayez les termes de sous le radical.

$a \ln (x) = \ln (\frac{x \sqrt[3]{x}}{x^{\frac{4}{3}}})$

Étape 4.1.7

Placez $x^{1}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$a \ln (x) = \ln (\frac{\sqrt[3]{x}}{x^{\frac{4}{3}} x^{- 1}})$

Étape 4.1.8

Multipliez $x^{\frac{4}{3}}$ par $x^{- 1}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.1.8.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$a \ln (x) = \ln (\frac{\sqrt[3]{x}}{x^{\frac{4}{3} - 1}})$

Étape 4.1.8.2

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$a \ln (x) = \ln (\frac{\sqrt[3]{x}}{x^{\frac{4}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}})$

Étape 4.1.8.3

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$a \ln (x) = \ln (\frac{\sqrt[3]{x}}{x^{\frac{4}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}})$

Étape 4.1.8.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$a \ln (x) = \ln (\frac{\sqrt[3]{x}}{x^{\frac{4 - 1 \cdot 3}{3}}})$

Étape 4.1.8.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.8.5.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$a \ln (x) = \ln (\frac{\sqrt[3]{x}}{x^{\frac{4 - 3}{3}}})$

Étape 4.1.8.5.2

Soustrayez $3$ de $4$ .

$a \ln (x) = \ln (\frac{\sqrt[3]{x}}{x^{\frac{1}{3}}})$

Étape 5

Divisez chaque terme dans $a \ln (x) = \ln (\frac{\sqrt[3]{x}}{x^{\frac{1}{3}}})$ par $\ln (x)$ et simplifiez.

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Étape 5.1

Divisez chaque terme dans $a \ln (x) = \ln (\frac{\sqrt[3]{x}}{x^{\frac{1}{3}}})$ par $\ln (x)$ .

$\frac{a \ln (x)}{\ln (x)} = \frac{\ln (\frac{\sqrt[3]{x}}{x^{\frac{1}{3}}})}{\ln (x)}$

Étape 5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.1

Annulez le facteur commun de $\ln (x)$ .

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Étape 5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{a \ln (x)}{\ln (x)} = \frac{\ln (\frac{\sqrt[3]{x}}{x^{\frac{1}{3}}})}{\ln (x)}$

Étape 5.2.1.2

Divisez $a$ par $1$ .

$a = \frac{\ln (\frac{\sqrt[3]{x}}{x^{\frac{1}{3}}})}{\ln (x)}$