Algèbre Exemples

$\frac{2 + i}{3 - i} + \frac{4 - i}{3 + i}$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Multipliez le numérateur et le dénominateur de $\frac{2 + i}{3 - i}$ par le conjugué de $3 - i$ pour rendre le dénominateur réel.

$\frac{2 + i}{3 - i} \cdot \frac{3 + i}{3 + i} + \frac{4 - i}{3 + i}$

Étape 1.2

Multipliez.

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Étape 1.2.1

Associez.

$\frac{(2 + i) (3 + i)}{(3 - i) (3 + i)} + \frac{4 - i}{3 + i}$

Étape 1.2.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.2.1

Développez $(2 + i) (3 + i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.2.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (3 + i) + i (3 + i)}{(3 - i) (3 + i)} + \frac{4 - i}{3 + i}$

Étape 1.2.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 \cdot 3 + 2 i + i (3 + i)}{(3 - i) (3 + i)} + \frac{4 - i}{3 + i}$

Étape 1.2.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 \cdot 3 + 2 i + i \cdot 3 + i i}{(3 - i) (3 + i)} + \frac{4 - i}{3 + i}$

Étape 1.2.2.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.2.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.2.2.1.1

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{6 + 2 i + i \cdot 3 + i i}{(3 - i) (3 + i)} + \frac{4 - i}{3 + i}$

Étape 1.2.2.2.1.2

Déplacez $3$ à gauche de $i$ .

$\frac{6 + 2 i + 3 \cdot i + i i}{(3 - i) (3 + i)} + \frac{4 - i}{3 + i}$

Étape 1.2.2.2.1.3

Multipliez $i i$ .

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Étape 1.2.2.2.1.3.1

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{6 + 2 i + 3 i + i^{1} i}{(3 - i) (3 + i)} + \frac{4 - i}{3 + i}$

Étape 1.2.2.2.1.3.2

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{6 + 2 i + 3 i + i^{1} i^{1}}{(3 - i) (3 + i)} + \frac{4 - i}{3 + i}$

Étape 1.2.2.2.1.3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{6 + 2 i + 3 i + i^{1 + 1}}{(3 - i) (3 + i)} + \frac{4 - i}{3 + i}$

Étape 1.2.2.2.1.3.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{6 + 2 i + 3 i + i^{2}}{(3 - i) (3 + i)} + \frac{4 - i}{3 + i}$

Étape 1.2.2.2.1.4

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{6 + 2 i + 3 i - 1}{(3 - i) (3 + i)} + \frac{4 - i}{3 + i}$

Étape 1.2.2.2.2

Soustrayez $1$ de $6$ .

$\frac{5 + 2 i + 3 i}{(3 - i) (3 + i)} + \frac{4 - i}{3 + i}$

Étape 1.2.2.2.3

Additionnez $2 i$ et $3 i$ .

$\frac{5 + 5 i}{(3 - i) (3 + i)} + \frac{4 - i}{3 + i}$

Étape 1.2.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.2.3.1

Développez $(3 - i) (3 + i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.2.3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5 + 5 i}{3 (3 + i) - i (3 + i)} + \frac{4 - i}{3 + i}$

Étape 1.2.3.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5 + 5 i}{3 \cdot 3 + 3 i - i (3 + i)} + \frac{4 - i}{3 + i}$

Étape 1.2.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5 + 5 i}{3 \cdot 3 + 3 i - i \cdot 3 - i i} + \frac{4 - i}{3 + i}$

Étape 1.2.3.2

Simplifiez

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Étape 1.2.3.2.1

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{5 + 5 i}{9 + 3 i - i \cdot 3 - i i} + \frac{4 - i}{3 + i}$

Étape 1.2.3.2.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{5 + 5 i}{9 + 3 i - 3 i - i i} + \frac{4 - i}{3 + i}$

Étape 1.2.3.2.3

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{5 + 5 i}{9 + 3 i - 3 i - (i^{1} i)} + \frac{4 - i}{3 + i}$

Étape 1.2.3.2.4

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{5 + 5 i}{9 + 3 i - 3 i - (i^{1} i^{1})} + \frac{4 - i}{3 + i}$

Étape 1.2.3.2.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{5 + 5 i}{9 + 3 i - 3 i - i^{1 + 1}} + \frac{4 - i}{3 + i}$

Étape 1.2.3.2.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{5 + 5 i}{9 + 3 i - 3 i - i^{2}} + \frac{4 - i}{3 + i}$

Étape 1.2.3.2.7

Soustrayez $3 i$ de $3 i$ .

$\frac{5 + 5 i}{9 + 0 - i^{2}} + \frac{4 - i}{3 + i}$

Étape 1.2.3.2.8

Additionnez $9$ et $0$ .

$\frac{5 + 5 i}{9 - i^{2}} + \frac{4 - i}{3 + i}$

Étape 1.2.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.3.3.1

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{5 + 5 i}{9 - - 1} + \frac{4 - i}{3 + i}$

Étape 1.2.3.3.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{5 + 5 i}{9 + 1} + \frac{4 - i}{3 + i}$

Étape 1.2.3.4

Additionnez $9$ et $1$ .

$\frac{5 + 5 i}{10} + \frac{4 - i}{3 + i}$

Étape 1.3

Annulez le facteur commun à $5 + 5 i$ et $10$ .

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Étape 1.3.1

Factorisez $5$ à partir de $5$ .

$\frac{5 \cdot 1 + 5 i}{10} + \frac{4 - i}{3 + i}$

Étape 1.3.2

Factorisez $5$ à partir de $5 i$ .

$\frac{5 \cdot 1 + 5 (i)}{10} + \frac{4 - i}{3 + i}$

Étape 1.3.3

Factorisez $5$ à partir de $5 \cdot 1 + 5 (i)$ .

$\frac{5 \cdot (1 + i)}{10} + \frac{4 - i}{3 + i}$

Étape 1.3.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.3.4.1

Factorisez $5$ à partir de $10$ .

$\frac{5 \cdot (1 + i)}{5 (2)} + \frac{4 - i}{3 + i}$

Étape 1.3.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 \cdot (1 + i)}{5 \cdot 2} + \frac{4 - i}{3 + i}$

Étape 1.3.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1 + i}{2} + \frac{4 - i}{3 + i}$

Étape 1.4

Divisez la fraction $\frac{1 + i}{2}$ en deux fractions.

$\frac{1}{2} + \frac{i}{2} + \frac{4 - i}{3 + i}$

Étape 1.5

Multipliez le numérateur et le dénominateur de $\frac{4 - i}{3 + 1 i}$ par le conjugué de $3 + 1 i$ pour rendre le dénominateur réel.

$\frac{1}{2} + \frac{i}{2} + \frac{4 - i}{3 + 1 i} \cdot \frac{3 - i}{3 - i}$

Étape 1.6

Multipliez.

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Étape 1.6.1

Associez.

$\frac{1}{2} + \frac{i}{2} + \frac{(4 - i) (3 - i)}{(3 + 1 i) (3 - i)}$

Étape 1.6.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.6.2.1

Développez $(4 - i) (3 - i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.6.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{2} + \frac{i}{2} + \frac{4 (3 - i) - i (3 - i)}{(3 + 1 i) (3 - i)}$

Étape 1.6.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{2} + \frac{i}{2} + \frac{4 \cdot 3 + 4 (- i) - i (3 - i)}{(3 + 1 i) (3 - i)}$

Étape 1.6.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{2} + \frac{i}{2} + \frac{4 \cdot 3 + 4 (- i) - i \cdot 3 - i (- i)}{(3 + 1 i) (3 - i)}$

Étape 1.6.2.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.6.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.6.2.2.1.1

Multipliez $4$ par $3$ .

$\frac{1}{2} + \frac{i}{2} + \frac{12 + 4 (- i) - i \cdot 3 - i (- i)}{(3 + 1 i) (3 - i)}$

Étape 1.6.2.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$\frac{1}{2} + \frac{i}{2} + \frac{12 - 4 i - i \cdot 3 - i (- i)}{(3 + 1 i) (3 - i)}$

Étape 1.6.2.2.1.3

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{1}{2} + \frac{i}{2} + \frac{12 - 4 i - 3 i - i (- i)}{(3 + 1 i) (3 - i)}$

Étape 1.6.2.2.1.4

Multipliez $- i (- i)$ .

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Étape 1.6.2.2.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{1}{2} + \frac{i}{2} + \frac{12 - 4 i - 3 i + 1 i i}{(3 + 1 i) (3 - i)}$

Étape 1.6.2.2.1.4.2

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{2} + \frac{i}{2} + \frac{12 - 4 i - 3 i + 1 (i^{1} i)}{(3 + 1 i) (3 - i)}$

Étape 1.6.2.2.1.4.3

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{2} + \frac{i}{2} + \frac{12 - 4 i - 3 i + 1 (i^{1} i^{1})}{(3 + 1 i) (3 - i)}$

Étape 1.6.2.2.1.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{2} + \frac{i}{2} + \frac{12 - 4 i - 3 i + 1 i^{1 + 1}}{(3 + 1 i) (3 - i)}$

Étape 1.6.2.2.1.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1}{2} + \frac{i}{2} + \frac{12 - 4 i - 3 i + 1 i^{2}}{(3 + 1 i) (3 - i)}$

Étape 1.6.2.2.1.4.6

Multipliez $i^{2}$ par $1$ .

$\frac{1}{2} + \frac{i}{2} + \frac{12 - 4 i - 3 i + i^{2}}{(3 + 1 i) (3 - i)}$

Étape 1.6.2.2.1.5

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{1}{2} + \frac{i}{2} + \frac{12 - 4 i - 3 i - 1}{(3 + 1 i) (3 - i)}$

Étape 1.6.2.2.2

Soustrayez $1$ de $12$ .

$\frac{1}{2} + \frac{i}{2} + \frac{11 - 4 i - 3 i}{(3 + 1 i) (3 - i)}$

Étape 1.6.2.2.3

Soustrayez $3 i$ de $- 4 i$ .

$\frac{1}{2} + \frac{i}{2} + \frac{11 - 7 i}{(3 + 1 i) (3 - i)}$

Étape 1.6.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.6.3.1

Développez $(3 + 1 i) (3 - i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.6.3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{2} + \frac{i}{2} + \frac{11 - 7 i}{3 (3 - i) + 1 i (3 - i)}$

Étape 1.6.3.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{2} + \frac{i}{2} + \frac{11 - 7 i}{3 \cdot 3 + 3 (- i) + 1 i (3 - i)}$

Étape 1.6.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{2} + \frac{i}{2} + \frac{11 - 7 i}{3 \cdot 3 + 3 (- i) + 1 i \cdot 3 + 1 i (- i)}$

Étape 1.6.3.2

Simplifiez

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Étape 1.6.3.2.1

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{1}{2} + \frac{i}{2} + \frac{11 - 7 i}{9 + 3 (- i) + 1 i \cdot 3 + 1 i (- i)}$

Étape 1.6.3.2.2

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{1}{2} + \frac{i}{2} + \frac{11 - 7 i}{9 - 3 i + 1 i \cdot 3 + 1 i (- i)}$

Étape 1.6.3.2.3

Multipliez $3$ par $1$ .

$\frac{1}{2} + \frac{i}{2} + \frac{11 - 7 i}{9 - 3 i + 3 i + 1 i (- i)}$

Étape 1.6.3.2.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1}{2} + \frac{i}{2} + \frac{11 - 7 i}{9 - 3 i + 3 i - i i}$

Étape 1.6.3.2.5

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{2} + \frac{i}{2} + \frac{11 - 7 i}{9 - 3 i + 3 i - (i^{1} i)}$

Étape 1.6.3.2.6

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{2} + \frac{i}{2} + \frac{11 - 7 i}{9 - 3 i + 3 i - (i^{1} i^{1})}$

Étape 1.6.3.2.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{2} + \frac{i}{2} + \frac{11 - 7 i}{9 - 3 i + 3 i - i^{1 + 1}}$

Étape 1.6.3.2.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1}{2} + \frac{i}{2} + \frac{11 - 7 i}{9 - 3 i + 3 i - i^{2}}$

Étape 1.6.3.2.9

Additionnez $- 3 i$ et $3 i$ .

$\frac{1}{2} + \frac{i}{2} + \frac{11 - 7 i}{9 + 0 - i^{2}}$

Étape 1.6.3.2.10

Additionnez $9$ et $0$ .

$\frac{1}{2} + \frac{i}{2} + \frac{11 - 7 i}{9 - i^{2}}$

Étape 1.6.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.6.3.3.1

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{1}{2} + \frac{i}{2} + \frac{11 - 7 i}{9 - - 1}$

Étape 1.6.3.3.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{1}{2} + \frac{i}{2} + \frac{11 - 7 i}{9 + 1}$

Étape 1.6.3.4

Additionnez $9$ et $1$ .

$\frac{1}{2} + \frac{i}{2} + \frac{11 - 7 i}{10}$

Étape 1.7

Divisez la fraction $\frac{11 - 7 i}{10}$ en deux fractions.

$\frac{1}{2} + \frac{i}{2} + \frac{11}{10} + \frac{- 7 i}{10}$

Étape 1.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{2} + \frac{i}{2} + \frac{11}{10} - \frac{7 i}{10}$

Étape 2

Pour écrire $\frac{1}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{5}{5} + \frac{11}{10} + \frac{i}{2} - \frac{7 i}{10}$

Étape 3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $10$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 3.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{5}{5}$ .

$\frac{5}{2 \cdot 5} + \frac{11}{10} + \frac{i}{2} - \frac{7 i}{10}$

Étape 3.2

Multipliez $2$ par $5$ .

$\frac{5}{10} + \frac{11}{10} + \frac{i}{2} - \frac{7 i}{10}$

Étape 4

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{5 + 11}{10} + \frac{i}{2} - \frac{7 i}{10}$

Étape 4.2

Additionnez $5$ et $11$ .

$\frac{16}{10} + \frac{i}{2} - \frac{7 i}{10}$

Étape 5

Annulez le facteur commun à $16$ et $10$ .

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Étape 5.1

Factorisez $2$ à partir de $16$ .

$\frac{2 (8)}{10} + \frac{i}{2} - \frac{7 i}{10}$

Étape 5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.1

Factorisez $2$ à partir de $10$ .

$\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 5} + \frac{i}{2} - \frac{7 i}{10}$

Étape 5.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 5} + \frac{i}{2} - \frac{7 i}{10}$

Étape 5.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{8}{5} + \frac{i}{2} - \frac{7 i}{10}$

Étape 6

Pour écrire $\frac{i}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$\frac{8}{5} + \frac{i}{2} \cdot \frac{5}{5} - \frac{7 i}{10}$

Étape 7

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $10$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 7.1

Multipliez $\frac{i}{2}$ par $\frac{5}{5}$ .

$\frac{8}{5} + \frac{i \cdot 5}{2 \cdot 5} - \frac{7 i}{10}$

Étape 7.2

Multipliez $2$ par $5$ .

$\frac{8}{5} + \frac{i \cdot 5}{10} - \frac{7 i}{10}$

Étape 8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{8}{5} + \frac{- 2 i}{10}$

Étape 9

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.1

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $10$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 i$ .

$\frac{8}{5} + \frac{2 (- i)}{10}$

Étape 9.1.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $10$ .

$\frac{8}{5} + \frac{2 (- i)}{2 (5)}$

Étape 9.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{8}{5} + \frac{2 (- i)}{2 \cdot 5}$

Étape 9.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{8}{5} + \frac{- i}{5}$

Étape 9.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{8}{5} - \frac{i}{5}$