Algèbre Exemples

$\frac{1}{x + 1} + \frac{2 x}{x^{2} - 1} - \frac{1}{x - 1}$

Étape 1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{1}{x + 1} + \frac{2 x}{x^{2} - 1^{2}} - \frac{1}{x - 1}$

Étape 1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$\frac{1}{x + 1} + \frac{2 x}{(x + 1) (x - 1)} - \frac{1}{x - 1}$

Étape 2

Pour écrire $\frac{1}{x + 1}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{1}{x + 1} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} + \frac{2 x}{(x + 1) (x - 1)} - \frac{1}{x - 1}$

Étape 3

Multipliez $\frac{1}{x + 1}$ par $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{x - 1}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{2 x}{(x + 1) (x - 1)} - \frac{1}{x - 1}$

Étape 4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x - 1 + 2 x}{(x + 1) (x - 1)} - \frac{1}{x - 1}$

Étape 5

Additionnez $x$ et $2 x$ .

$\frac{3 x - 1}{(x + 1) (x - 1)} - \frac{1}{x - 1}$

Étape 6

Pour écrire $- \frac{1}{x - 1}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{3 x - 1}{(x + 1) (x - 1)} - \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{x + 1}{x + 1}$

Étape 7

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(x + 1) (x - 1)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 7.1

Multipliez $\frac{1}{x - 1}$ par $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{3 x - 1}{(x + 1) (x - 1)} - \frac{x + 1}{(x - 1) (x + 1)}$

Étape 7.2

Réorganisez les facteurs de $(x - 1) (x + 1)$ .

$\frac{3 x - 1}{(x + 1) (x - 1)} - \frac{x + 1}{(x + 1) (x - 1)}$

Étape 8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{3 x - 1 - (x + 1)}{(x + 1) (x - 1)}$

Étape 9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 x - 1 - x - 1 \cdot 1}{(x + 1) (x - 1)}$

Étape 9.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{3 x - 1 - x - 1}{(x + 1) (x - 1)}$

Étape 9.3

Soustrayez $x$ de $3 x$ .

$\frac{2 x - 1 - 1}{(x + 1) (x - 1)}$

Étape 9.4

Soustrayez $1$ de $- 1$ .

$\frac{2 x - 2}{(x + 1) (x - 1)}$

Étape 9.5

Factorisez $2$ à partir de $2 x - 2$ .

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Étape 9.5.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$\frac{2 (x) - 2}{(x + 1) (x - 1)}$

Étape 9.5.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$\frac{2 (x) + 2 (- 1)}{(x + 1) (x - 1)}$

Étape 9.5.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (x) + 2 (- 1)$ .

$\frac{2 (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)}$

Étape 10

Annulez le facteur commun de $x - 1$ .

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Étape 10.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)}$

Étape 10.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2}{x + 1}$