Algèbre Exemples

$x^{2} - 2 x - 4 < 0$

Étape 1

Convertissez l’inégalité en une équation.

$x^{2} - 2 x - 4 = 0$

Étape 2

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 3

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = - 2$ et $c = - 4$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 4)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot - 4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $- 4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 16}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.3

Additionnez $4$ et $16$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.4

Réécrivez $20$ comme $2^{2} \cdot 5$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $20$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$

Étape 4.3

Simplifiez $\frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$ .

$x = 1 \pm \sqrt{5}$

Étape 5

Consolidez les solutions.

$x = 1 + \sqrt{5}, 1 - \sqrt{5}$

Étape 6

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < 1 - \sqrt{5}$

$1 - \sqrt{5} < x < 1 + \sqrt{5}$

$x > 1 + \sqrt{5}$

Étape 7

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < 1 - \sqrt{5}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < 1 - \sqrt{5}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 4$

Étape 7.1.2

Remplacez $x$ par $- 4$ dans l’inégalité d’origine.

${(- 4)}^{2} - 2 \cdot - 4 - 4 < 0$

Étape 7.1.3

Le côté gauche $20$ n’est pas inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 7.2

Testez une valeur sur l’intervalle $1 - \sqrt{5} < x < 1 + \sqrt{5}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $1 - \sqrt{5} < x < 1 + \sqrt{5}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 7.2.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

${(0)}^{2} - 2 \cdot 0 - 4 < 0$

Étape 7.2.3

Le côté gauche $- 4$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 7.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 1 + \sqrt{5}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 1 + \sqrt{5}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 6$

Étape 7.3.2

Remplacez $x$ par $6$ dans l’inégalité d’origine.

${(6)}^{2} - 2 \cdot 6 - 4 < 0$

Étape 7.3.3

Le côté gauche $20$ n’est pas inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 7.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < 1 - \sqrt{5}$ Faux

$1 - \sqrt{5} < x < 1 + \sqrt{5}$ Vrai

$x > 1 + \sqrt{5}$ Faux

$x < 1 - \sqrt{5}$ Faux

$1 - \sqrt{5} < x < 1 + \sqrt{5}$ Vrai

$x > 1 + \sqrt{5}$ Faux

Étape 8

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$1 - \sqrt{5} < x < 1 + \sqrt{5}$

Étape 9

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$1 - \sqrt{5} < x < 1 + \sqrt{5}$

Notation d’intervalle :

$(1 - \sqrt{5}, 1 + \sqrt{5})$

Étape 10