Algèbre Exemples

$\log_{6} (x^{2} + 8) = 1 + \log_{6} (x)$

Étape 1

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$\log_{6} (x^{2} + 8) - \log_{6} (x) = 1$

Étape 2

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{6} (\frac{x^{2} + 8}{x}) = 1$

Étape 3

Réécrivez $\log_{6} (\frac{x^{2} + 8}{x}) = 1$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b$ $\neq$ $1$ , $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$6^{1} = \frac{x^{2} + 8}{x}$

Étape 4

Multipliez en croix pour retirer la fraction.

$x^{2} + 8 = 6 (x)$

Étape 5

Multipliez $6$ par $x$ .

$x^{2} + 8 = 6 x$

Étape 6

Soustrayez $6 x$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} + 8 - 6 x = 0$

Étape 7

Factorisez $x^{2} + 8 - 6 x$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 7.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $8$ et dont la somme est $- 6$ .

$- 4, - 2$

Étape 7.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(x - 4) (x - 2) = 0$

Étape 8

Simplifiez $(x - 4) (x - 2)$ .

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Étape 8.1

Développez $(x - 4) (x - 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 8.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$x (x - 2) - 4 (x - 2) = 0$

Étape 8.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$x \cdot x + x \cdot - 2 - 4 (x - 2) = 0$

Étape 8.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$x \cdot x + x \cdot - 2 - 4 x - 4 \cdot - 2 = 0$

Étape 8.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 8.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.2.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$x^{2} + x \cdot - 2 - 4 x - 4 \cdot - 2 = 0$

Étape 8.2.1.2

Déplacez $- 2$ à gauche de $x$ .

$x^{2} - 2 \cdot x - 4 x - 4 \cdot - 2 = 0$

Étape 8.2.1.3

Multipliez $- 4$ par $- 2$ .

$x^{2} - 2 x - 4 x + 8 = 0$

Étape 8.2.2

Soustrayez $4 x$ de $- 2 x$ .

$x^{2} - 6 x + 8 = 0$

Étape 9

Factorisez $x^{2} - 6 x + 8$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 9.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $8$ et dont la somme est $- 6$ .

$- 4, - 2$

Étape 9.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(x - 4) (x - 2) = 0$

Étape 10

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 4 = 0$

$x - 2 = 0$

Étape 11

Définissez $x - 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 11.1

Définissez $x - 4$ égal à $0$ .

$x - 4 = 0$

Étape 11.2

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 4$

Étape 12

Définissez $x - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 12.1

Définissez $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 12.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 13

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 4) (x - 2) = 0$ vraie.

$x = 4, 2$