Algèbre Exemples

$\frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{\sqrt{5} - \sqrt{3}} + \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Multipliez $\frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$ .

$\frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{\sqrt{5} - \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} + \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$

Étape 1.2

Multipliez $\frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$ .

$\frac{(\sqrt{5} + \sqrt{3}) (\sqrt{5} + \sqrt{3})}{(\sqrt{5} - \sqrt{3}) (\sqrt{5} + \sqrt{3})} + \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$

Étape 1.3

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

$\frac{(\sqrt{5} + \sqrt{3}) (\sqrt{5} + \sqrt{3})}{{\sqrt{5}}^{2} + \sqrt{15} - \sqrt{15} - {\sqrt{3}}^{2}} + \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$

Étape 1.4

Simplifiez

$\frac{(\sqrt{5} + \sqrt{3}) (\sqrt{5} + \sqrt{3})}{2} + \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$

Étape 1.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.5.1

Élevez $\sqrt{5} + \sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\frac{{(\sqrt{5} + \sqrt{3})}^{1} (\sqrt{5} + \sqrt{3})}{2} + \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$

Étape 1.5.2

Élevez $\sqrt{5} + \sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\frac{{(\sqrt{5} + \sqrt{3})}^{1} {(\sqrt{5} + \sqrt{3})}^{1}}{2} + \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$

Étape 1.5.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{{(\sqrt{5} + \sqrt{3})}^{1 + 1}}{2} + \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$

Étape 1.5.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{{(\sqrt{5} + \sqrt{3})}^{2}}{2} + \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$

Étape 1.6

Réécrivez ${(\sqrt{5} + \sqrt{3})}^{2}$ comme $(\sqrt{5} + \sqrt{3}) (\sqrt{5} + \sqrt{3})$ .

$\frac{(\sqrt{5} + \sqrt{3}) (\sqrt{5} + \sqrt{3})}{2} + \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$

Étape 1.7

Développez $(\sqrt{5} + \sqrt{3}) (\sqrt{5} + \sqrt{3})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.7.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sqrt{5} (\sqrt{5} + \sqrt{3}) + \sqrt{3} (\sqrt{5} + \sqrt{3})}{2} + \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$

Étape 1.7.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sqrt{5} \sqrt{5} + \sqrt{5} \sqrt{3} + \sqrt{3} (\sqrt{5} + \sqrt{3})}{2} + \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$

Étape 1.7.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sqrt{5} \sqrt{5} + \sqrt{5} \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{5} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$

Étape 1.8

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.8.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.8.1.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{\sqrt{5 \cdot 5} + \sqrt{5} \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{5} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$

Étape 1.8.1.2

Multipliez $5$ par $5$ .

$\frac{\sqrt{25} + \sqrt{5} \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{5} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$

Étape 1.8.1.3

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$\frac{\sqrt{5^{2}} + \sqrt{5} \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{5} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$

Étape 1.8.1.4

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{5 + \sqrt{5} \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{5} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$

Étape 1.8.1.5

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{5 + \sqrt{5 \cdot 3} + \sqrt{3} \sqrt{5} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$

Étape 1.8.1.6

Multipliez $5$ par $3$ .

$\frac{5 + \sqrt{15} + \sqrt{3} \sqrt{5} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$

Étape 1.8.1.7

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{5 + \sqrt{15} + \sqrt{3 \cdot 5} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$

Étape 1.8.1.8

Multipliez $3$ par $5$ .

$\frac{5 + \sqrt{15} + \sqrt{15} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$

Étape 1.8.1.9

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{5 + \sqrt{15} + \sqrt{15} + \sqrt{3 \cdot 3}}{2} + \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$

Étape 1.8.1.10

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{5 + \sqrt{15} + \sqrt{15} + \sqrt{9}}{2} + \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$

Étape 1.8.1.11

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{5 + \sqrt{15} + \sqrt{15} + \sqrt{3^{2}}}{2} + \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$

Étape 1.8.1.12

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{5 + \sqrt{15} + \sqrt{15} + 3}{2} + \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$

Étape 1.8.2

Additionnez $5$ et $3$ .

$\frac{8 + \sqrt{15} + \sqrt{15}}{2} + \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$

Étape 1.8.3

Additionnez $\sqrt{15}$ et $\sqrt{15}$ .

$\frac{8 + 2 \sqrt{15}}{2} + \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$

Étape 1.9

Annulez le facteur commun à $8 + 2 \sqrt{15}$ et $2$ .

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Étape 1.9.1

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$\frac{2 \cdot 4 + 2 \sqrt{15}}{2} + \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$

Étape 1.9.2

Factorisez $2$ à partir de $2 \sqrt{15}$ .

$\frac{2 \cdot 4 + 2 (\sqrt{15})}{2} + \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$

Étape 1.9.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (4) + 2 (\sqrt{15})$ .

$\frac{2 (4 + \sqrt{15})}{2} + \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$

Étape 1.9.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.9.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 (4 + \sqrt{15})}{2 (1)} + \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$

Étape 1.9.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (4 + \sqrt{15})}{2 \cdot 1} + \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$

Étape 1.9.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{4 + \sqrt{15}}{1} + \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$

Étape 1.9.4.4

Divisez $4 + \sqrt{15}$ par $1$ .

$4 + \sqrt{15} + \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$

Étape 1.10

Multipliez $\frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}$ .

$4 + \sqrt{15} + \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}$

Étape 1.11

Multipliez $\frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}$ .

$4 + \sqrt{15} + \frac{(\sqrt{5} - \sqrt{3}) (\sqrt{5} - \sqrt{3})}{(\sqrt{5} + \sqrt{3}) (\sqrt{5} - \sqrt{3})}$

Étape 1.12

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

$4 + \sqrt{15} + \frac{(\sqrt{5} - \sqrt{3}) (\sqrt{5} - \sqrt{3})}{{\sqrt{5}}^{2} - \sqrt{15} + \sqrt{15} - {\sqrt{3}}^{2}}$

Étape 1.13

Simplifiez

$4 + \sqrt{15} + \frac{(\sqrt{5} - \sqrt{3}) (\sqrt{5} - \sqrt{3})}{2}$

Étape 1.14

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.14.1

Élevez $\sqrt{5} - \sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$4 + \sqrt{15} + \frac{{(\sqrt{5} - \sqrt{3})}^{1} (\sqrt{5} - \sqrt{3})}{2}$

Étape 1.14.2

Élevez $\sqrt{5} - \sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$4 + \sqrt{15} + \frac{{(\sqrt{5} - \sqrt{3})}^{1} {(\sqrt{5} - \sqrt{3})}^{1}}{2}$

Étape 1.14.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$4 + \sqrt{15} + \frac{{(\sqrt{5} - \sqrt{3})}^{1 + 1}}{2}$

Étape 1.14.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$4 + \sqrt{15} + \frac{{(\sqrt{5} - \sqrt{3})}^{2}}{2}$

Étape 1.15

Réécrivez ${(\sqrt{5} - \sqrt{3})}^{2}$ comme $(\sqrt{5} - \sqrt{3}) (\sqrt{5} - \sqrt{3})$ .

$4 + \sqrt{15} + \frac{(\sqrt{5} - \sqrt{3}) (\sqrt{5} - \sqrt{3})}{2}$

Étape 1.16

Développez $(\sqrt{5} - \sqrt{3}) (\sqrt{5} - \sqrt{3})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.16.1

Appliquez la propriété distributive.

$4 + \sqrt{15} + \frac{\sqrt{5} (\sqrt{5} - \sqrt{3}) - \sqrt{3} (\sqrt{5} - \sqrt{3})}{2}$

Étape 1.16.2

Appliquez la propriété distributive.

$4 + \sqrt{15} + \frac{\sqrt{5} \sqrt{5} + \sqrt{5} (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} (\sqrt{5} - \sqrt{3})}{2}$

Étape 1.16.3

Appliquez la propriété distributive.

$4 + \sqrt{15} + \frac{\sqrt{5} \sqrt{5} + \sqrt{5} (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \sqrt{5} - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{2}$

Étape 1.17

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.17.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.17.1.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$4 + \sqrt{15} + \frac{\sqrt{5 \cdot 5} + \sqrt{5} (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \sqrt{5} - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{2}$

Étape 1.17.1.2

Multipliez $5$ par $5$ .

$4 + \sqrt{15} + \frac{\sqrt{25} + \sqrt{5} (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \sqrt{5} - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{2}$

Étape 1.17.1.3

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$4 + \sqrt{15} + \frac{\sqrt{5^{2}} + \sqrt{5} (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \sqrt{5} - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{2}$

Étape 1.17.1.4

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$4 + \sqrt{15} + \frac{5 + \sqrt{5} (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \sqrt{5} - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{2}$

Étape 1.17.1.5

Multipliez $\sqrt{5} (- \sqrt{3})$ .

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Étape 1.17.1.5.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$4 + \sqrt{15} + \frac{5 - \sqrt{5 \cdot 3} - \sqrt{3} \sqrt{5} - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{2}$

Étape 1.17.1.5.2

Multipliez $5$ par $3$ .

$4 + \sqrt{15} + \frac{5 - \sqrt{15} - \sqrt{3} \sqrt{5} - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{2}$

Étape 1.17.1.6

Multipliez $- \sqrt{3} \sqrt{5}$ .

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Étape 1.17.1.6.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$4 + \sqrt{15} + \frac{5 - \sqrt{15} - \sqrt{5 \cdot 3} - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{2}$

Étape 1.17.1.6.2

Multipliez $5$ par $3$ .

$4 + \sqrt{15} + \frac{5 - \sqrt{15} - \sqrt{15} - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{2}$

Étape 1.17.1.7

Multipliez $- \sqrt{3} (- \sqrt{3})$ .

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Étape 1.17.1.7.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$4 + \sqrt{15} + \frac{5 - \sqrt{15} - \sqrt{15} + 1 \sqrt{3} \sqrt{3}}{2}$

Étape 1.17.1.7.2

Multipliez $\sqrt{3}$ par $1$ .

$4 + \sqrt{15} + \frac{5 - \sqrt{15} - \sqrt{15} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{2}$

Étape 1.17.1.7.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$4 + \sqrt{15} + \frac{5 - \sqrt{15} - \sqrt{15} + {\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}{2}$

Étape 1.17.1.7.4

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$4 + \sqrt{15} + \frac{5 - \sqrt{15} - \sqrt{15} + {\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}{2}$

Étape 1.17.1.7.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$4 + \sqrt{15} + \frac{5 - \sqrt{15} - \sqrt{15} + {\sqrt{3}}^{1 + 1}}{2}$

Étape 1.17.1.7.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$4 + \sqrt{15} + \frac{5 - \sqrt{15} - \sqrt{15} + {\sqrt{3}}^{2}}{2}$

Étape 1.17.1.8

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 1.17.1.8.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$4 + \sqrt{15} + \frac{5 - \sqrt{15} - \sqrt{15} + {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2}$

Étape 1.17.1.8.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 + \sqrt{15} + \frac{5 - \sqrt{15} - \sqrt{15} + 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2}$

Étape 1.17.1.8.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$4 + \sqrt{15} + \frac{5 - \sqrt{15} - \sqrt{15} + 3^{\frac{2}{2}}}{2}$

Étape 1.17.1.8.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.17.1.8.4.1

Annulez le facteur commun.

$4 + \sqrt{15} + \frac{5 - \sqrt{15} - \sqrt{15} + 3^{\frac{2}{2}}}{2}$

Étape 1.17.1.8.4.2

Réécrivez l’expression.

$4 + \sqrt{15} + \frac{5 - \sqrt{15} - \sqrt{15} + 3^{1}}{2}$

Étape 1.17.1.8.5

Évaluez l’exposant.

$4 + \sqrt{15} + \frac{5 - \sqrt{15} - \sqrt{15} + 3}{2}$

Étape 1.17.2

Additionnez $5$ et $3$ .

$4 + \sqrt{15} + \frac{8 - \sqrt{15} - \sqrt{15}}{2}$

Étape 1.17.3

Soustrayez $\sqrt{15}$ de $- \sqrt{15}$ .

$4 + \sqrt{15} + \frac{8 - 2 \sqrt{15}}{2}$

Étape 1.18

Annulez le facteur commun à $8 - 2 \sqrt{15}$ et $2$ .

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Étape 1.18.1

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$4 + \sqrt{15} + \frac{2 \cdot 4 - 2 \sqrt{15}}{2}$

Étape 1.18.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2 \sqrt{15}$ .

$4 + \sqrt{15} + \frac{2 \cdot 4 + 2 (- \sqrt{15})}{2}$

Étape 1.18.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (4) + 2 (- \sqrt{15})$ .

$4 + \sqrt{15} + \frac{2 (4 - \sqrt{15})}{2}$

Étape 1.18.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.18.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$4 + \sqrt{15} + \frac{2 (4 - \sqrt{15})}{2 (1)}$

Étape 1.18.4.2

Annulez le facteur commun.

$4 + \sqrt{15} + \frac{2 (4 - \sqrt{15})}{2 \cdot 1}$

Étape 1.18.4.3

Réécrivez l’expression.

$4 + \sqrt{15} + \frac{4 - \sqrt{15}}{1}$

Étape 1.18.4.4

Divisez $4 - \sqrt{15}$ par $1$ .

$4 + \sqrt{15} + 4 - \sqrt{15}$

Étape 2

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 2.1

Additionnez $4$ et $4$ .

$8 + \sqrt{15} - \sqrt{15}$

Étape 2.2

Soustrayez $\sqrt{15}$ de $\sqrt{15}$ .

$8 + 0$

Étape 2.3

Additionnez $8$ et $0$ .

$8$