Algèbre Exemples

$\ln (x^{2} - 5 x) - \ln (x^{2} - 25) = 3$

Étape 1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{x^{2} - 5 x}{x^{2} - 25}) = 3$

Étape 1.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} - 5 x$ .

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Étape 1.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$\ln (\frac{x \cdot x - 5 x}{x^{2} - 25}) = 3$

Étape 1.2.2

Factorisez $x$ à partir de $- 5 x$ .

$\ln (\frac{x \cdot x + x \cdot - 5}{x^{2} - 25}) = 3$

Étape 1.2.3

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x + x \cdot - 5$ .

$\ln (\frac{x (x - 5)}{x^{2} - 25}) = 3$

Étape 1.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.3.1

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$\ln (\frac{x (x - 5)}{x^{2} - 5^{2}}) = 3$

Étape 1.3.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 5$ .

$\ln (\frac{x (x - 5)}{(x + 5) (x - 5)}) = 3$

Étape 1.4

Annulez le facteur commun de $x - 5$ .

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Étape 1.4.1

Annulez le facteur commun.

$\ln (\frac{x (x - 5)}{(x + 5) (x - 5)}) = 3$

Étape 1.4.2

Réécrivez l’expression.

$\ln (\frac{x}{x + 5}) = 3$

Étape 2

Réécrivez $\ln (\frac{x}{x + 5}) = 3$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b$ $\neq$ $1$ , $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{3} = \frac{x}{x + 5}$

Étape 3

Multipliez en croix pour retirer la fraction.

$x = e^{3} (x + 5)$

Étape 4

Simplifiez $e^{3} (x + 5)$ .

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Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$x = e^{3} x + e^{3} \cdot 5$

Étape 4.2

Déplacez $5$ à gauche de $e^{3}$ .

$x = e^{3} x + 5 e^{3}$

Étape 5

Soustrayez $e^{3} x$ des deux côtés de l’équation.

$x - e^{3} x = 5 e^{3}$

Étape 6

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 6.1

Factorisez $x$ à partir de $x - e^{3} x$ .

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Étape 6.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x - e^{3} x = 5 e^{3}$

Étape 6.1.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$x \cdot 1 - e^{3} x = 5 e^{3}$

Étape 6.1.3

Factorisez $x$ à partir de $- e^{3} x$ .

$x \cdot 1 + x (- e^{3}) = 5 e^{3}$

Étape 6.1.4

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot 1 + x (- e^{3})$ .

$x (1 - e^{3}) = 5 e^{3}$

Étape 6.2

Réécrivez $1$ comme $1^{3}$ .

$x (1^{3} - e^{3}) = 5 e^{3}$

Étape 6.3

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des cubes, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ où $a = 1$ et $b = e$ .

$x ((1 - e) (1^{2} + 1 e + e^{2})) = 5 e^{3}$

Étape 6.4

Factorisez.

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Étape 6.4.1

Simplifiez

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Étape 6.4.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$x ((1 - e) (1 + 1 e + e^{2})) = 5 e^{3}$

Étape 6.4.1.2

Multipliez $e$ par $1$ .

$x ((1 - e) (1 + e + e^{2})) = 5 e^{3}$

Étape 6.4.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$x (1 - e) (1 + e + e^{2}) = 5 e^{3}$

Étape 7

Divisez chaque terme dans $x (1 - e) (1 + e + e^{2}) = 5 e^{3}$ par $1 - e^{3}$ et simplifiez.

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Étape 7.1

Divisez chaque terme dans $x (1 - e) (1 + e + e^{2}) = 5 e^{3}$ par $1 - e^{3}$ .

$\frac{x (1 - e) (1 + e + e^{2})}{1 - e^{3}} = \frac{5 e^{3}}{1 - e^{3}}$

Étape 7.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.2.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 7.2.1.1

Réécrivez $1$ comme $1^{3}$ .

$\frac{x (1 - e) (1 + e + e^{2})}{1^{3} - e^{3}} = \frac{5 e^{3}}{1 - e^{3}}$

Étape 7.2.1.2

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des cubes, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ où $a = 1$ et $b = e$ .

$\frac{x (1 - e) (1 + e + e^{2})}{(1 - e) (1^{2} + 1 e + e^{2})} = \frac{5 e^{3}}{1 - e^{3}}$

Étape 7.2.1.3

Simplifiez

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Étape 7.2.1.3.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{x (1 - e) (1 + e + e^{2})}{(1 - e) (1 + 1 e + e^{2})} = \frac{5 e^{3}}{1 - e^{3}}$

Étape 7.2.1.3.2

Multipliez $e$ par $1$ .

$\frac{x (1 - e) (1 + e + e^{2})}{(1 - e) (1 + e + e^{2})} = \frac{5 e^{3}}{1 - e^{3}}$

Étape 7.2.2

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 7.2.2.1

Annulez le facteur commun de $1 - e$ .

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Étape 7.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x (1 - e) (1 + e + e^{2})}{(1 - e) (1 + e + e^{2})} = \frac{5 e^{3}}{1 - e^{3}}$

Étape 7.2.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x (1 + e + e^{2})}{1 + e + e^{2}} = \frac{5 e^{3}}{1 - e^{3}}$

Étape 7.2.2.2

Annulez le facteur commun de $1 + e + e^{2}$ .

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Étape 7.2.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x (1 + e + e^{2})}{1 + e + e^{2}} = \frac{5 e^{3}}{1 - e^{3}}$

Étape 7.2.2.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{5 e^{3}}{1 - e^{3}}$

Étape 7.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.3.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 7.3.1.1

Réécrivez $1$ comme $1^{3}$ .

$x = \frac{5 e^{3}}{1^{3} - e^{3}}$

Étape 7.3.1.2

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des cubes, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ où $a = 1$ et $b = e$ .

$x = \frac{5 e^{3}}{(1 - e) (1^{2} + 1 e + e^{2})}$

Étape 7.3.1.3

Simplifiez

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Étape 7.3.1.3.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$x = \frac{5 e^{3}}{(1 - e) (1 + 1 e + e^{2})}$

Étape 7.3.1.3.2

Multipliez $e$ par $1$ .

$x = \frac{5 e^{3}}{(1 - e) (1 + e + e^{2})}$

Étape 8

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = \frac{5 e^{3}}{(1 - e) (1 + e + e^{2})}$

Forme décimale :

$x = - 5.26197848 \dots$