Algèbre Exemples

$\frac{p^{2} - q^{2}}{p + q} \div \frac{p + q}{p - q}$

Étape 1

Pour diviser par une fraction, multipliez par sa réciproque.

$\frac{p^{2} - q^{2}}{p + q} \cdot \frac{p - q}{p + q}$

Étape 2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = p$ et $b = q$ .

$\frac{(p + q) (p - q)}{p + q} \cdot \frac{p - q}{p + q}$

Étape 3

Annulez le facteur commun de $p + q$ .

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Étape 3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(p + q) (p - q)}{p + q} \cdot \frac{p - q}{p + q}$

Étape 3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{p - q}{p + q} (p - q)$

Étape 4

Multipliez $\frac{p - q}{p + q}$ par $p - q$ .

$\frac{(p - q) (p - q)}{p + q}$

Étape 5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1

Élevez $p - q$ à la puissance $1$ .

$\frac{{(p - q)}^{1} (p - q)}{p + q}$

Étape 5.2

Élevez $p - q$ à la puissance $1$ .

$\frac{{(p - q)}^{1} {(p - q)}^{1}}{p + q}$

Étape 5.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{{(p - q)}^{1 + 1}}{p + q}$

Étape 5.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{{(p - q)}^{2}}{p + q}$

Étape 6

Réécrivez ${(p - q)}^{2}$ comme $(p - q) (p - q)$ .

$\frac{(p - q) (p - q)}{p + q}$

Étape 7

Développez $(p - q) (p - q)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 7.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{p (p - q) - q (p - q)}{p + q}$

Étape 7.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{p \cdot p + p (- q) - q (p - q)}{p + q}$

Étape 7.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{p \cdot p + p (- q) - q p - q (- q)}{p + q}$

Étape 8

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 8.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.1.1

Multipliez $p$ par $p$ .

$\frac{p^{2} + p (- q) - q p - q (- q)}{p + q}$

Étape 8.1.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{p^{2} - p q - q p - q (- q)}{p + q}$

Étape 8.1.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{p^{2} - p q - q p - 1 \cdot - 1 q \cdot q}{p + q}$

Étape 8.1.4

Multipliez $q$ par $q$ en additionnant les exposants.

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Étape 8.1.4.1

Déplacez $q$ .

$\frac{p^{2} - p q - q p - 1 \cdot - 1 (q \cdot q)}{p + q}$

Étape 8.1.4.2

Multipliez $q$ par $q$ .

$\frac{p^{2} - p q - q p - 1 \cdot - 1 q^{2}}{p + q}$

Étape 8.1.5

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{p^{2} - p q - q p + 1 q^{2}}{p + q}$

Étape 8.1.6

Multipliez $q^{2}$ par $1$ .

$\frac{p^{2} - p q - q p + q^{2}}{p + q}$

Étape 8.2

Soustrayez $q p$ de $- p q$ .

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Étape 8.2.1

Déplacez $q$ .

$\frac{p^{2} - p q - 1 p q + q^{2}}{p + q}$

Étape 8.2.2

Soustrayez $p q$ de $- p q$ .

$\frac{p^{2} - 2 p q + q^{2}}{p + q}$

Étape 9

Divisez la fraction $\frac{p^{2} - 2 p q + q^{2}}{p + q}$ en deux fractions.

$\frac{p^{2} - 2 p q}{p + q} + \frac{q^{2}}{p + q}$

Étape 10

Divisez la fraction $\frac{p^{2} - 2 p q}{p + q}$ en deux fractions.

$\frac{p^{2}}{p + q} + \frac{- 2 p q}{p + q} + \frac{q^{2}}{p + q}$

Étape 11

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{p^{2}}{p + q} - \frac{2 p q}{p + q} + \frac{q^{2}}{p + q}$