Algèbre Exemples

$f (x) = \frac{\frac{1}{x + 1} - \frac{1}{x - 1}}{\frac{1}{x - 1} + \frac{1}{x + 1}}$

Étape 1

Écrivez $f (x) = \frac{\frac{1}{x + 1} - \frac{1}{x - 1}}{\frac{1}{x - 1} + \frac{1}{x + 1}}$ comme une équation.

$y = \frac{\frac{1}{x + 1} - \frac{1}{x - 1}}{\frac{1}{x - 1} + \frac{1}{x + 1}}$

Étape 2

Simplifiez $\frac{\frac{1}{x + 1} - \frac{1}{x - 1}}{\frac{1}{x - 1} + \frac{1}{x + 1}}$ .

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Étape 2.1

Multipliez le numérateur et le dénominateur de la fraction par $(x + 1) (x - 1)$ .

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Étape 2.1.1

Multipliez $\frac{\frac{1}{x + 1} - \frac{1}{x - 1}}{\frac{1}{x - 1} + \frac{1}{x + 1}}$ par $\frac{(x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)}$ .

$y = \frac{(x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} \cdot \frac{\frac{1}{x + 1} - \frac{1}{x - 1}}{\frac{1}{x - 1} + \frac{1}{x + 1}}$

Étape 2.1.2

Associez.

$y = \frac{(x + 1) (x - 1) (\frac{1}{x + 1} - \frac{1}{x - 1})}{(x + 1) (x - 1) (\frac{1}{x - 1} + \frac{1}{x + 1})}$

Étape 2.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{(x + 1) (x - 1) \frac{1}{x + 1} + (x + 1) (x - 1) (- \frac{1}{x - 1})}{(x + 1) (x - 1) \frac{1}{x - 1} + (x + 1) (x - 1) \frac{1}{x + 1}}$

Étape 2.3

Simplifiez en annulant.

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Étape 2.3.1

Annulez le facteur commun de $x + 1$ .

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Étape 2.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{(x + 1) (x - 1) \frac{1}{x + 1} + (x + 1) (x - 1) (- \frac{1}{x - 1})}{(x + 1) (x - 1) \frac{1}{x - 1} + (x + 1) (x - 1) \frac{1}{x + 1}}$

Étape 2.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{x - 1 + (x + 1) (x - 1) (- \frac{1}{x - 1})}{(x + 1) (x - 1) \frac{1}{x - 1} + (x + 1) (x - 1) \frac{1}{x + 1}}$

Étape 2.3.2

Annulez le facteur commun de $x - 1$ .

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Étape 2.3.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{x - 1}$ dans le numérateur.

$y = \frac{x - 1 + (x + 1) (x - 1) \frac{- 1}{x - 1}}{(x + 1) (x - 1) \frac{1}{x - 1} + (x + 1) (x - 1) \frac{1}{x + 1}}$

Étape 2.3.2.2

Factorisez $x - 1$ à partir de $(x + 1) (x - 1)$ .

$y = \frac{x - 1 + (x - 1) (x + 1) \frac{- 1}{x - 1}}{(x + 1) (x - 1) \frac{1}{x - 1} + (x + 1) (x - 1) \frac{1}{x + 1}}$

Étape 2.3.2.3

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{x - 1 + (x - 1) (x + 1) \frac{- 1}{x - 1}}{(x + 1) (x - 1) \frac{1}{x - 1} + (x + 1) (x - 1) \frac{1}{x + 1}}$

Étape 2.3.2.4

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{x - 1 + (x + 1) \cdot - 1}{(x + 1) (x - 1) \frac{1}{x - 1} + (x + 1) (x - 1) \frac{1}{x + 1}}$

Étape 2.3.3

Annulez le facteur commun de $x - 1$ .

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Étape 2.3.3.1

Factorisez $x - 1$ à partir de $(x + 1) (x - 1)$ .

$y = \frac{x - 1 + (x + 1) \cdot - 1}{(x - 1) (x + 1) \frac{1}{x - 1} + (x + 1) (x - 1) \frac{1}{x + 1}}$

Étape 2.3.3.2

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{x - 1 + (x + 1) \cdot - 1}{(x - 1) (x + 1) \frac{1}{x - 1} + (x + 1) (x - 1) \frac{1}{x + 1}}$

Étape 2.3.3.3

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{x - 1 + (x + 1) \cdot - 1}{x + 1 + (x + 1) (x - 1) \frac{1}{x + 1}}$

Étape 2.3.4

Annulez le facteur commun de $x + 1$ .

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Étape 2.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{x - 1 + (x + 1) \cdot - 1}{x + 1 + (x + 1) (x - 1) \frac{1}{x + 1}}$

Étape 2.3.4.2

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{x - 1 + (x + 1) \cdot - 1}{x + 1 + x - 1}$

Étape 2.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{x - 1 + x \cdot - 1 + 1 \cdot - 1}{x + 1 + x - 1}$

Étape 2.4.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $x$ .

$y = \frac{x - 1 - 1 \cdot x + 1 \cdot - 1}{x + 1 + x - 1}$

Étape 2.4.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$y = \frac{x - 1 - 1 \cdot x - 1}{x + 1 + x - 1}$

Étape 2.4.4

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$y = \frac{x - 1 - x - 1}{x + 1 + x - 1}$

Étape 2.4.5

Soustrayez $x$ de $x$ .

$y = \frac{0 - 1 - 1}{x + 1 + x - 1}$

Étape 2.4.6

Soustrayez $1$ de $0$ .

$y = \frac{- 1 - 1}{x + 1 + x - 1}$

Étape 2.4.7

Soustrayez $1$ de $- 1$ .

$y = \frac{- 2}{x + 1 + x - 1}$

Étape 2.5

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.5.1

Additionnez $x$ et $x$ .

$y = \frac{- 2}{2 x + 1 - 1}$

Étape 2.5.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$y = \frac{- 2}{2 x + 0}$

Étape 2.5.3

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$y = \frac{- 2}{2 x}$

Étape 2.6

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 2.6.1

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $2$ .

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Étape 2.6.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$y = \frac{2 \cdot - 1}{2 x}$

Étape 2.6.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.6.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$y = \frac{2 \cdot - 1}{2 (x)}$

Étape 2.6.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{2 \cdot - 1}{2 x}$

Étape 2.6.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{- 1}{x}$

Étape 2.6.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{1}{x}$