Algèbre Exemples

$f (x) = \frac{x^{2} + 2 x + 1}{2 x^{2} - x - 3}$

Étape 1

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 1.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$f (x) = \frac{x^{2} + 2 x + 1^{2}}{2 x^{2} - x - 3}$

Étape 1.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Étape 1.3

Réécrivez le polynôme.

$f (x) = \frac{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}}{2 x^{2} - x - 3}$

Étape 1.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , où $a = x$ et $b = 1$ .

$f (x) = \frac{{(x + 1)}^{2}}{2 x^{2} - x - 3}$

Étape 2

Factorisez par regroupement.

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Étape 2.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 2 \cdot - 3 = - 6$ et dont la somme est $b = - 1$ .

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Étape 2.1.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$f (x) = \frac{{(x + 1)}^{2}}{2 x^{2} - (x) - 3}$

Étape 2.1.2

Réécrivez $- 1$ comme $2$ plus $- 3$

$f (x) = \frac{{(x + 1)}^{2}}{2 x^{2} + (2 - 3) x - 3}$

Étape 2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$f (x) = \frac{{(x + 1)}^{2}}{2 x^{2} + 2 x - 3 x - 3}$

Étape 2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 2.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$f (x) = \frac{{(x + 1)}^{2}}{(2 x^{2} + 2 x) - 3 x - 3}$

Étape 2.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$f (x) = \frac{{(x + 1)}^{2}}{2 x (x + 1) - 3 (x + 1)}$

Étape 2.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $x + 1$ .

$f (x) = \frac{{(x + 1)}^{2}}{(x + 1) (2 x - 3)}$

Étape 3

Annulez le facteur commun à ${(x + 1)}^{2}$ et $x + 1$ .

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Étape 3.1

Factorisez $x + 1$ à partir de ${(x + 1)}^{2}$ .

$f (x) = \frac{(x + 1) (x + 1)}{(x + 1) (2 x - 3)}$

Étape 3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.2.1

Annulez le facteur commun.

$f (x) = \frac{(x + 1) (x + 1)}{(x + 1) (2 x - 3)}$

Étape 3.2.2

Réécrivez l’expression.

$f (x) = \frac{x + 1}{2 x - 3}$

Étape 4

Pour déterminer les trous dans le graphe, regardez les facteurs du dénominateur qui ont été annulés.

$x + 1$

Étape 5

Pour déterminer les coordonnées des trous, définissez chaque facteur qui a été annulé égal à $0$ , résolvez et remplacez à nouveau par $\frac{x + 1}{2 x - 3}$ .

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Étape 5.1

Définissez $x + 1$ égal à $0$ .

$x + 1 = 0$

Étape 5.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 5.3

Remplacez $x$ par $- 1$ dans $\frac{x + 1}{2 x - 3}$ et simplifiez.

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Étape 5.3.1

Remplacez $x$ par $- 1$ pour déterminer la coordonnée $y$ du trou.

$\frac{- 1 + 1}{2 \cdot - 1 - 3}$

Étape 5.3.2

Simplifiez

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Étape 5.3.2.1

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$\frac{0}{2 \cdot - 1 - 3}$

Étape 5.3.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.3.2.2.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{0}{- 2 - 3}$

Étape 5.3.2.2.2

Soustrayez $3$ de $- 2$ .

$\frac{0}{- 5}$

Étape 5.3.2.3

Divisez $0$ par $- 5$ .

$0$

Étape 5.4

Les trous dans le graphe sont les points où tout facteur annulé est égal à $0$ .

$(- 1, 0)$

Étape 6