Algèbre Exemples

$\frac{\cot^{2} (x) \cos^{2} (x)}{\cot^{2} (x) - \cos^{2} (x)}$

Étape 1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1

Réécrivez $\cot (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{{(\frac{\cos (x)}{\sin (x)})}^{2} \cos^{2} (x)}{\cot^{2} (x) - \cos^{2} (x)}$

Étape 1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} \cos^{2} (x)}{\cot^{2} (x) - \cos^{2} (x)}$

Étape 2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = \cot (x)$ et $b = \cos (x)$ .

$\frac{\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} \cos^{2} (x)}{(\cot (x) + \cos (x)) (\cot (x) - \cos (x))}$

Étape 2.2

Simplifiez

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Étape 2.2.1

Réécrivez $\cot (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} \cos^{2} (x)}{(\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \cos (x)) (\cot (x) - \cos (x))}$

Étape 2.2.2

Factorisez $\cos (x)$ à partir de $\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \cos (x)$ .

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Étape 2.2.2.1

Factorisez $\cos (x)$ à partir de $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} \cos^{2} (x)}{(\cos (x) \frac{1}{\sin (x)} + \cos (x)) (\cot (x) - \cos (x))}$

Étape 2.2.2.2

Multipliez par $1$ .

$\frac{\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} \cos^{2} (x)}{(\cos (x) \frac{1}{\sin (x)} + \cos (x) \cdot 1) (\cot (x) - \cos (x))}$

Étape 2.2.2.3

Factorisez $\cos (x)$ à partir de $\cos (x) \frac{1}{\sin (x)} + \cos (x) \cdot 1$ .

$\frac{\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} \cos^{2} (x)}{\cos (x) (\frac{1}{\sin (x)} + 1) (\cot (x) - \cos (x))}$

Étape 2.2.3

Réécrivez $\cot (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} \cos^{2} (x)}{\cos (x) (\frac{1}{\sin (x)} + 1) (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \cos (x))}$

Étape 2.2.4

Factorisez $\cos (x)$ à partir de $\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \cos (x)$ .

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Étape 2.2.4.1

Factorisez $\cos (x)$ à partir de $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} \cos^{2} (x)}{\cos (x) (\frac{1}{\sin (x)} + 1) (\cos (x) \frac{1}{\sin (x)} - \cos (x))}$

Étape 2.2.4.2

Factorisez $\cos (x)$ à partir de $- \cos (x)$ .

$\frac{\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} \cos^{2} (x)}{\cos (x) (\frac{1}{\sin (x)} + 1) (\cos (x) \frac{1}{\sin (x)} + \cos (x) \cdot - 1)}$

Étape 2.2.4.3

Factorisez $\cos (x)$ à partir de $\cos (x) \frac{1}{\sin (x)} + \cos (x) \cdot - 1$ .

$\frac{\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} \cos^{2} (x)}{\cos (x) (\frac{1}{\sin (x)} + 1) (\cos (x) (\frac{1}{\sin (x)} - 1))}$

$\frac{\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} \cos^{2} (x)}{\cos (x) (\frac{1}{\sin (x)} + 1) \cos (x) (\frac{1}{\sin (x)} - 1)}$

Étape 2.2.5

Associez les exposants.

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Étape 2.2.5.1

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} \cos^{2} (x)}{\cos^{1} (x) \cos (x) (\frac{1}{\sin (x)} + 1) (\frac{1}{\sin (x)} - 1)}$

Étape 2.2.5.2

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} \cos^{2} (x)}{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x) (\frac{1}{\sin (x)} + 1) (\frac{1}{\sin (x)} - 1)}$

Étape 2.2.5.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} \cos^{2} (x)}{{\cos (x)}^{1 + 1} (\frac{1}{\sin (x)} + 1) (\frac{1}{\sin (x)} - 1)}$

Étape 2.2.5.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x) (\frac{1}{\sin (x)} + 1) (\frac{1}{\sin (x)} - 1)}$

Étape 3

Associez $\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ et $\cos^{2} (x)$ .

$\frac{\frac{\cos^{2} (x) \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}}{\cos^{2} (x) (\frac{1}{\sin (x)} + 1) (\frac{1}{\sin (x)} - 1)}$

Étape 4

Multipliez $\cos^{2} (x)$ par $\cos^{2} (x)$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\frac{{\cos (x)}^{2 + 2}}{\sin^{2} (x)}}{\cos^{2} (x) (\frac{1}{\sin (x)} + 1) (\frac{1}{\sin (x)} - 1)}$

Étape 4.2

Additionnez $2$ et $2$ .

$\frac{\frac{\cos^{4} (x)}{\sin^{2} (x)}}{\cos^{2} (x) (\frac{1}{\sin (x)} + 1) (\frac{1}{\sin (x)} - 1)}$

Étape 5

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{\cos^{4} (x)}{\sin^{2} (x)} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (x) (\frac{1}{\sin (x)} + 1) (\frac{1}{\sin (x)} - 1)}$

Étape 6

Associez.

$\frac{\cos^{4} (x) \cdot 1}{\sin^{2} (x) (\cos^{2} (x) (\frac{1}{\sin (x)} + 1) (\frac{1}{\sin (x)} - 1))}$

Étape 7

Annulez le facteur commun à $\cos^{4} (x)$ et $\cos^{2} (x)$ .

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Étape 7.1

Factorisez $\cos^{2} (x)$ à partir de $\cos^{4} (x) \cdot 1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) (\cos^{2} (x) \cdot 1)}{\sin^{2} (x) (\cos^{2} (x) (\frac{1}{\sin (x)} + 1) (\frac{1}{\sin (x)} - 1))}$

Étape 7.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.2.1

Factorisez $\cos^{2} (x)$ à partir de $\sin^{2} (x) (\cos^{2} (x) (\frac{1}{\sin (x)} + 1) (\frac{1}{\sin (x)} - 1))$ .

$\frac{\cos^{2} (x) (\cos^{2} (x) \cdot 1)}{\cos^{2} (x) (\sin^{2} (x) ((\frac{1}{\sin (x)} + 1) (\frac{1}{\sin (x)} - 1)))}$

Étape 7.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{\cos^{2} (x) (\cos^{2} (x) \cdot 1)}{\cos^{2} (x) (\sin^{2} (x) ((\frac{1}{\sin (x)} + 1) (\frac{1}{\sin (x)} - 1)))}$

Étape 7.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\cos^{2} (x) \cdot 1}{\sin^{2} (x) ((\frac{1}{\sin (x)} + 1) (\frac{1}{\sin (x)} - 1))}$

Étape 8

Multipliez $\cos^{2} (x)$ par $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x) (\frac{1}{\sin (x)} + 1) (\frac{1}{\sin (x)} - 1)}$

Étape 9

Multipliez par $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) \cdot 1}{\sin^{2} (x) (\frac{1}{\sin (x)} + 1) (\frac{1}{\sin (x)} - 1)}$

Étape 10

Multipliez par $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) \cdot 1}{\sin^{2} (x) \cdot 1 (\frac{1}{\sin (x)} + 1) (\frac{1}{\sin (x)} - 1)}$

Étape 11

Séparez les fractions.

$\frac{1}{(1 (\frac{1}{\sin (x)} + 1)) (\frac{1}{\sin (x)} - 1)} \cdot \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Étape 12

Convertissez de $\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ à $\cot^{2} (x)$ .

$\frac{1}{(1 (\frac{1}{\sin (x)} + 1)) (\frac{1}{\sin (x)} - 1)} \cot^{2} (x)$

Étape 13

Multipliez $\frac{1}{\sin (x)} + 1$ par $1$ .

$\frac{1}{(\frac{1}{\sin (x)} + 1) (\frac{1}{\sin (x)} - 1)} \cot^{2} (x)$

Étape 14

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 14.1

Convertissez de $\frac{1}{\sin (x)}$ à $\csc (x)$ .

$\frac{1}{(\csc (x) + 1) (\frac{1}{\sin (x)} - 1)} \cot^{2} (x)$

Étape 14.2

Convertissez de $\frac{1}{\sin (x)}$ à $\csc (x)$ .

$\frac{1}{(\csc (x) + 1) (\csc (x) - 1)} \cot^{2} (x)$

Étape 15

Associez $\frac{1}{(\csc (x) + 1) (\csc (x) - 1)}$ et $\cot^{2} (x)$ .

$\frac{\cot^{2} (x)}{(\csc (x) + 1) (\csc (x) - 1)}$