Algèbre Exemples

$1 + \frac{x - 1}{x + 1} = \frac{x + 1}{x - 1}$

Étape 1

Déplacez tous les termes du côté gauche de l’équation et simplifiez.

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Étape 1.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1.1

Simplifiez $1 + \frac{x - 1}{x + 1}$ .

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Étape 1.1.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.1.1.1

Divisez la fraction $\frac{x - 1}{x + 1}$ en deux fractions.

$1 + \frac{x}{x + 1} + \frac{- 1}{x + 1} = \frac{x + 1}{x - 1}$

Étape 1.1.1.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$1 + \frac{x}{x + 1} - \frac{1}{x + 1} = \frac{x + 1}{x - 1}$

Étape 1.1.1.2

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 1.1.1.2.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\frac{1}{1} + \frac{x}{x + 1} - \frac{1}{x + 1} = \frac{x + 1}{x - 1}$

Étape 1.1.1.2.2

Multipliez $\frac{1}{1}$ par $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{1}{1} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} + \frac{x}{x + 1} - \frac{1}{x + 1} = \frac{x + 1}{x - 1}$

Étape 1.1.1.2.3

Multipliez $\frac{1}{1}$ par $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{x + 1}{x + 1} + \frac{x}{x + 1} - \frac{1}{x + 1} = \frac{x + 1}{x - 1}$

Étape 1.1.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x + 1 + x - 1}{x + 1} = \frac{x + 1}{x - 1}$

Étape 1.1.1.4

Associez les termes opposés dans $x + 1 + x - 1$ .

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Étape 1.1.1.4.1

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{x + x + 0}{x + 1} = \frac{x + 1}{x - 1}$

Étape 1.1.1.4.2

Additionnez $x + x$ et $0$ .

$\frac{x + x}{x + 1} = \frac{x + 1}{x - 1}$

Étape 1.1.1.5

Additionnez $x$ et $x$ .

$\frac{2 x}{x + 1} = \frac{x + 1}{x - 1}$

Étape 1.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.1

Divisez la fraction $\frac{x + 1}{x - 1}$ en deux fractions.

$\frac{2 x}{x + 1} = \frac{x}{x - 1} + \frac{1}{x - 1}$

Étape 1.3

Déplacez toutes les expressions du côté gauche de l’équation.

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Étape 1.3.1

Soustrayez $\frac{x}{x - 1}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{2 x}{x + 1} - \frac{x}{x - 1} = \frac{1}{x - 1}$

Étape 1.3.2

Soustrayez $\frac{1}{x - 1}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{2 x}{x + 1} - \frac{x}{x - 1} - \frac{1}{x - 1} = 0$

Étape 2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$x + 1, x - 1, x - 1, 1$

Étape 2.2

Le plus petit multiple commun est le plus petit nombre positif dans lequel tous les nombres peuvent être divisés parfaitement.

1. Indiquez les facteurs premiers de chaque nombre.

2. Multipliez chaque facteur le plus grand nombre de fois qu’il apparaît dans un nombre.

Étape 2.3

Le nombre $1$ n’est pas un nombre premier car il ne comporte qu’un facteur positif, qui est lui-même.

Pas premier

Étape 2.4

Le plus petit multiple commun de $1, 1, 1, 1$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un nombre ou l’autre.

$1$

Étape 2.5

Le facteur pour $x + 1$ est $x + 1$ lui-même.

$(x + 1) = x + 1$

$(x + 1)$ se produit $1$ fois.

Étape 2.6

Le facteur pour $x - 1$ est $x - 1$ lui-même.

$(x - 1) = x - 1$

$(x - 1)$ se produit $1$ fois.

Étape 2.7

Le plus petit multiple commun de $x + 1, x - 1, x - 1$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un terme ou l’autre.

$(x + 1) (x - 1)$

Étape 3

Multiplier chaque terme dans $\frac{2 x}{x + 1} - \frac{x}{x - 1} - \frac{1}{x - 1} = 0$ par $(x + 1) (x - 1)$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 3.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{2 x}{x + 1} - \frac{x}{x - 1} - \frac{1}{x - 1} = 0$ par $(x + 1) (x - 1)$ .

$\frac{2 x}{x + 1} ((x + 1) (x - 1)) - \frac{x}{x - 1} ((x + 1) (x - 1)) - \frac{1}{x - 1} ((x + 1) (x - 1)) = 0 ((x + 1) (x - 1))$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.1

Annulez le facteur commun de $x + 1$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{x + 1} ((x + 1) (x - 1)) - \frac{x}{x - 1} ((x + 1) (x - 1)) - \frac{1}{x - 1} ((x + 1) (x - 1)) = 0 ((x + 1) (x - 1))$

Étape 3.2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$2 x (x - 1) - \frac{x}{x - 1} ((x + 1) (x - 1)) - \frac{1}{x - 1} ((x + 1) (x - 1)) = 0 ((x + 1) (x - 1))$

Étape 3.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$2 x \cdot x + 2 x \cdot - 1 - \frac{x}{x - 1} ((x + 1) (x - 1)) - \frac{1}{x - 1} ((x + 1) (x - 1)) = 0 ((x + 1) (x - 1))$

Étape 3.2.1.3

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.2.1.3.1

Déplacez $x$ .

$2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 1 - \frac{x}{x - 1} ((x + 1) (x - 1)) - \frac{1}{x - 1} ((x + 1) (x - 1)) = 0 ((x + 1) (x - 1))$

Étape 3.2.1.3.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$2 x^{2} + 2 x \cdot - 1 - \frac{x}{x - 1} ((x + 1) (x - 1)) - \frac{1}{x - 1} ((x + 1) (x - 1)) = 0 ((x + 1) (x - 1))$

Étape 3.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$2 x^{2} - 2 x - \frac{x}{x - 1} ((x + 1) (x - 1)) - \frac{1}{x - 1} ((x + 1) (x - 1)) = 0 ((x + 1) (x - 1))$

Étape 3.2.1.5

Annulez le facteur commun de $x - 1$ .

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Étape 3.2.1.5.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{x}{x - 1}$ dans le numérateur.

$2 x^{2} - 2 x + \frac{- x}{x - 1} ((x + 1) (x - 1)) - \frac{1}{x - 1} ((x + 1) (x - 1)) = 0 ((x + 1) (x - 1))$

Étape 3.2.1.5.2

Factorisez $x - 1$ à partir de $(x + 1) (x - 1)$ .

$2 x^{2} - 2 x + \frac{- x}{x - 1} ((x - 1) (x + 1)) - \frac{1}{x - 1} ((x + 1) (x - 1)) = 0 ((x + 1) (x - 1))$

Étape 3.2.1.5.3

Annulez le facteur commun.

$2 x^{2} - 2 x + \frac{- x}{x - 1} ((x - 1) (x + 1)) - \frac{1}{x - 1} ((x + 1) (x - 1)) = 0 ((x + 1) (x - 1))$

Étape 3.2.1.5.4

Réécrivez l’expression.

$2 x^{2} - 2 x - x (x + 1) - \frac{1}{x - 1} ((x + 1) (x - 1)) = 0 ((x + 1) (x - 1))$

Étape 3.2.1.6

Appliquez la propriété distributive.

$2 x^{2} - 2 x - x \cdot x - x \cdot 1 - \frac{1}{x - 1} ((x + 1) (x - 1)) = 0 ((x + 1) (x - 1))$

Étape 3.2.1.7

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.2.1.7.1

Déplacez $x$ .

$2 x^{2} - 2 x - (x \cdot x) - x \cdot 1 - \frac{1}{x - 1} ((x + 1) (x - 1)) = 0 ((x + 1) (x - 1))$

Étape 3.2.1.7.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$2 x^{2} - 2 x - x^{2} - x \cdot 1 - \frac{1}{x - 1} ((x + 1) (x - 1)) = 0 ((x + 1) (x - 1))$

Étape 3.2.1.8

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$2 x^{2} - 2 x - x^{2} - x - \frac{1}{x - 1} ((x + 1) (x - 1)) = 0 ((x + 1) (x - 1))$

Étape 3.2.1.9

Annulez le facteur commun de $x - 1$ .

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Étape 3.2.1.9.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{x - 1}$ dans le numérateur.

$2 x^{2} - 2 x - x^{2} - x + \frac{- 1}{x - 1} ((x + 1) (x - 1)) = 0 ((x + 1) (x - 1))$

Étape 3.2.1.9.2

Factorisez $x - 1$ à partir de $(x + 1) (x - 1)$ .

$2 x^{2} - 2 x - x^{2} - x + \frac{- 1}{x - 1} ((x - 1) (x + 1)) = 0 ((x + 1) (x - 1))$

Étape 3.2.1.9.3

Annulez le facteur commun.

$2 x^{2} - 2 x - x^{2} - x + \frac{- 1}{x - 1} ((x - 1) (x + 1)) = 0 ((x + 1) (x - 1))$

Étape 3.2.1.9.4

Réécrivez l’expression.

$2 x^{2} - 2 x - x^{2} - x - (x + 1) = 0 ((x + 1) (x - 1))$

Étape 3.2.1.10

Appliquez la propriété distributive.

$2 x^{2} - 2 x - x^{2} - x - x - 1 \cdot 1 = 0 ((x + 1) (x - 1))$

Étape 3.2.1.11

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$2 x^{2} - 2 x - x^{2} - x - x - 1 = 0 ((x + 1) (x - 1))$

Étape 3.2.2

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 3.2.2.1

Soustrayez $x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$x^{2} - 2 x - x - x - 1 = 0 ((x + 1) (x - 1))$

Étape 3.2.2.2

Soustrayez $x$ de $- 2 x$ .

$x^{2} - 3 x - x - 1 = 0 ((x + 1) (x - 1))$

Étape 3.2.2.3

Soustrayez $x$ de $- 3 x$ .

$x^{2} - 4 x - 1 = 0 ((x + 1) (x - 1))$

Étape 3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.1

Développez $(x + 1) (x - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} - 4 x - 1 = 0 (x (x - 1) + 1 (x - 1))$

Étape 3.3.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} - 4 x - 1 = 0 (x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1))$

Étape 3.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} - 4 x - 1 = 0 (x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1)$

Étape 3.3.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.2.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$x^{2} - 4 x - 1 = 0 (x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1)$

Étape 3.3.2.1.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $x$ .

$x^{2} - 4 x - 1 = 0 (x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1)$

Étape 3.3.2.1.3

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$x^{2} - 4 x - 1 = 0 (x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1)$

Étape 3.3.2.1.4

Multipliez $x$ par $1$ .

$x^{2} - 4 x - 1 = 0 (x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1)$

Étape 3.3.2.1.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$x^{2} - 4 x - 1 = 0 (x^{2} - x + x - 1)$

Étape 3.3.2.2

Additionnez $- x$ et $x$ .

$x^{2} - 4 x - 1 = 0 (x^{2} + 0 - 1)$

Étape 3.3.2.3

Additionnez $x^{2}$ et $0$ .

$x^{2} - 4 x - 1 = 0 (x^{2} - 1)$

Étape 3.3.3

Multipliez $0$ par $x^{2} - 1$ .

$x^{2} - 4 x - 1 = 0$

Étape 4

Résolvez l’équation.

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Étape 4.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 4.2

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = - 4$ et $c = - 1$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.3

Simplifiez

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Étape 4.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.3.1.1

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Étape 4.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.3.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.3.1.3

Additionnez $16$ et $4$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.3.1.4

Réécrivez $20$ comme $2^{2} \cdot 5$ .

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Étape 4.3.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $20$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.3.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.3.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.3.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$

Étape 4.3.3

Simplifiez $\frac{4 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$ .

$x = 2 \pm \sqrt{5}$

Étape 4.4

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = 2 + \sqrt{5}, 2 - \sqrt{5}$

$x = 2 \pm \sqrt{5}$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = 2 \pm \sqrt{5}$

Forme décimale :

$x = 4.23606797 \dots, - 0.23606797 \dots$