Algèbre Exemples

$f (x) < | 4 x + 1 | - 3$

Étape 1

Soustrayez $f (x)$ des deux côtés de l’inégalité.

$0 < | 4 x + 1 | - 3 - f (x)$

Étape 2

Déterminez la pente et l’ordonnée à l’origine de la ligne séparatrice.

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Étape 2.1

Réécrivez en forme affine.

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Étape 2.1.1

La forme affine est $y = m x + b$ , où $m$ est la pente et $b$ est l’ordonnée à l’origine.

$y = m x + b$

Étape 2.1.2

Réécrivez de sorte que $x$ soit du côté gauche de l’inégalité.

$| 4 x + 1 | - 3 - f (x) > 0$

Étape 2.1.3

Écrivez $| 4 x + 1 | - 3 - f (x) > 0$ comme fonction définie par morceaux.

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Étape 2.1.3.1

Pour déterminer l’intervalle pour la première partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est non négatif.

$4 x + 1 \geq 0$

Étape 2.1.3.2

Résolvez l’inégalité.

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Étape 2.1.3.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’inégalité.

$4 x \geq - 1$

Étape 2.1.3.2.2

Divisez chaque terme dans $4 x \geq - 1$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 2.1.3.2.2.1

Divisez chaque terme dans $4 x \geq - 1$ par $4$ .

$\frac{4 x}{4} \geq \frac{- 1}{4}$

Étape 2.1.3.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.3.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 2.1.3.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 x}{4} \geq \frac{- 1}{4}$

Étape 2.1.3.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x \geq \frac{- 1}{4}$

Étape 2.1.3.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.3.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x \geq - \frac{1}{4}$

Étape 2.1.3.3

Dans la partie où $4 x + 1$ est non négatif, retirez la valeur absolue.

$4 x + 1 - 3 - f (x) > 0$

Étape 2.1.3.4

Pour déterminer l’intervalle pour la deuxième partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est négatif.

$4 x + 1 < 0$

Étape 2.1.3.5

Résolvez l’inégalité.

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Étape 2.1.3.5.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’inégalité.

$4 x < - 1$

Étape 2.1.3.5.2

Divisez chaque terme dans $4 x < - 1$ par $4$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.3.5.2.1

Divisez chaque terme dans $4 x < - 1$ par $4$ .

$\frac{4 x}{4} < \frac{- 1}{4}$

Étape 2.1.3.5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.3.5.2.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.3.5.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 x}{4} < \frac{- 1}{4}$

Étape 2.1.3.5.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x < \frac{- 1}{4}$

Étape 2.1.3.5.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.3.5.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x < - \frac{1}{4}$

Étape 2.1.3.6

Dans la partie où $4 x + 1$ est négatif, retirez la valeur absolue et multipliez par $- 1$ .

$- (4 x + 1) - 3 - f (x) > 0$

Étape 2.1.3.7

Écrivez comme fonction définie par morceaux.

${\begin{cases} 4 x + 1 - 3 - f (x) > 0 & x \geq - \frac{1}{4} \\ - (4 x + 1) - 3 - f (x) > 0 & x < - \frac{1}{4} \end{cases}$

Étape 2.1.3.8

Soustrayez $3$ de $1$ .

${\begin{cases} 4 x - 2 - f (x) > 0 & x \geq - \frac{1}{4} \\ - (4 x + 1) - 3 - f (x) > 0 & x < - \frac{1}{4} \end{cases}$

Étape 2.1.3.9

Simplifiez $- (4 x + 1) - 3 - f (x) > 0$ .

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Étape 2.1.3.9.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.3.9.1.1

Appliquez la propriété distributive.

${\begin{cases} 4 x - 2 - f (x) > 0 & x \geq - \frac{1}{4} \\ - (4 x) - 1 \cdot 1 - 3 - f (x) > 0 & x < - \frac{1}{4} \end{cases}$

Étape 2.1.3.9.1.2

Multipliez $4$ par $- 1$ .

${\begin{cases} 4 x - 2 - f (x) > 0 & x \geq - \frac{1}{4} \\ - 4 x - 1 \cdot 1 - 3 - f (x) > 0 & x < - \frac{1}{4} \end{cases}$

Étape 2.1.3.9.1.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

${\begin{cases} 4 x - 2 - f (x) > 0 & x \geq - \frac{1}{4} \\ - 4 x - 1 - 3 - f (x) > 0 & x < - \frac{1}{4} \end{cases}$

Étape 2.1.3.9.2

Soustrayez $3$ de $- 1$ .

${\begin{cases} 4 x - 2 - f (x) > 0 & x \geq - \frac{1}{4} \\ - 4 x - 4 - f (x) > 0 & x < - \frac{1}{4} \end{cases}$

Étape 2.1.4

Résolvez $4 x - 2 - f (x) > 0$ quand $x \geq - \frac{1}{4}$ .

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Étape 2.1.4.1

Résolvez $4 x - 2 - f (x) > 0$ pour $x$ .

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Étape 2.1.4.1.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’inégalité.

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Étape 2.1.4.1.1.1

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’inégalité.

$4 x - f (x) > 2$

Étape 2.1.4.1.1.2

Ajoutez $f (x)$ aux deux côtés de l’inégalité.

$4 x > 2 + f (x)$

Étape 2.1.4.1.2

Divisez chaque terme dans $4 x > 2 + f (x)$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 2.1.4.1.2.1

Divisez chaque terme dans $4 x > 2 + f (x)$ par $4$ .

$\frac{4 x}{4} > \frac{2}{4} + \frac{f (x)}{4}$

Étape 2.1.4.1.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.4.1.2.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.4.1.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 x}{4} > \frac{2}{4} + \frac{f (x)}{4}$

Étape 2.1.4.1.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x > \frac{2}{4} + \frac{f (x)}{4}$

Étape 2.1.4.1.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.4.1.2.3.1

Annulez le facteur commun à $2$ et $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.4.1.2.3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$x > \frac{2 (1)}{4} + \frac{f (x)}{4}$

Étape 2.1.4.1.2.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.1.4.1.2.3.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$x > \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} + \frac{f (x)}{4}$

Étape 2.1.4.1.2.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$x > \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} + \frac{f (x)}{4}$

Étape 2.1.4.1.2.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$x > \frac{1}{2} + \frac{f (x)}{4}$

Étape 2.1.4.2

Déterminez l’intersection de $x > \frac{1}{2} + \frac{f (x)}{4}$ et $x \geq - \frac{1}{4}$ .

$x > \frac{1}{2} + \frac{f (x)}{4}$ et $x \geq - \frac{1}{4}$

Étape 2.1.5

Résolvez $- 4 x - 4 - f (x) > 0$ quand $x < - \frac{1}{4}$ .

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Étape 2.1.5.1

Résolvez $- 4 x - 4 - f (x) > 0$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.5.1.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.5.1.1.1

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’inégalité.

$- 4 x - f (x) > 4$

Étape 2.1.5.1.1.2

Ajoutez $f (x)$ aux deux côtés de l’inégalité.

$- 4 x > 4 + f (x)$

Étape 2.1.5.1.2

Divisez chaque terme dans $- 4 x > 4 + f (x)$ par $- 4$ et simplifiez.

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Étape 2.1.5.1.2.1

Divisez chaque terme dans $- 4 x > 4 + f (x)$ par $- 4$ . Lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés d’une inégalité par une valeur négative, inversez le sens du signe d’inégalité.

$\frac{- 4 x}{- 4} < \frac{4}{- 4} + \frac{f (x)}{- 4}$

Étape 2.1.5.1.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.1.5.1.2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.5.1.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 4 x}{- 4} < \frac{4}{- 4} + \frac{f (x)}{- 4}$

Étape 2.1.5.1.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x < \frac{4}{- 4} + \frac{f (x)}{- 4}$

Étape 2.1.5.1.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.5.1.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.5.1.2.3.1.1

Divisez $4$ par $- 4$ .

$x < - 1 + \frac{f (x)}{- 4}$

Étape 2.1.5.1.2.3.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$x < - 1 - \frac{f (x)}{4}$

Étape 2.1.5.2

Déterminez l’intersection de $x < - 1 - \frac{f (x)}{4}$ et $x < - \frac{1}{4}$ .

$x < N o (Min i m u m)$

Étape 2.1.6

Déterminez l’union des solutions.

$x > N o Max i m u m$ ou $x < N o Min i m u m$

Étape 2.2

L’équation n’est pas linéaire, si bien qu’il n’existe pas de la pente constante.

Pas linéaire

Étape 3

Représentez une droite tiretée, puis ombrez la surface sous la ligne séparatrice étant donné que $y$ est inférieur à $| 4 x + 1 | - 3 - f (x)$ .

$0 < | 4 x + 1 | - 3 - f (x)$

Étape 4