Algèbre Exemples

$\frac{2}{{(x + h)}^{2} - 3} - \frac{2}{x^{2} - 3}$

Étape 1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.1

Réécrivez ${(x + h)}^{2}$ comme $(x + h) (x + h)$ .

$\frac{2}{(x + h) (x + h) - 3} - \frac{2}{x^{2} - 3}$

Étape 1.2

Développez $(x + h) (x + h)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2}{x (x + h) + h (x + h) - 3} - \frac{2}{x^{2} - 3}$

Étape 1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2}{x \cdot x + x h + h (x + h) - 3} - \frac{2}{x^{2} - 3}$

Étape 1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2}{x \cdot x + x h + h x + h \cdot h - 3} - \frac{2}{x^{2} - 3}$

Étape 1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{2}{x^{2} + x h + h x + h \cdot h - 3} - \frac{2}{x^{2} - 3}$

Étape 1.3.1.2

Multipliez $h$ par $h$ .

$\frac{2}{x^{2} + x h + h x + h^{2} - 3} - \frac{2}{x^{2} - 3}$

Étape 1.3.2

Additionnez $x h$ et $h x$ .

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Étape 1.3.2.1

Remettez dans l’ordre $x$ et $h$ .

$\frac{2}{x^{2} + h x + h x + h^{2} - 3} - \frac{2}{x^{2} - 3}$

Étape 1.3.2.2

Additionnez $h x$ et $h x$ .

$\frac{2}{x^{2} + 2 h x + h^{2} - 3} - \frac{2}{x^{2} - 3}$

Étape 2

Pour écrire $\frac{2}{x^{2} + 2 h x + h^{2} - 3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x^{2} - 3}{x^{2} - 3}$ .

$\frac{2}{x^{2} + 2 h x + h^{2} - 3} \cdot \frac{x^{2} - 3}{x^{2} - 3} - \frac{2}{x^{2} - 3}$

Étape 3

Pour écrire $- \frac{2}{x^{2} - 3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x^{2} + 2 h x + h^{2} - 3}{x^{2} + 2 h x + h^{2} - 3}$ .

$\frac{2}{x^{2} + 2 h x + h^{2} - 3} \cdot \frac{x^{2} - 3}{x^{2} - 3} - \frac{2}{x^{2} - 3} \cdot \frac{x^{2} + 2 h x + h^{2} - 3}{x^{2} + 2 h x + h^{2} - 3}$

Étape 4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(x^{2} + 2 h x + h^{2} - 3) (x^{2} - 3)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.1

Multipliez $\frac{2}{x^{2} + 2 h x + h^{2} - 3}$ par $\frac{x^{2} - 3}{x^{2} - 3}$ .

$\frac{2 (x^{2} - 3)}{(x^{2} + 2 h x + h^{2} - 3) (x^{2} - 3)} - \frac{2}{x^{2} - 3} \cdot \frac{x^{2} + 2 h x + h^{2} - 3}{x^{2} + 2 h x + h^{2} - 3}$

Étape 4.2

Multipliez $\frac{2}{x^{2} - 3}$ par $\frac{x^{2} + 2 h x + h^{2} - 3}{x^{2} + 2 h x + h^{2} - 3}$ .

$\frac{2 (x^{2} - 3)}{(x^{2} + 2 h x + h^{2} - 3) (x^{2} - 3)} - \frac{2 (x^{2} + 2 h x + h^{2} - 3)}{(x^{2} - 3) (x^{2} + 2 h x + h^{2} - 3)}$

Étape 4.3

Réorganisez les facteurs de $(x^{2} - 3) (x^{2} + 2 h x + h^{2} - 3)$ .

$\frac{2 (x^{2} - 3)}{(x^{2} + 2 h x + h^{2} - 3) (x^{2} - 3)} - \frac{2 (x^{2} + 2 h x + h^{2} - 3)}{(x^{2} + 2 h x + h^{2} - 3) (x^{2} - 3)}$

Étape 5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 (x^{2} - 3) - 2 (x^{2} + 2 h x + h^{2} - 3)}{(x^{2} + 2 h x + h^{2} - 3) (x^{2} - 3)}$

Étape 6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1

Factorisez $2$ à partir de $2 (x^{2} - 3) - 2 (x^{2} + 2 h x + h^{2} - 3)$ .

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Étape 6.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 (x^{2} + 2 h x + h^{2} - 3)$ .

$\frac{2 (x^{2} - 3) + 2 (- (x^{2} + 2 h x + h^{2} - 3))}{(x^{2} + 2 h x + h^{2} - 3) (x^{2} - 3)}$

Étape 6.1.2

Factorisez $2$ à partir de $2 (x^{2} - 3) + 2 (- (x^{2} + 2 h x + h^{2} - 3))$ .

$\frac{2 (x^{2} - 3 - (x^{2} + 2 h x + h^{2} - 3))}{(x^{2} + 2 h x + h^{2} - 3) (x^{2} - 3)}$

Étape 6.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (x^{2} - 3 - x^{2} - (2 h x) - h^{2} - - 3)}{(x^{2} + 2 h x + h^{2} - 3) (x^{2} - 3)}$

Étape 6.3

Simplifiez

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Étape 6.3.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{2 (x^{2} - 3 - x^{2} - 2 (h x) - h^{2} - - 3)}{(x^{2} + 2 h x + h^{2} - 3) (x^{2} - 3)}$

Étape 6.3.2

Multipliez $- 1$ par $- 3$ .

$\frac{2 (x^{2} - 3 - x^{2} - 2 (h x) - h^{2} + 3)}{(x^{2} + 2 h x + h^{2} - 3) (x^{2} - 3)}$

Étape 6.4

Soustrayez $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$\frac{2 (0 - 3 - 2 h x - h^{2} + 3)}{(x^{2} + 2 h x + h^{2} - 3) (x^{2} - 3)}$

Étape 6.5

Soustrayez $3$ de $0$ .

$\frac{2 (- 3 - 2 h x - h^{2} + 3)}{(x^{2} + 2 h x + h^{2} - 3) (x^{2} - 3)}$

Étape 6.6

Additionnez $- 3$ et $3$ .

$\frac{2 (- 2 h x - h^{2} + 0)}{(x^{2} + 2 h x + h^{2} - 3) (x^{2} - 3)}$

Étape 6.7

Additionnez $- 2 h x - h^{2}$ et $0$ .

$\frac{2 (- 2 h x - h^{2})}{(x^{2} + 2 h x + h^{2} - 3) (x^{2} - 3)}$

Étape 6.8

Factorisez $h$ à partir de $- 2 h x - h^{2}$ .

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Étape 6.8.1

Factorisez $h$ à partir de $- 2 h x$ .

$\frac{2 (h (- 2 x) - h^{2})}{(x^{2} + 2 h x + h^{2} - 3) (x^{2} - 3)}$

Étape 6.8.2

Factorisez $h$ à partir de $- h^{2}$ .

$\frac{2 (h (- 2 x) + h (- h))}{(x^{2} + 2 h x + h^{2} - 3) (x^{2} - 3)}$

Étape 6.8.3

Factorisez $h$ à partir de $h (- 2 x) + h (- h)$ .

$\frac{2 (h (- 2 x - h))}{(x^{2} + 2 h x + h^{2} - 3) (x^{2} - 3)}$

$\frac{2 h (- 2 x - h)}{(x^{2} + 2 h x + h^{2} - 3) (x^{2} - 3)}$

Étape 7

Simplifiez en factorisant.

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Étape 7.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- 2 x$ .

$\frac{2 h (- (2 x) - h)}{(x^{2} + 2 h x + h^{2} - 3) (x^{2} - 3)}$

Étape 7.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- h$ .

$\frac{2 h (- (2 x) - (h))}{(x^{2} + 2 h x + h^{2} - 3) (x^{2} - 3)}$

Étape 7.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (2 x) - (h)$ .

$\frac{2 h (- (2 x + h))}{(x^{2} + 2 h x + h^{2} - 3) (x^{2} - 3)}$

Étape 7.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 7.4.1

Réécrivez $- (2 x + h)$ comme $- 1 (2 x + h)$ .

$\frac{2 h (- 1 (2 x + h))}{(x^{2} + 2 h x + h^{2} - 3) (x^{2} - 3)}$

Étape 7.4.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{(2 h) (2 x + h)}{(x^{2} + 2 h x + h^{2} - 3) (x^{2} - 3)}$

Étape 7.4.3

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- \frac{(2 h) (2 x + h)}{(x^{2} + 2 h x + h^{2} - 3) (x^{2} - 3)}$ .

$- \frac{2 h (2 x + h)}{(x^{2} + 2 h x + h^{2} - 3) (x^{2} - 3)}$