Algèbre Exemples

$710 = 490 {(1.015)}^{x + 1} + 180$

Étape 1

Réécrivez l’équation comme $490 \cdot {1.015}^{x + 1} + 180 = 710$ .

$490 \cdot {1.015}^{x + 1} + 180 = 710$

Étape 2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 2.1

Soustrayez $180$ des deux côtés de l’équation.

$490 \cdot {1.015}^{x + 1} = 710 - 180$

Étape 2.2

Soustrayez $180$ de $710$ .

$490 \cdot {1.015}^{x + 1} = 530$

Étape 3

Divisez chaque terme dans $490 \cdot {1.015}^{x + 1} = 530$ par $490$ et simplifiez.

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Étape 3.1

Divisez chaque terme dans $490 \cdot {1.015}^{x + 1} = 530$ par $490$ .

$\frac{490 \cdot {1.015}^{x + 1}}{490} = \frac{530}{490}$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Annulez le facteur commun de $490$ .

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Étape 3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{490 \cdot {1.015}^{x + 1}}{490} = \frac{530}{490}$

Étape 3.2.1.2

Divisez ${1.015}^{x + 1}$ par $1$ .

${1.015}^{x + 1} = \frac{530}{490}$

Étape 3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.1

Annulez le facteur commun à $530$ et $490$ .

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Étape 3.3.1.1

Factorisez $10$ à partir de $530$ .

${1.015}^{x + 1} = \frac{10 (53)}{490}$

Étape 3.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.3.1.2.1

Factorisez $10$ à partir de $490$ .

${1.015}^{x + 1} = \frac{10 \cdot 53}{10 \cdot 49}$

Étape 3.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

${1.015}^{x + 1} = \frac{10 \cdot 53}{10 \cdot 49}$

Étape 3.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

${1.015}^{x + 1} = \frac{53}{49}$

Étape 4

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln ({1.015}^{x + 1}) = \ln (\frac{53}{49})$

Étape 5

Développez $\ln ({1.015}^{x + 1})$ en déplaçant $x + 1$ hors du logarithme.

$(x + 1) \ln (1.015) = \ln (\frac{53}{49})$

Étape 6

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.1

Simplifiez $(x + 1) \ln (1.015)$ .

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Étape 6.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$x \ln (1.015) + 1 \ln (1.015) = \ln (\frac{53}{49})$

Étape 6.1.2

Multipliez $\ln (1.015)$ par $1$ .

$x \ln (1.015) + \ln (1.015) = \ln (\frac{53}{49})$

Étape 7

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$x \ln (1.015) + \ln (1.015) - \ln (\frac{53}{49}) = 0$

Étape 8

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$x \ln (1.015) + \ln (\frac{1.015}{\frac{53}{49}}) = 0$

Étape 9

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x \ln (1.015) + \ln (1.015 (\frac{49}{53})) = 0$

Étape 9.2

Multipliez $1.015 (\frac{49}{53})$ .

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Étape 9.2.1

Associez $1.015$ et $\frac{49}{53}$ .

$x \ln (1.015) + \ln (\frac{1.015 \cdot 49}{53}) = 0$

Étape 9.2.2

Multipliez $1.015$ par $49$ .

$x \ln (1.015) + \ln (\frac{49.735}{53}) = 0$

Étape 9.3

Divisez $49.735$ par $53$ .

$x \ln (1.015) + \ln (0.93839622) = 0$

Étape 10

Soustrayez $\ln (0.93839622)$ des deux côtés de l’équation.

$x \ln (1.015) = - \ln (0.93839622)$

Étape 11

Divisez chaque terme dans $x \ln (1.015) = - \ln (0.93839622)$ par $\ln (1.015)$ et simplifiez.

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Étape 11.1

Divisez chaque terme dans $x \ln (1.015) = - \ln (0.93839622)$ par $\ln (1.015)$ .

$\frac{x \ln (1.015)}{\ln (1.015)} = \frac{- \ln (0.93839622)}{\ln (1.015)}$

Étape 11.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 11.2.1

Annulez le facteur commun de $\ln (1.015)$ .

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Étape 11.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \ln (1.015)}{\ln (1.015)} = \frac{- \ln (0.93839622)}{\ln (1.015)}$

Étape 11.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- \ln (0.93839622)}{\ln (1.015)}$

Étape 11.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 11.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{\ln (0.93839622)}{\ln (1.015)}$

Étape 12

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = - \frac{\ln (0.93839622)}{\ln (1.015)}$

Forme décimale :

$x = 4.27057947 \dots$