Algèbre Exemples

$\frac{5 x^{8} - 20 x^{4}}{5 x^{8} + 20 x^{6} + 20 x^{4}}$

Étape 1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1

Factorisez $5 x^{4}$ à partir de $5 x^{8} - 20 x^{4}$ .

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Étape 1.1.1

Factorisez $5 x^{4}$ à partir de $5 x^{8}$ .

$\frac{5 x^{4} (x^{4}) - 20 x^{4}}{5 x^{8} + 20 x^{6} + 20 x^{4}}$

Étape 1.1.2

Factorisez $5 x^{4}$ à partir de $- 20 x^{4}$ .

$\frac{5 x^{4} (x^{4}) + 5 x^{4} (- 4)}{5 x^{8} + 20 x^{6} + 20 x^{4}}$

Étape 1.1.3

Factorisez $5 x^{4}$ à partir de $5 x^{4} (x^{4}) + 5 x^{4} (- 4)$ .

$\frac{5 x^{4} (x^{4} - 4)}{5 x^{8} + 20 x^{6} + 20 x^{4}}$

Étape 1.2

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

$\frac{5 x^{4} ({(x^{2})}^{2} - 4)}{5 x^{8} + 20 x^{6} + 20 x^{4}}$

Étape 1.3

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{5 x^{4} ({(x^{2})}^{2} - 2^{2})}{5 x^{8} + 20 x^{6} + 20 x^{4}}$

Étape 1.4

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x^{2}$ et $b = 2$ .

$\frac{5 x^{4} (x^{2} + 2) (x^{2} - 2)}{5 x^{8} + 20 x^{6} + 20 x^{4}}$

Étape 2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.1

Factorisez $5 x^{4}$ à partir de $5 x^{8} + 20 x^{6} + 20 x^{4}$ .

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Étape 2.1.1

Factorisez $5 x^{4}$ à partir de $5 x^{8}$ .

$\frac{5 x^{4} (x^{2} + 2) (x^{2} - 2)}{5 x^{4} (x^{4}) + 20 x^{6} + 20 x^{4}}$

Étape 2.1.2

Factorisez $5 x^{4}$ à partir de $20 x^{6}$ .

$\frac{5 x^{4} (x^{2} + 2) (x^{2} - 2)}{5 x^{4} (x^{4}) + 5 x^{4} (4 x^{2}) + 20 x^{4}}$

Étape 2.1.3

Factorisez $5 x^{4}$ à partir de $20 x^{4}$ .

$\frac{5 x^{4} (x^{2} + 2) (x^{2} - 2)}{5 x^{4} (x^{4}) + 5 x^{4} (4 x^{2}) + 5 x^{4} (4)}$

Étape 2.1.4

Factorisez $5 x^{4}$ à partir de $5 x^{4} (x^{4}) + 5 x^{4} (4 x^{2})$ .

$\frac{5 x^{4} (x^{2} + 2) (x^{2} - 2)}{5 x^{4} (x^{4} + 4 x^{2}) + 5 x^{4} (4)}$

Étape 2.1.5

Factorisez $5 x^{4}$ à partir de $5 x^{4} (x^{4} + 4 x^{2}) + 5 x^{4} (4)$ .

$\frac{5 x^{4} (x^{2} + 2) (x^{2} - 2)}{5 x^{4} (x^{4} + 4 x^{2} + 4)}$

Étape 2.2

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

$\frac{5 x^{4} (x^{2} + 2) (x^{2} - 2)}{5 x^{4} ({(x^{2})}^{2} + 4 x^{2} + 4)}$

Étape 2.3

Laissez $u = x^{2}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{2}$ par $u$ .

$\frac{5 x^{4} (x^{2} + 2) (x^{2} - 2)}{5 x^{4} (u^{2} + 4 u + 4)}$

Étape 2.4

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 2.4.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{5 x^{4} (x^{2} + 2) (x^{2} - 2)}{5 x^{4} (u^{2} + 4 u + 2^{2})}$

Étape 2.4.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$4 u = 2 \cdot u \cdot 2$

Étape 2.4.3

Réécrivez le polynôme.

$\frac{5 x^{4} (x^{2} + 2) (x^{2} - 2)}{5 x^{4} (u^{2} + 2 \cdot u \cdot 2 + 2^{2})}$

Étape 2.4.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , où $a = u$ et $b = 2$ .

$\frac{5 x^{4} (x^{2} + 2) (x^{2} - 2)}{5 x^{4} {(u + 2)}^{2}}$

Étape 2.5

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$\frac{5 x^{4} (x^{2} + 2) (x^{2} - 2)}{5 x^{4} {(x^{2} + 2)}^{2}}$

Étape 3

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 3.1

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 3.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 x^{4} (x^{2} + 2) (x^{2} - 2)}{5 x^{4} {(x^{2} + 2)}^{2}}$

Étape 3.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{(x^{4} (x^{2} + 2)) (x^{2} - 2)}{x^{4} {(x^{2} + 2)}^{2}}$

Étape 3.2

Annulez le facteur commun de $x^{4}$ .

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Étape 3.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{4} (x^{2} + 2) (x^{2} - 2)}{x^{4} {(x^{2} + 2)}^{2}}$

Étape 3.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{(x^{2} + 2) (x^{2} - 2)}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

Étape 4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.1

Factorisez $x^{2} + 2$ à partir de ${(x^{2} + 2)}^{2}$ .

$\frac{(x^{2} + 2) (x^{2} - 2)}{(x^{2} + 2) (x^{2} + 2)}$

Étape 4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x^{2} + 2) (x^{2} - 2)}{(x^{2} + 2) (x^{2} + 2)}$

Étape 4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{x^{2} - 2}{x^{2} + 2}$