Algèbre Exemples

$\frac{a}{b} (1 - \frac{a}{x}) + \frac{b}{a} (1 - \frac{b}{x}) = 1$

Étape 1

Simplifiez $\frac{a}{b} \cdot (1 - \frac{a}{x}) + \frac{b}{a} \cdot (1 - \frac{b}{x})$ .

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Étape 1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.1

Multipliez $\frac{a}{b}$ par $1 - \frac{a}{x}$ .

$\frac{a (1 - \frac{a}{x})}{b} + \frac{b}{a} \cdot (1 - \frac{b}{x}) = 1$

Étape 1.1.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.2.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{a (\frac{x}{x} - \frac{a}{x})}{b} + \frac{b}{a} \cdot (1 - \frac{b}{x}) = 1$

Étape 1.1.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{a \frac{x - a}{x}}{b} + \frac{b}{a} \cdot (1 - \frac{b}{x}) = 1$

Étape 1.1.3

Associez $a$ et $\frac{x - a}{x}$ .

$\frac{\frac{a (x - a)}{x}}{b} + \frac{b}{a} \cdot (1 - \frac{b}{x}) = 1$

Étape 1.1.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{a (x - a)}{x} \cdot \frac{1}{b} + \frac{b}{a} \cdot (1 - \frac{b}{x}) = 1$

Étape 1.1.5

Multipliez $\frac{a (x - a)}{x}$ par $\frac{1}{b}$ .

$\frac{a (x - a)}{x b} + \frac{b}{a} \cdot (1 - \frac{b}{x}) = 1$

Étape 1.1.6

Multipliez $\frac{b}{a}$ par $1 - \frac{b}{x}$ .

$\frac{a (x - a)}{x b} + \frac{b (1 - \frac{b}{x})}{a} = 1$

Étape 1.1.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.7.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{a (x - a)}{x b} + \frac{b (\frac{x}{x} - \frac{b}{x})}{a} = 1$

Étape 1.1.7.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{a (x - a)}{x b} + \frac{b \frac{x - b}{x}}{a} = 1$

Étape 1.1.8

Associez $b$ et $\frac{x - b}{x}$ .

$\frac{a (x - a)}{x b} + \frac{\frac{b (x - b)}{x}}{a} = 1$

Étape 1.1.9

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{a (x - a)}{x b} + \frac{b (x - b)}{x} \cdot \frac{1}{a} = 1$

Étape 1.1.10

Multipliez $\frac{b (x - b)}{x}$ par $\frac{1}{a}$ .

$\frac{a (x - a)}{x b} + \frac{b (x - b)}{x a} = 1$

Étape 1.2

Pour écrire $\frac{a (x - a)}{x b}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{a}{a}$ .

$\frac{a (x - a)}{x b} \cdot \frac{a}{a} + \frac{b (x - b)}{x a} = 1$

Étape 1.3

Pour écrire $\frac{b (x - b)}{x a}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{b}{b}$ .

$\frac{a (x - a)}{x b} \cdot \frac{a}{a} + \frac{b (x - b)}{x a} \cdot \frac{b}{b} = 1$

Étape 1.4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $x b a$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 1.4.1

Multipliez $\frac{a (x - a)}{x b}$ par $\frac{a}{a}$ .

$\frac{a (x - a) a}{x b a} + \frac{b (x - b)}{x a} \cdot \frac{b}{b} = 1$

Étape 1.4.2

Multipliez $\frac{b (x - b)}{x a}$ par $\frac{b}{b}$ .

$\frac{a (x - a) a}{x b a} + \frac{b (x - b) b}{x a b} = 1$

Étape 1.4.3

Réorganisez les facteurs de $x b a$ .

$\frac{a (x - a) a}{a b x} + \frac{b (x - b) b}{x a b} = 1$

Étape 1.4.4

Réorganisez les facteurs de $x a b$ .

$\frac{a (x - a) a}{a b x} + \frac{b (x - b) b}{a b x} = 1$

Étape 1.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{a (x - a) a + b (x - b) b}{a b x} = 1$

Étape 1.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.6.1

Multipliez $a$ par $a$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.6.1.1

Déplacez $a$ .

$\frac{a \cdot a (x - a) + b (x - b) b}{a b x} = 1$

Étape 1.6.1.2

Multipliez $a$ par $a$ .

$\frac{a^{2} (x - a) + b (x - b) b}{a b x} = 1$

Étape 1.6.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{a^{2} x + a^{2} (- a) + b (x - b) b}{a b x} = 1$

Étape 1.6.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{a^{2} x - a^{2} a + b (x - b) b}{a b x} = 1$

Étape 1.6.4

Multipliez $a^{2}$ par $a$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.6.4.1

Déplacez $a$ .

$\frac{a^{2} x - (a \cdot a^{2}) + b (x - b) b}{a b x} = 1$

Étape 1.6.4.2

Multipliez $a$ par $a^{2}$ .

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Étape 1.6.4.2.1

Élevez $a$ à la puissance $1$ .

$\frac{a^{2} x - (a^{1} a^{2}) + b (x - b) b}{a b x} = 1$

Étape 1.6.4.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{a^{2} x - a^{1 + 2} + b (x - b) b}{a b x} = 1$

Étape 1.6.4.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{a^{2} x - a^{3} + b (x - b) b}{a b x} = 1$

Étape 1.6.5

Multipliez $b$ par $b$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.6.5.1

Déplacez $b$ .

$\frac{a^{2} x - a^{3} + b \cdot b (x - b)}{a b x} = 1$

Étape 1.6.5.2

Multipliez $b$ par $b$ .

$\frac{a^{2} x - a^{3} + b^{2} (x - b)}{a b x} = 1$

Étape 1.6.6

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{a^{2} x - a^{3} + b^{2} x + b^{2} (- b)}{a b x} = 1$

Étape 1.6.7

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{a^{2} x - a^{3} + b^{2} x - b^{2} b}{a b x} = 1$

Étape 1.6.8

Multipliez $b^{2}$ par $b$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.6.8.1

Déplacez $b$ .

$\frac{a^{2} x - a^{3} + b^{2} x - (b \cdot b^{2})}{a b x} = 1$

Étape 1.6.8.2

Multipliez $b$ par $b^{2}$ .

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Étape 1.6.8.2.1

Élevez $b$ à la puissance $1$ .

$\frac{a^{2} x - a^{3} + b^{2} x - (b^{1} b^{2})}{a b x} = 1$

Étape 1.6.8.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{a^{2} x - a^{3} + b^{2} x - b^{1 + 2}}{a b x} = 1$

Étape 1.6.8.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{a^{2} x - a^{3} + b^{2} x - b^{3}}{a b x} = 1$

Étape 2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$a b x, 1$

Étape 2.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$a b x$

Étape 3

Multiplier chaque terme dans $\frac{a^{2} x - a^{3} + b^{2} x - b^{3}}{a b x} = 1$ par $a b x$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 3.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{a^{2} x - a^{3} + b^{2} x - b^{3}}{a b x} = 1$ par $a b x$ .

$\frac{a^{2} x - a^{3} + b^{2} x - b^{3}}{a b x} (a b x) = 1 (a b x)$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Annulez le facteur commun de $a b x$ .

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Étape 3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{a^{2} x - a^{3} + b^{2} x - b^{3}}{a b x} (a b x) = 1 (a b x)$

Étape 3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$a^{2} x - a^{3} + b^{2} x - b^{3} = 1 (a b x)$

Étape 3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.1

Multipliez $a b x$ par $1$ .

$a^{2} x - a^{3} + b^{2} x - b^{3} = a b x$

Étape 4

Résolvez l’équation.

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Étape 4.1

Soustrayez $a b x$ des deux côtés de l’équation.

$a^{2} x - a^{3} + b^{2} x - b^{3} - a b x = 0$

Étape 4.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 4.2.1

Ajoutez $a^{3}$ aux deux côtés de l’équation.

$a^{2} x + b^{2} x - b^{3} - a b x = a^{3}$

Étape 4.2.2

Ajoutez $b^{3}$ aux deux côtés de l’équation.

$a^{2} x + b^{2} x - a b x = a^{3} + b^{3}$

Étape 4.3

Factorisez $x$ à partir de $a^{2} x + b^{2} x - a b x$ .

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Étape 4.3.1

Factorisez $x$ à partir de $a^{2} x$ .

$x a^{2} + b^{2} x - a b x = a^{3} + b^{3}$

Étape 4.3.2

Factorisez $x$ à partir de $b^{2} x$ .

$x a^{2} + x b^{2} - a b x = a^{3} + b^{3}$

Étape 4.3.3

Factorisez $x$ à partir de $- a b x$ .

$x a^{2} + x b^{2} + x (- a b) = a^{3} + b^{3}$

Étape 4.3.4

Factorisez $x$ à partir de $x a^{2} + x b^{2}$ .

$x (a^{2} + b^{2}) + x (- a b) = a^{3} + b^{3}$

Étape 4.3.5

Factorisez $x$ à partir de $x (a^{2} + b^{2}) + x (- a b)$ .

$x (a^{2} + b^{2} - a b) = a^{3} + b^{3}$

Étape 4.4

Divisez chaque terme dans $x (a^{2} + b^{2} - a b) = a^{3} + b^{3}$ par $a^{2} + b^{2} - a b$ et simplifiez.

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Étape 4.4.1

Divisez chaque terme dans $x (a^{2} + b^{2} - a b) = a^{3} + b^{3}$ par $a^{2} + b^{2} - a b$ .

$\frac{x (a^{2} + b^{2} - a b)}{a^{2} + b^{2} - a b} = \frac{a^{3}}{a^{2} + b^{2} - a b} + \frac{b^{3}}{a^{2} + b^{2} - a b}$

Étape 4.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.4.2.1

Annulez le facteur commun de $a^{2} + b^{2} - a b$ .

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Étape 4.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x (a^{2} + b^{2} - a b)}{a^{2} + b^{2} - a b} = \frac{a^{3}}{a^{2} + b^{2} - a b} + \frac{b^{3}}{a^{2} + b^{2} - a b}$

Étape 4.4.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{a^{3}}{a^{2} + b^{2} - a b} + \frac{b^{3}}{a^{2} + b^{2} - a b}$

Étape 4.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.4.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{a^{3} + b^{3}}{a^{2} + b^{2} - a b}$

Étape 4.4.3.2

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la somme des cubes, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ où $a = a$ et $b = b$ .

$x = \frac{(a + b) (a^{2} - a b + b^{2})}{a^{2} + b^{2} - a b}$

Étape 4.4.3.3

Annulez le facteur commun à $a^{2} - a b + b^{2}$ et $a^{2} + b^{2} - a b$ .

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Étape 4.4.3.3.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$x = \frac{(a + b) (a^{2} + b^{2} - a b)}{a^{2} + b^{2} - a b}$

Étape 4.4.3.3.2

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{(a + b) (a^{2} + b^{2} - a b)}{a^{2} + b^{2} - a b}$

Étape 4.4.3.3.3

Divisez $a + b$ par $1$ .

$x = a + b$