Algèbre Exemples

$\frac{2}{x + 3} - \frac{x}{x - 1} + \frac{x^{2} + 2}{x^{2} + 2 x - 3}$

Étape 1

Factorisez $x^{2} + 2 x - 3$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 3$ et dont la somme est $2$ .

$- 1, 3$

Étape 1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{2}{x + 3} - \frac{x}{x - 1} + \frac{x^{2} + 2}{(x - 1) (x + 3)}$

Étape 2

Pour écrire $\frac{2}{x + 3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{2}{x + 3} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} - \frac{x}{x - 1} + \frac{x^{2} + 2}{(x - 1) (x + 3)}$

Étape 3

Pour écrire $- \frac{x}{x - 1}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$\frac{2}{x + 3} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} - \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{x + 3}{x + 3} + \frac{x^{2} + 2}{(x - 1) (x + 3)}$

Étape 4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(x + 3) (x - 1)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.1

Multipliez $\frac{2}{x + 3}$ par $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{2 (x - 1)}{(x + 3) (x - 1)} - \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{x + 3}{x + 3} + \frac{x^{2} + 2}{(x - 1) (x + 3)}$

Étape 4.2

Multipliez $\frac{x}{x - 1}$ par $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$\frac{2 (x - 1)}{(x + 3) (x - 1)} - \frac{x (x + 3)}{(x - 1) (x + 3)} + \frac{x^{2} + 2}{(x - 1) (x + 3)}$

Étape 4.3

Réorganisez les facteurs de $(x - 1) (x + 3)$ .

$\frac{2 (x - 1)}{(x + 3) (x - 1)} - \frac{x (x + 3)}{(x + 3) (x - 1)} + \frac{x^{2} + 2}{(x - 1) (x + 3)}$

Étape 5

Simplifiez les termes.

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Étape 5.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 (x - 1) - x (x + 3)}{(x + 3) (x - 1)} + \frac{x^{2} + 2}{(x - 1) (x + 3)}$

Étape 5.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 (x - 1) - x (x + 3) + x^{2} + 2}{(x + 3) (x - 1)}$

Étape 6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x + 2 \cdot - 1 - x (x + 3) + x^{2} + 2}{(x + 3) (x - 1)}$

Étape 6.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{2 x - 2 - x (x + 3) + x^{2} + 2}{(x + 3) (x - 1)}$

Étape 6.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x - 2 - x \cdot x - x \cdot 3 + x^{2} + 2}{(x + 3) (x - 1)}$

Étape 6.4

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.4.1

Déplacez $x$ .

$\frac{2 x - 2 - (x \cdot x) - x \cdot 3 + x^{2} + 2}{(x + 3) (x - 1)}$

Étape 6.4.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{2 x - 2 - x^{2} - x \cdot 3 + x^{2} + 2}{(x + 3) (x - 1)}$

Étape 6.5

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{2 x - 2 - x^{2} - 3 x + x^{2} + 2}{(x + 3) (x - 1)}$

Étape 7

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 7.1

Associez les termes opposés dans $2 x - 2 - x^{2} - 3 x + x^{2} + 2$ .

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Étape 7.1.1

Additionnez $- x^{2}$ et $x^{2}$ .

$\frac{2 x - 2 - 3 x + 0 + 2}{(x + 3) (x - 1)}$

Étape 7.1.2

Additionnez $2 x - 2 - 3 x$ et $0$ .

$\frac{2 x - 2 - 3 x + 2}{(x + 3) (x - 1)}$

Étape 7.1.3

Additionnez $- 2$ et $2$ .

$\frac{2 x - 3 x + 0}{(x + 3) (x - 1)}$

Étape 7.1.4

Additionnez $2 x - 3 x$ et $0$ .

$\frac{2 x - 3 x}{(x + 3) (x - 1)}$

Étape 7.2

Soustrayez $3 x$ de $2 x$ .

$\frac{- x}{(x + 3) (x - 1)}$

Étape 7.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{x}{(x + 3) (x - 1)}$