Algèbre Exemples

$| x^{2} + x - 6 | < 6$

Étape 1

Écrivez $| x^{2} + x - 6 | < 6$ comme fonction définie par morceaux.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Pour déterminer l’intervalle pour la première partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est non négatif.

$x^{2} + x - 6 \geq 0$

Étape 1.2

Résolvez l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Convertissez l’inégalité en une équation.

$x^{2} + x - 6 = 0$

Étape 1.2.2

Factorisez $x^{2} + x - 6$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.2.2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 6$ et dont la somme est $1$ .

$- 2, 3$

Étape 1.2.2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(x - 2) (x + 3) = 0$

Étape 1.2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 2 = 0$

$x + 3 = 0$

Étape 1.2.4

Définissez $x - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.4.1

Définissez $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 1.2.4.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 1.2.5

Définissez $x + 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.5.1

Définissez $x + 3$ égal à $0$ .

$x + 3 = 0$

Étape 1.2.5.2

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 3$

Étape 1.2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 2) (x + 3) = 0$ vraie.

$x = 2, - 3$

Étape 1.2.7

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 3$

$- 3 < x < 2$

$x > 2$

Étape 1.2.8

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.8.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 3$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.8.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 3$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 6$

Étape 1.2.8.1.2

Remplacez $x$ par $- 6$ dans l’inégalité d’origine.

${(- 6)}^{2} - 6 - 6 \geq 0$

Étape 1.2.8.1.3

Le côté gauche $24$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 1.2.8.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 3 < x < 2$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.8.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 3 < x < 2$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 1.2.8.2.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

${(0)}^{2} + 0 - 6 \geq 0$

Étape 1.2.8.2.3

Le côté gauche $- 6$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 1.2.8.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 2$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.8.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 2$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 4$

Étape 1.2.8.3.2

Remplacez $x$ par $4$ dans l’inégalité d’origine.

${(4)}^{2} + 4 - 6 \geq 0$

Étape 1.2.8.3.3

Le côté gauche $14$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 1.2.8.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 3$ Vrai

$- 3 < x < 2$ Faux

$x > 2$ Vrai

$x < - 3$ Vrai

$- 3 < x < 2$ Faux

$x > 2$ Vrai

Étape 1.2.9

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x \leq - 3$ ou $x \geq 2$

Étape 1.3

Dans la partie où $x^{2} + x - 6$ est non négatif, retirez la valeur absolue.

$x^{2} + x - 6 < 6$

Étape 1.4

Pour déterminer l’intervalle pour la deuxième partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est négatif.

$x^{2} + x - 6 < 0$

Étape 1.5

Résolvez l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.1

Convertissez l’inégalité en une équation.

$x^{2} + x - 6 = 0$

Étape 1.5.2

Factorisez $x^{2} + x - 6$ à l’aide de la méthode AC.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 6$ et dont la somme est $1$ .

$- 2, 3$

Étape 1.5.2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(x - 2) (x + 3) = 0$

Étape 1.5.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 2 = 0$

$x + 3 = 0$

Étape 1.5.4

Définissez $x - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.4.1

Définissez $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 1.5.4.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 1.5.5

Définissez $x + 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.5.1

Définissez $x + 3$ égal à $0$ .

$x + 3 = 0$

Étape 1.5.5.2

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 3$

Étape 1.5.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 2) (x + 3) = 0$ vraie.

$x = 2, - 3$

Étape 1.5.7

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 3$

$- 3 < x < 2$

$x > 2$

Étape 1.5.8

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.8.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 3$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.8.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 3$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 6$

Étape 1.5.8.1.2

Remplacez $x$ par $- 6$ dans l’inégalité d’origine.

${(- 6)}^{2} - 6 - 6 < 0$

Étape 1.5.8.1.3

Le côté gauche $24$ n’est pas inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 1.5.8.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 3 < x < 2$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.8.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 3 < x < 2$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 1.5.8.2.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

${(0)}^{2} + 0 - 6 < 0$

Étape 1.5.8.2.3

Le côté gauche $- 6$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 1.5.8.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 2$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.8.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 2$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 4$

Étape 1.5.8.3.2

Remplacez $x$ par $4$ dans l’inégalité d’origine.

${(4)}^{2} + 4 - 6 < 0$

Étape 1.5.8.3.3

Le côté gauche $14$ n’est pas inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 1.5.8.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 3$ Faux

$- 3 < x < 2$ Vrai

$x > 2$ Faux

$x < - 3$ Faux

$- 3 < x < 2$ Vrai

$x > 2$ Faux

Étape 1.5.9

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$- 3 < x < 2$

Étape 1.6

Dans la partie où $x^{2} + x - 6$ est négatif, retirez la valeur absolue et multipliez par $- 1$ .

$- (x^{2} + x - 6) < 6$

Étape 1.7

Écrivez comme fonction définie par morceaux.

${\begin{cases} x^{2} + x - 6 < 6 & x \leq - 3 or x \geq 2 \\ - (x^{2} + x - 6) < 6 & - 3 < x < 2 \end{cases}$

Étape 1.8

Simplifiez $- (x^{2} + x - 6) < 6$ .

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Étape 1.8.1

Appliquez la propriété distributive.

${\begin{cases} x^{2} + x - 6 < 6 & x \leq - 3 or x \geq 2 \\ - x^{2} - x - - 6 < 6 & - 3 < x < 2 \end{cases}$

Étape 1.8.2

Multipliez $- 1$ par $- 6$ .

${\begin{cases} x^{2} + x - 6 < 6 & x \leq - 3 or x \geq 2 \\ - x^{2} - x + 6 < 6 & - 3 < x < 2 \end{cases}$

Étape 2

Résolvez $x^{2} + x - 6 < 6$ quand $x \leq - 3 or x \geq 2$ .

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Étape 2.1

Résolvez $x^{2} + x - 6 < 6$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1

Convertissez l’inégalité en une équation.

$x^{2} + x - 6 = 6$

Étape 2.1.2

Soustrayez $6$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} + x - 6 - 6 = 0$

Étape 2.1.3

Soustrayez $6$ de $- 6$ .

$x^{2} + x - 12 = 0$

Étape 2.1.4

Factorisez $x^{2} + x - 12$ à l’aide de la méthode AC.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.4.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 12$ et dont la somme est $1$ .

$- 3, 4$

Étape 2.1.4.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(x - 3) (x + 4) = 0$

Étape 2.1.5

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 3 = 0$

$x + 4 = 0$

Étape 2.1.6

Définissez $x - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.6.1

Définissez $x - 3$ égal à $0$ .

$x - 3 = 0$

Étape 2.1.6.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 3$

Étape 2.1.7

Définissez $x + 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.7.1

Définissez $x + 4$ égal à $0$ .

$x + 4 = 0$

Étape 2.1.7.2

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 4$

Étape 2.1.8

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 3) (x + 4) = 0$ vraie.

$x = 3, - 4$

Étape 2.1.9

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 4$

$- 4 < x < 3$

$x > 3$

Étape 2.1.10

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.10.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 4$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.10.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 4$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 6$

Étape 2.1.10.1.2

Remplacez $x$ par $- 6$ dans l’inégalité d’origine.

${(- 6)}^{2} - 6 - 6 < 6$

Étape 2.1.10.1.3

Le côté gauche $24$ n’est pas inférieur au côté droit $6$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 2.1.10.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 4 < x < 3$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.10.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 4 < x < 3$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 2.1.10.2.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

${(0)}^{2} + 0 - 6 < 6$

Étape 2.1.10.2.3

Le côté gauche $- 6$ est inférieur au côté droit $6$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 2.1.10.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 3$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.10.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 3$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 6$

Étape 2.1.10.3.2

Remplacez $x$ par $6$ dans l’inégalité d’origine.

${(6)}^{2} + 6 - 6 < 6$

Étape 2.1.10.3.3

Le côté gauche $36$ n’est pas inférieur au côté droit $6$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 2.1.10.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 4$ Faux

$- 4 < x < 3$ Vrai

$x > 3$ Faux

$x < - 4$ Faux

$- 4 < x < 3$ Vrai

$x > 3$ Faux

Étape 2.1.11

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$- 4 < x < 3$

Étape 2.2

Déterminez l’intersection de $- 4 < x < 3$ et $x \leq - 3 o r + x \geq 2$ .

$- 4 < x \leq - 3$ ou $2 \leq x < 3$

Étape 3

Résolvez $- x^{2} - x + 6 < 6$ quand $- 3 < x < 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Résolvez $- x^{2} - x + 6 < 6$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.1

Convertissez l’inégalité en une équation.

$- x^{2} - x + 6 = 6$

Étape 3.1.2

Soustrayez $6$ des deux côtés de l’équation.

$- x^{2} - x + 6 - 6 = 0$

Étape 3.1.3

Associez les termes opposés dans $- x^{2} - x + 6 - 6$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.3.1

Soustrayez $6$ de $6$ .

$- x^{2} - x + 0 = 0$

Étape 3.1.3.2

Additionnez $- x^{2} - x$ et $0$ .

$- x^{2} - x = 0$

Étape 3.1.4

Factorisez $- x$ à partir de $- x^{2} - x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.4.1

Factorisez $- x$ à partir de $- x^{2}$ .

$- x \cdot x - x = 0$

Étape 3.1.4.2

Factorisez $- x$ à partir de $- x$ .

$- x \cdot x - x \cdot 1 = 0$

Étape 3.1.4.3

Factorisez $- x$ à partir de $- x (x) - x (1)$ .

$- x (x + 1) = 0$

Étape 3.1.5

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$x + 1 = 0$

Étape 3.1.6

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 3.1.7

Définissez $x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.7.1

Définissez $x + 1$ égal à $0$ .

$x + 1 = 0$

Étape 3.1.7.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 3.1.8

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $- x (x + 1) = 0$ vraie.

$x = 0, - 1$

Étape 3.1.9

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 1$

$- 1 < x < 0$

$x > 0$

Étape 3.1.10

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.10.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.10.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 4$

Étape 3.1.10.1.2

Remplacez $x$ par $- 4$ dans l’inégalité d’origine.

$- {(- 4)}^{2} - (- 4) + 6 < 6$

Étape 3.1.10.1.3

Le côté gauche $- 6$ est inférieur au côté droit $6$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 3.1.10.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 1 < x < 0$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.10.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 1 < x < 0$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 0.5$

Étape 3.1.10.2.2

Remplacez $x$ par $- 0.5$ dans l’inégalité d’origine.

$- {(- 0.5)}^{2} - (- 0.5) + 6 < 6$

Étape 3.1.10.2.3

Le côté gauche $6.25$ n’est pas inférieur au côté droit $6$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 3.1.10.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 0$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.10.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 0$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 2$

Étape 3.1.10.3.2

Remplacez $x$ par $2$ dans l’inégalité d’origine.

$- {(2)}^{2} - (2) + 6 < 6$

Étape 3.1.10.3.3

Le côté gauche $0$ est inférieur au côté droit $6$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 3.1.10.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 1$ Vrai

$- 1 < x < 0$ Faux

$x > 0$ Vrai

$x < - 1$ Vrai

$- 1 < x < 0$ Faux

$x > 0$ Vrai

Étape 3.1.11

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x < - 1$ ou $x > 0$

Étape 3.2

Déterminez l’intersection de $x < - 1 or x > 0$ et $- 3 < x < 2$ .

$- 3 < x < - 1$ ou $0 < x < 2$

Étape 4

Déterminez l’union des solutions.

$- 4 < x < - 1$ ou $0 < x < 3$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$- 4 < x < - 1 or 0 < x < 3$

Notation d’intervalle :

$(- 4, - 1) \cup (0, 3)$

Étape 6