Algèbre Exemples

$\frac{2}{x - 3} + \frac{3}{x + 2} - \frac{4 x - 7}{x^{2} - x - 6}$

Étape 1

Factorisez $x^{2} - x - 6$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 6$ et dont la somme est $- 1$ .

$- 3, 2$

Étape 1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{2}{x - 3} + \frac{3}{x + 2} - \frac{4 x - 7}{(x - 3) (x + 2)}$

Étape 2

Pour écrire $\frac{2}{x - 3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$\frac{2}{x - 3} \cdot \frac{x + 2}{x + 2} + \frac{3}{x + 2} - \frac{4 x - 7}{(x - 3) (x + 2)}$

Étape 3

Pour écrire $\frac{3}{x + 2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$\frac{2}{x - 3} \cdot \frac{x + 2}{x + 2} + \frac{3}{x + 2} \cdot \frac{x - 3}{x - 3} - \frac{4 x - 7}{(x - 3) (x + 2)}$

Étape 4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(x - 3) (x + 2)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.1

Multipliez $\frac{2}{x - 3}$ par $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$\frac{2 (x + 2)}{(x - 3) (x + 2)} + \frac{3}{x + 2} \cdot \frac{x - 3}{x - 3} - \frac{4 x - 7}{(x - 3) (x + 2)}$

Étape 4.2

Multipliez $\frac{3}{x + 2}$ par $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$\frac{2 (x + 2)}{(x - 3) (x + 2)} + \frac{3 (x - 3)}{(x + 2) (x - 3)} - \frac{4 x - 7}{(x - 3) (x + 2)}$

Étape 4.3

Réorganisez les facteurs de $(x - 3) (x + 2)$ .

$\frac{2 (x + 2)}{(x + 2) (x - 3)} + \frac{3 (x - 3)}{(x + 2) (x - 3)} - \frac{4 x - 7}{(x - 3) (x + 2)}$

Étape 5

Simplifiez les termes.

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Étape 5.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 (x + 2) + 3 (x - 3)}{(x + 2) (x - 3)} - \frac{4 x - 7}{(x - 3) (x + 2)}$

Étape 5.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 (x + 2) + 3 (x - 3) - (4 x - 7)}{(x + 2) (x - 3)}$

Étape 6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x + 2 \cdot 2 + 3 (x - 3) - (4 x - 7)}{(x + 2) (x - 3)}$

Étape 6.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{2 x + 4 + 3 (x - 3) - (4 x - 7)}{(x + 2) (x - 3)}$

Étape 6.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x + 4 + 3 x + 3 \cdot - 3 - (4 x - 7)}{(x + 2) (x - 3)}$

Étape 6.4

Multipliez $3$ par $- 3$ .

$\frac{2 x + 4 + 3 x - 9 - (4 x - 7)}{(x + 2) (x - 3)}$

Étape 6.5

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x + 4 + 3 x - 9 - (4 x) - - 7}{(x + 2) (x - 3)}$

Étape 6.6

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$\frac{2 x + 4 + 3 x - 9 - 4 x - - 7}{(x + 2) (x - 3)}$

Étape 6.7

Multipliez $- 1$ par $- 7$ .

$\frac{2 x + 4 + 3 x - 9 - 4 x + 7}{(x + 2) (x - 3)}$

Étape 7

Simplifiez les termes.

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Étape 7.1

Additionnez $2 x$ et $3 x$ .

$\frac{5 x + 4 - 9 - 4 x + 7}{(x + 2) (x - 3)}$

Étape 7.2

Soustrayez $4 x$ de $5 x$ .

$\frac{x + 4 - 9 + 7}{(x + 2) (x - 3)}$

Étape 7.3

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 7.3.1

Soustrayez $9$ de $4$ .

$\frac{x - 5 + 7}{(x + 2) (x - 3)}$

Étape 7.3.2

Additionnez $- 5$ et $7$ .

$\frac{x + 2}{(x + 2) (x - 3)}$

Étape 7.4

Annulez le facteur commun de $x + 2$ .

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Étape 7.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x + 2}{(x + 2) (x - 3)}$

Étape 7.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{x - 3}$