Algèbre Exemples

$\sqrt{\frac{2}{x}} \cdot \sqrt{\frac{x^{2}}{8}}$

Étape 1

Réécrivez $\sqrt{\frac{2}{x}}$ comme $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x}}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x}} \cdot \sqrt{\frac{x^{2}}{8}}$

Étape 2

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x}}$ par $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x}} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}} \cdot \sqrt{\frac{x^{2}}{8}}$

Étape 3

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x}}$ par $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{x}}{\sqrt{x} \sqrt{x}} \cdot \sqrt{\frac{x^{2}}{8}}$

Étape 3.2

Élevez $\sqrt{x}$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x}} \cdot \sqrt{\frac{x^{2}}{8}}$

Étape 3.3

Élevez $\sqrt{x}$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1}} \cdot \sqrt{\frac{x^{2}}{8}}$

Étape 3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1 + 1}} \cdot \sqrt{\frac{x^{2}}{8}}$

Étape 3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{2}} \cdot \sqrt{\frac{x^{2}}{8}}$

Étape 3.6

Réécrivez ${\sqrt{x}}^{2}$ comme $x$ .

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Étape 3.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{x}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cdot \sqrt{\frac{x^{2}}{8}}$

Étape 3.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \cdot \sqrt{\frac{x^{2}}{8}}$

Étape 3.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}} \cdot \sqrt{\frac{x^{2}}{8}}$

Étape 3.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}} \cdot \sqrt{\frac{x^{2}}{8}}$

Étape 3.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{x}}{x^{1}} \cdot \sqrt{\frac{x^{2}}{8}}$

Étape 3.6.5

Simplifiez

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{x}}{x} \cdot \sqrt{\frac{x^{2}}{8}}$

Étape 4

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{\sqrt{2 x}}{x} \cdot \sqrt{\frac{x^{2}}{8}}$

Étape 5

Réécrivez $\frac{x^{2}}{8}$ comme ${(\frac{x}{2})}^{2} \frac{1}{2}$ .

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Étape 5.1

Factorisez la puissance parfaite $x^{2}$ dans $x^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2 x}}{x} \cdot \sqrt{\frac{x^{2} \cdot 1}{8}}$

Étape 5.2

Factorisez la puissance parfaite $2^{2}$ dans $8$ .

$\frac{\sqrt{2 x}}{x} \cdot \sqrt{\frac{x^{2} \cdot 1}{2^{2} \cdot 2}}$

Étape 5.3

Réorganisez la fraction $\frac{x^{2} \cdot 1}{2^{2} \cdot 2}$ .

$\frac{\sqrt{2 x}}{x} \cdot \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} \frac{1}{2}}$

Étape 6

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{\sqrt{2 x}}{x} \cdot (\frac{x}{2} \sqrt{\frac{1}{2}})$

Étape 7

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\sqrt{\frac{1}{2}} \frac{\sqrt{2 x}}{x} \frac{x}{2}$

Étape 8

Réécrivez $\sqrt{\frac{1}{2}}$ comme $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2 x}}{x} \frac{x}{2}$

Étape 9

Toute racine de $1$ est $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2 x}}{x} \frac{x}{2}$

Étape 10

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \frac{\sqrt{2 x}}{x} \frac{x}{2}$

Étape 11

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 11.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2 x}}{x} \frac{x}{2}$

Étape 11.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2 x}}{x} \frac{x}{2}$

Étape 11.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}} \cdot \frac{\sqrt{2 x}}{x} \frac{x}{2}$

Étape 11.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}} \cdot \frac{\sqrt{2 x}}{x} \frac{x}{2}$

Étape 11.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}} \cdot \frac{\sqrt{2 x}}{x} \frac{x}{2}$

Étape 11.6

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 11.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cdot \frac{\sqrt{2 x}}{x} \frac{x}{2}$

Étape 11.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \cdot \frac{\sqrt{2 x}}{x} \frac{x}{2}$

Étape 11.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} \cdot \frac{\sqrt{2 x}}{x} \frac{x}{2}$

Étape 11.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 11.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} \cdot \frac{\sqrt{2 x}}{x} \frac{x}{2}$

Étape 11.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{2}}{2^{1}} \cdot \frac{\sqrt{2 x}}{x} \frac{x}{2}$

Étape 11.6.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 x}}{x} \frac{x}{2}$

Étape 12

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 x}}{x}$ .

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Étape 12.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2}$ par $\frac{\sqrt{2 x}}{x}$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{2 x}}{2 x} \cdot \frac{x}{2}$

Étape 12.2

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{\sqrt{2 (2 x)}}{2 x} \cdot \frac{x}{2}$

Étape 12.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{\sqrt{4 x}}{2 x} \cdot \frac{x}{2}$

Étape 13

Simplifiez les termes.

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Étape 13.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 13.1.1

Factorisez $x$ à partir de $2 x$ .

$\frac{\sqrt{4 x}}{x \cdot 2} \cdot \frac{x}{2}$

Étape 13.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{4 x}}{x \cdot 2} \cdot \frac{x}{2}$

Étape 13.1.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{4 x}}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 13.2

Multipliez $\frac{\sqrt{4 x}}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{4 x}}{2 \cdot 2}$

Étape 13.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{\sqrt{4 x}}{4}$

Étape 14

Simplifiez le numérateur.

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Étape 14.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2} x}}{4}$

Étape 14.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{2 \sqrt{x}}{4}$

Étape 15

Annulez le facteur commun à $2$ et $4$ .

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Étape 15.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \sqrt{x}$ .

$\frac{2 (\sqrt{x})}{4}$

Étape 15.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 15.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{2 \sqrt{x}}{2 \cdot 2}$

Étape 15.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \sqrt{x}}{2 \cdot 2}$

Étape 15.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{x}}{2}$