Algèbre Exemples

$\frac{x + 3}{x^{2} - 25} - \frac{x - 1}{x - 5} + \frac{3}{x + 3}$

Étape 1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.1

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$\frac{x + 3}{x^{2} - 5^{2}} - \frac{x - 1}{x - 5} + \frac{3}{x + 3}$

Étape 1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 5$ .

$\frac{x + 3}{(x + 5) (x - 5)} - \frac{x - 1}{x - 5} + \frac{3}{x + 3}$

Étape 2

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 2.1

Multipliez $\frac{x + 3}{(x + 5) (x - 5)}$ par $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$\frac{x + 3}{(x + 5) (x - 5)} \cdot \frac{x + 3}{x + 3} - \frac{x - 1}{x - 5} + \frac{3}{x + 3}$

Étape 2.2

Multipliez $\frac{x + 3}{(x + 5) (x - 5)}$ par $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$\frac{(x + 3) (x + 3)}{(x + 5) (x - 5) (x + 3)} - \frac{x - 1}{x - 5} + \frac{3}{x + 3}$

Étape 2.3

Multipliez $\frac{x - 1}{x - 5}$ par $\frac{(x + 5) (x + 3)}{(x + 5) (x + 3)}$ .

$\frac{(x + 3) (x + 3)}{(x + 5) (x - 5) (x + 3)} - (\frac{x - 1}{x - 5} \cdot \frac{(x + 5) (x + 3)}{(x + 5) (x + 3)}) + \frac{3}{x + 3}$

Étape 2.4

Multipliez $\frac{x - 1}{x - 5}$ par $\frac{(x + 5) (x + 3)}{(x + 5) (x + 3)}$ .

$\frac{(x + 3) (x + 3)}{(x + 5) (x - 5) (x + 3)} - \frac{(x - 1) ((x + 5) (x + 3))}{(x - 5) ((x + 5) (x + 3))} + \frac{3}{x + 3}$

Étape 2.5

Multipliez $\frac{3}{x + 3}$ par $\frac{(x + 5) (x - 5)}{(x + 5) (x - 5)}$ .

$\frac{(x + 3) (x + 3)}{(x + 5) (x - 5) (x + 3)} - \frac{(x - 1) ((x + 5) (x + 3))}{(x - 5) ((x + 5) (x + 3))} + \frac{3}{x + 3} \cdot \frac{(x + 5) (x - 5)}{(x + 5) (x - 5)}$

Étape 2.6

Multipliez $\frac{3}{x + 3}$ par $\frac{(x + 5) (x - 5)}{(x + 5) (x - 5)}$ .

$\frac{(x + 3) (x + 3)}{(x + 5) (x - 5) (x + 3)} - \frac{(x - 1) ((x + 5) (x + 3))}{(x - 5) ((x + 5) (x + 3))} + \frac{3 ((x + 5) (x - 5))}{(x + 3) ((x + 5) (x - 5))}$

Étape 2.7

Réorganisez les facteurs de $(x - 5) ((x + 5) (x + 3))$ .

$\frac{(x + 3) (x + 3)}{(x + 5) (x - 5) (x + 3)} - \frac{(x - 1) ((x + 5) (x + 3))}{(x + 3) (x + 5) (x - 5)} + \frac{3 ((x + 5) (x - 5))}{(x + 3) ((x + 5) (x - 5))}$

Étape 2.8

Réorganisez les facteurs de $(x + 3) ((x + 5) (x - 5))$ .

$\frac{(x + 3) (x + 3)}{(x + 5) (x - 5) (x + 3)} - \frac{(x - 1) ((x + 5) (x + 3))}{(x + 3) (x + 5) (x - 5)} + \frac{3 ((x + 5) (x - 5))}{(x + 3) (x + 5) (x - 5)}$

Étape 3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(x + 3) (x + 3) - (x - 1) ((x + 5) (x + 3)) + 3 ((x + 5) (x - 5))}{(x + 3) (x + 5) (x - 5)}$

Étape 4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1

Développez $(x + 3) (x + 3)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x (x + 3) + 3 (x + 3) - (x - 1) ((x + 5) (x + 3)) + 3 ((x + 5) (x - 5))}{(x + 3) (x + 5) (x - 5)}$

Étape 4.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x \cdot x + x \cdot 3 + 3 (x + 3) - (x - 1) ((x + 5) (x + 3)) + 3 ((x + 5) (x - 5))}{(x + 3) (x + 5) (x - 5)}$

Étape 4.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x \cdot x + x \cdot 3 + 3 x + 3 \cdot 3 - (x - 1) ((x + 5) (x + 3)) + 3 ((x + 5) (x - 5))}{(x + 3) (x + 5) (x - 5)}$

Étape 4.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{x^{2} + x \cdot 3 + 3 x + 3 \cdot 3 - (x - 1) ((x + 5) (x + 3)) + 3 ((x + 5) (x - 5))}{(x + 3) (x + 5) (x - 5)}$

Étape 4.2.1.2

Déplacez $3$ à gauche de $x$ .

$\frac{x^{2} + 3 \cdot x + 3 x + 3 \cdot 3 - (x - 1) ((x + 5) (x + 3)) + 3 ((x + 5) (x - 5))}{(x + 3) (x + 5) (x - 5)}$

Étape 4.2.1.3

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{x^{2} + 3 x + 3 x + 9 - (x - 1) ((x + 5) (x + 3)) + 3 ((x + 5) (x - 5))}{(x + 3) (x + 5) (x - 5)}$

Étape 4.2.2

Additionnez $3 x$ et $3 x$ .

$\frac{x^{2} + 6 x + 9 - (x - 1) ((x + 5) (x + 3)) + 3 ((x + 5) (x - 5))}{(x + 3) (x + 5) (x - 5)}$

Étape 4.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} + 6 x + 9 + (- x - - 1) ((x + 5) (x + 3)) + 3 ((x + 5) (x - 5))}{(x + 3) (x + 5) (x - 5)}$

Étape 4.4

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{x^{2} + 6 x + 9 + (- x + 1) ((x + 5) (x + 3)) + 3 ((x + 5) (x - 5))}{(x + 3) (x + 5) (x - 5)}$

Étape 4.5

Développez $(x + 5) (x + 3)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} + 6 x + 9 + (- x + 1) (x (x + 3) + 5 (x + 3)) + 3 ((x + 5) (x - 5))}{(x + 3) (x + 5) (x - 5)}$

Étape 4.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} + 6 x + 9 + (- x + 1) (x \cdot x + x \cdot 3 + 5 (x + 3)) + 3 ((x + 5) (x - 5))}{(x + 3) (x + 5) (x - 5)}$

Étape 4.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} + 6 x + 9 + (- x + 1) (x \cdot x + x \cdot 3 + 5 x + 5 \cdot 3) + 3 ((x + 5) (x - 5))}{(x + 3) (x + 5) (x - 5)}$

Étape 4.6

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.6.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{x^{2} + 6 x + 9 + (- x + 1) (x^{2} + x \cdot 3 + 5 x + 5 \cdot 3) + 3 ((x + 5) (x - 5))}{(x + 3) (x + 5) (x - 5)}$

Étape 4.6.1.2

Déplacez $3$ à gauche de $x$ .

$\frac{x^{2} + 6 x + 9 + (- x + 1) (x^{2} + 3 \cdot x + 5 x + 5 \cdot 3) + 3 ((x + 5) (x - 5))}{(x + 3) (x + 5) (x - 5)}$

Étape 4.6.1.3

Multipliez $5$ par $3$ .

$\frac{x^{2} + 6 x + 9 + (- x + 1) (x^{2} + 3 x + 5 x + 15) + 3 ((x + 5) (x - 5))}{(x + 3) (x + 5) (x - 5)}$

Étape 4.6.2

Additionnez $3 x$ et $5 x$ .

$\frac{x^{2} + 6 x + 9 + (- x + 1) (x^{2} + 8 x + 15) + 3 ((x + 5) (x - 5))}{(x + 3) (x + 5) (x - 5)}$

Étape 4.7

Développez $(- x + 1) (x^{2} + 8 x + 15)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$\frac{x^{2} + 6 x + 9 - x \cdot x^{2} - x (8 x) - x \cdot 15 + 1 x^{2} + 1 (8 x) + 1 \cdot 15 + 3 ((x + 5) (x - 5))}{(x + 3) (x + 5) (x - 5)}$

Étape 4.8

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.8.1

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.8.1.1

Déplacez $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} + 6 x + 9 - (x^{2} x) - x (8 x) - x \cdot 15 + 1 x^{2} + 1 (8 x) + 1 \cdot 15 + 3 ((x + 5) (x - 5))}{(x + 3) (x + 5) (x - 5)}$

Étape 4.8.1.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 4.8.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{x^{2} + 6 x + 9 - (x^{2} x^{1}) - x (8 x) - x \cdot 15 + 1 x^{2} + 1 (8 x) + 1 \cdot 15 + 3 ((x + 5) (x - 5))}{(x + 3) (x + 5) (x - 5)}$

Étape 4.8.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{x^{2} + 6 x + 9 - x^{2 + 1} - x (8 x) - x \cdot 15 + 1 x^{2} + 1 (8 x) + 1 \cdot 15 + 3 ((x + 5) (x - 5))}{(x + 3) (x + 5) (x - 5)}$

Étape 4.8.1.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{x^{2} + 6 x + 9 - x^{3} - x (8 x) - x \cdot 15 + 1 x^{2} + 1 (8 x) + 1 \cdot 15 + 3 ((x + 5) (x - 5))}{(x + 3) (x + 5) (x - 5)}$

Étape 4.8.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{x^{2} + 6 x + 9 - x^{3} - 1 \cdot 8 x \cdot x - x \cdot 15 + 1 x^{2} + 1 (8 x) + 1 \cdot 15 + 3 ((x + 5) (x - 5))}{(x + 3) (x + 5) (x - 5)}$

Étape 4.8.3

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.8.3.1

Déplacez $x$ .

$\frac{x^{2} + 6 x + 9 - x^{3} - 1 \cdot 8 (x \cdot x) - x \cdot 15 + 1 x^{2} + 1 (8 x) + 1 \cdot 15 + 3 ((x + 5) (x - 5))}{(x + 3) (x + 5) (x - 5)}$

Étape 4.8.3.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{x^{2} + 6 x + 9 - x^{3} - 1 \cdot 8 x^{2} - x \cdot 15 + 1 x^{2} + 1 (8 x) + 1 \cdot 15 + 3 ((x + 5) (x - 5))}{(x + 3) (x + 5) (x - 5)}$

Étape 4.8.4

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$\frac{x^{2} + 6 x + 9 - x^{3} - 8 x^{2} - x \cdot 15 + 1 x^{2} + 1 (8 x) + 1 \cdot 15 + 3 ((x + 5) (x - 5))}{(x + 3) (x + 5) (x - 5)}$

Étape 4.8.5

Multipliez $15$ par $- 1$ .

$\frac{x^{2} + 6 x + 9 - x^{3} - 8 x^{2} - 15 x + 1 x^{2} + 1 (8 x) + 1 \cdot 15 + 3 ((x + 5) (x - 5))}{(x + 3) (x + 5) (x - 5)}$

Étape 4.8.6

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$\frac{x^{2} + 6 x + 9 - x^{3} - 8 x^{2} - 15 x + x^{2} + 1 (8 x) + 1 \cdot 15 + 3 ((x + 5) (x - 5))}{(x + 3) (x + 5) (x - 5)}$

Étape 4.8.7

Multipliez $8 x$ par $1$ .

$\frac{x^{2} + 6 x + 9 - x^{3} - 8 x^{2} - 15 x + x^{2} + 8 x + 1 \cdot 15 + 3 ((x + 5) (x - 5))}{(x + 3) (x + 5) (x - 5)}$

Étape 4.8.8

Multipliez $15$ par $1$ .

$\frac{x^{2} + 6 x + 9 - x^{3} - 8 x^{2} - 15 x + x^{2} + 8 x + 15 + 3 ((x + 5) (x - 5))}{(x + 3) (x + 5) (x - 5)}$

Étape 4.9

Additionnez $- 8 x^{2}$ et $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} + 6 x + 9 - x^{3} - 7 x^{2} - 15 x + 8 x + 15 + 3 ((x + 5) (x - 5))}{(x + 3) (x + 5) (x - 5)}$

Étape 4.10

Additionnez $- 15 x$ et $8 x$ .

$\frac{x^{2} + 6 x + 9 - x^{3} - 7 x^{2} - 7 x + 15 + 3 ((x + 5) (x - 5))}{(x + 3) (x + 5) (x - 5)}$

Étape 4.11

Développez $(x + 5) (x - 5)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.11.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} + 6 x + 9 - x^{3} - 7 x^{2} - 7 x + 15 + 3 (x (x - 5) + 5 (x - 5))}{(x + 3) (x + 5) (x - 5)}$

Étape 4.11.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} + 6 x + 9 - x^{3} - 7 x^{2} - 7 x + 15 + 3 (x \cdot x + x \cdot - 5 + 5 (x - 5))}{(x + 3) (x + 5) (x - 5)}$

Étape 4.11.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} + 6 x + 9 - x^{3} - 7 x^{2} - 7 x + 15 + 3 (x \cdot x + x \cdot - 5 + 5 x + 5 \cdot - 5)}{(x + 3) (x + 5) (x - 5)}$

Étape 4.12

Associez les termes opposés dans $x \cdot x + x \cdot - 5 + 5 x + 5 \cdot - 5$ .

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Étape 4.12.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $x \cdot - 5$ et $5 x$ .

$\frac{x^{2} + 6 x + 9 - x^{3} - 7 x^{2} - 7 x + 15 + 3 (x \cdot x - 5 x + 5 x + 5 \cdot - 5)}{(x + 3) (x + 5) (x - 5)}$

Étape 4.12.2

Additionnez $- 5 x$ et $5 x$ .

$\frac{x^{2} + 6 x + 9 - x^{3} - 7 x^{2} - 7 x + 15 + 3 (x \cdot x + 0 + 5 \cdot - 5)}{(x + 3) (x + 5) (x - 5)}$

Étape 4.12.3

Additionnez $x \cdot x$ et $0$ .

$\frac{x^{2} + 6 x + 9 - x^{3} - 7 x^{2} - 7 x + 15 + 3 (x \cdot x + 5 \cdot - 5)}{(x + 3) (x + 5) (x - 5)}$

Étape 4.13

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.13.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{x^{2} + 6 x + 9 - x^{3} - 7 x^{2} - 7 x + 15 + 3 (x^{2} + 5 \cdot - 5)}{(x + 3) (x + 5) (x - 5)}$

Étape 4.13.2

Multipliez $5$ par $- 5$ .

$\frac{x^{2} + 6 x + 9 - x^{3} - 7 x^{2} - 7 x + 15 + 3 (x^{2} - 25)}{(x + 3) (x + 5) (x - 5)}$

Étape 4.14

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} + 6 x + 9 - x^{3} - 7 x^{2} - 7 x + 15 + 3 x^{2} + 3 \cdot - 25}{(x + 3) (x + 5) (x - 5)}$

Étape 4.15

Multipliez $3$ par $- 25$ .

$\frac{x^{2} + 6 x + 9 - x^{3} - 7 x^{2} - 7 x + 15 + 3 x^{2} - 75}{(x + 3) (x + 5) (x - 5)}$

Étape 5

Simplifiez les termes.

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Étape 5.1

Soustrayez $7 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$\frac{- 6 x^{2} + 6 x + 9 - x^{3} - 7 x + 15 + 3 x^{2} - 75}{(x + 3) (x + 5) (x - 5)}$

Étape 5.2

Additionnez $- 6 x^{2}$ et $3 x^{2}$ .

$\frac{- 3 x^{2} + 6 x + 9 - x^{3} - 7 x + 15 - 75}{(x + 3) (x + 5) (x - 5)}$

Étape 5.3

Soustrayez $7 x$ de $6 x$ .

$\frac{- 3 x^{2} - x + 9 - x^{3} + 15 - 75}{(x + 3) (x + 5) (x - 5)}$

Étape 5.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.4.1

Additionnez $9$ et $15$ .

$\frac{- 3 x^{2} - x - x^{3} + 24 - 75}{(x + 3) (x + 5) (x - 5)}$

Étape 5.4.2

Soustrayez $75$ de $24$ .

$\frac{- 3 x^{2} - x - x^{3} - 51}{(x + 3) (x + 5) (x - 5)}$

Étape 5.4.3

Déplacez $- x$ .

$\frac{- 3 x^{2} - x^{3} - x - 51}{(x + 3) (x + 5) (x - 5)}$

Étape 5.4.4

Remettez dans l’ordre $- 3 x^{2}$ et $- x^{3}$ .

$\frac{- x^{3} - 3 x^{2} - x - 51}{(x + 3) (x + 5) (x - 5)}$

Étape 5.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- x^{3}$ .

$\frac{- (x^{3}) - 3 x^{2} - x - 51}{(x + 3) (x + 5) (x - 5)}$

Étape 5.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 3 x^{2}$ .

$\frac{- (x^{3}) - (3 x^{2}) - x - 51}{(x + 3) (x + 5) (x - 5)}$

Étape 5.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{3}) - (3 x^{2})$ .

$\frac{- (x^{3} + 3 x^{2}) - x - 51}{(x + 3) (x + 5) (x - 5)}$

Étape 5.8

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$\frac{- (x^{3} + 3 x^{2}) - (x) - 51}{(x + 3) (x + 5) (x - 5)}$

Étape 5.9

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{3} + 3 x^{2}) - (x)$ .

$\frac{- (x^{3} + 3 x^{2} + x) - 51}{(x + 3) (x + 5) (x - 5)}$

Étape 5.10

Réécrivez $- 51$ comme $- 1 (51)$ .

$\frac{- (x^{3} + 3 x^{2} + x) - 1 (51)}{(x + 3) (x + 5) (x - 5)}$

Étape 5.11

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{3} + 3 x^{2} + x) - 1 (51)$ .

$\frac{- (x^{3} + 3 x^{2} + x + 51)}{(x + 3) (x + 5) (x - 5)}$

Étape 5.12

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.12.1

Réécrivez $- (x^{3} + 3 x^{2} + x + 51)$ comme $- 1 (x^{3} + 3 x^{2} + x + 51)$ .

$\frac{- 1 (x^{3} + 3 x^{2} + x + 51)}{(x + 3) (x + 5) (x - 5)}$

Étape 5.12.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{x^{3} + 3 x^{2} + x + 51}{(x + 3) (x + 5) (x - 5)}$