Algèbre Exemples

$f (10) = \frac{1}{2} x^{2} + 2 x - 5$

Étape 1

Réécrivez l’équation comme $\frac{1}{2} x^{2} + 2 x - 5 = f (10)$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + 2 x - 5 = f (10)$

Étape 2

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{2} + 2 x - 5 = f (10)$

Étape 3

Déplacez $10$ à gauche de $f$ .

$\frac{x^{2}}{2} + 2 x - 5 = 10 f$

Étape 4

Soustrayez $10 f$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{x^{2}}{2} + 2 x - 5 - 10 f = 0$

Étape 5

Multipliez par le plus petit dénominateur commun $2$ , puis simplifiez.

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Étape 5.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 (\frac{x^{2}}{2}) + 2 (2 x) + 2 \cdot - 5 + 2 (- 10 f) = 0$

Étape 5.2

Simplifiez

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Étape 5.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$2 (\frac{x^{2}}{2}) + 2 (2 x) + 2 \cdot - 5 + 2 (- 10 f) = 0$

Étape 5.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$x^{2} + 2 (2 x) + 2 \cdot - 5 + 2 (- 10 f) = 0$

Étape 5.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$x^{2} + 4 x + 2 \cdot - 5 + 2 (- 10 f) = 0$

Étape 5.2.3

Multipliez $2$ par $- 5$ .

$x^{2} + 4 x - 10 + 2 (- 10 f) = 0$

Étape 5.2.4

Multipliez $- 10$ par $2$ .

$x^{2} + 4 x - 10 - 20 f = 0$

Étape 5.3

Déplacez $- 10$ .

$x^{2} + 4 x - 20 f - 10 = 0$

Étape 5.4

Déplacez $4 x$ .

$x^{2} - 20 f + 4 x - 10 = 0$

Étape 6

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 7

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = 4$ et $c = - 20 f - 10$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- 20 f - 10))}}{2 \cdot 1}$

Étape 8

Simplifiez

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Étape 8.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.1.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot (- 20 f - 10)}}{2 \cdot 1}$

Étape 8.1.2

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot (- 20 f - 10)}}{2 \cdot 1}$

Étape 8.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 (- 20 f) - 4 \cdot - 10}}{2 \cdot 1}$

Étape 8.1.4

Multipliez $- 20$ par $- 4$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 80 f - 4 \cdot - 10}}{2 \cdot 1}$

Étape 8.1.5

Multipliez $- 4$ par $- 10$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 80 f + 40}}{2 \cdot 1}$

Étape 8.1.6

Additionnez $16$ et $40$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{80 f + 56}}{2 \cdot 1}$

Étape 8.1.7

Factorisez $8$ à partir de $80 f + 56$ .

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Étape 8.1.7.1

Factorisez $8$ à partir de $80 f$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{8 (10 f) + 56}}{2 \cdot 1}$

Étape 8.1.7.2

Factorisez $8$ à partir de $56$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{8 (10 f) + 8 (7)}}{2 \cdot 1}$

Étape 8.1.7.3

Factorisez $8$ à partir de $8 (10 f) + 8 (7)$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{8 (10 f + 7)}}{2 \cdot 1}$

Étape 8.1.8

Réécrivez $8 (10 f + 7)$ comme $2^{2} \cdot (2 (10 f + 7))$ .

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Étape 8.1.8.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (2) (10 f + 7)}}{2 \cdot 1}$

Étape 8.1.8.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (10 f + 7))}}{2 \cdot 1}$

Étape 8.1.8.3

Ajoutez des parenthèses.

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (10 f + 7))}}{2 \cdot 1}$

Étape 8.1.9

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2 (10 f + 7)}}{2 \cdot 1}$

Étape 8.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2 (10 f + 7)}}{2}$

Étape 8.3

Simplifiez $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2 (10 f + 7)}}{2}$ .

$x = - 2 \pm \sqrt{2 (10 f + 7)}$

Étape 9

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = - 2 + \sqrt{2 (10 f + 7)}$

$x = - 2 - \sqrt{2 (10 f + 7)}$