Algèbre Exemples

$\log_{x - 3} (36) > 2$

Étape 1

Convertissez l’inégalité en une égalité.

$\log_{x - 3} (36) = 2$

Étape 2

Résolvez l’équation.

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Étape 2.1

Réécrivez $\log_{x - 3} (36) = 2$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

${(x - 3)}^{2} = 36$

Étape 2.2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.2.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x - 3 = \pm \sqrt{36}$

Étape 2.2.2

Simplifiez $\pm \sqrt{36}$ .

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Étape 2.2.2.1

Réécrivez $36$ comme $6^{2}$ .

$x - 3 = \pm \sqrt{6^{2}}$

Étape 2.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x - 3 = \pm 6$

Étape 2.2.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 2.2.3.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x - 3 = 6$

Étape 2.2.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 2.2.3.2.1

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 6 + 3$

Étape 2.2.3.2.2

Additionnez $6$ et $3$ .

$x = 9$

Étape 2.2.3.3

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x - 3 = - 6$

Étape 2.2.3.4

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 2.2.3.4.1

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x = - 6 + 3$

Étape 2.2.3.4.2

Additionnez $- 6$ et $3$ .

$x = - 3$

Étape 2.2.3.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 9, - 3$

Étape 3

Déterminez le domaine de $\log_{x - 3} (36) - 2$ .

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Étape 3.1

Définissez la base dans $\log_{x - 3} (36)$ supérieure à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$x - 3 > 0$

Étape 3.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’inégalité.

$x > 3$

Étape 3.3

Définissez la base dans $\log_{x - 3} (36)$ égale à $1$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x - 3 = 1$

Étape 3.4

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 3.4.1

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1 + 3$

Étape 3.4.2

Additionnez $1$ et $3$ .

$x = 4$

Étape 3.5

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(3, 4) \cup (4, \infty)$

Étape 4

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 3$

$- 3 < x < 3$

$3 < x < 4$

$4 < x < 9$

$x > 9$

Étape 5

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 5.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 3$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 5.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 3$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 6$

Étape 5.1.2

Remplacez $x$ par $- 6$ dans l’inégalité d’origine.

$\log_{(- 6) - 3} (36) > 2$

Étape 5.1.3

Le logarithme d’un nombre négatif est indéfini.

Indéfini

Étape 5.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 3 < x < 3$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 5.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 3 < x < 3$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 5.2.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$\log_{(0) - 3} (36) > 2$

Étape 5.2.3

Le logarithme d’un nombre négatif est indéfini.

Indéfini

Étape 5.3

Testez une valeur sur l’intervalle $3 < x < 4$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 5.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $3 < x < 4$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 3.5$

Étape 5.3.2

Remplacez $x$ par $3.5$ dans l’inégalité d’origine.

$\log_{(3.5) - 3} (36) > 2$

Étape 5.3.3

Le côté gauche $- 5.169925$ n’est pas supérieur au côté droit $2$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 5.4

Testez une valeur sur l’intervalle $4 < x < 9$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 5.4.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $4 < x < 9$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 6$

Étape 5.4.2

Remplacez $x$ par $6$ dans l’inégalité d’origine.

$\log_{(6) - 3} (36) > 2$

Étape 5.4.3

Le côté gauche $3.2618595$ est supérieur au côté droit $2$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 5.5

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 9$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 5.5.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 9$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 12$

Étape 5.5.2

Remplacez $x$ par $12$ dans l’inégalité d’origine.

$\log_{(12) - 3} (36) > 2$

Étape 5.5.3

Le côté gauche $1.63092975$ n’est pas supérieur au côté droit $2$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 5.6

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 3$ Undefined

$- 3 < x < 3$ Undefined

$3 < x < 4$ Faux

$4 < x < 9$ Vrai

$x > 9$ Faux

Indéfini

Étape 6

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$4 < x < 9$

Étape 7

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$4 < x < 9$

Notation d’intervalle :

$(4, 9)$

Étape 8