Algèbre Exemples

$\frac{x^{2} - 2 x - 3}{15 - 2 x - x^{2}}$

Étape 1

Factorisez $x^{2} - 2 x - 3$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 3$ et dont la somme est $- 2$ .

$- 3, 1$

Étape 1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(x - 3) (x + 1)}{15 - 2 x - x^{2}}$

Étape 2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.1

Réécrivez $15$ comme $16$ plus $- 1$

$\frac{(x - 3) (x + 1)}{16 - 1 - 2 x - x^{2}}$

Étape 2.2

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 2.2.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{(x - 3) (x + 1)}{16 - (1^{2} + 2 x + x^{2})}$

Étape 2.2.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$2 x = 2 \cdot 1 \cdot x$

Étape 2.2.3

Réécrivez le polynôme.

$\frac{(x - 3) (x + 1)}{16 - (1^{2} + 2 \cdot 1 \cdot x + x^{2})}$

Étape 2.2.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , où $a = 1$ et $b = x$ .

$\frac{(x - 3) (x + 1)}{16 - {(1 + x)}^{2}}$

Étape 2.3

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$\frac{(x - 3) (x + 1)}{4^{2} - {(1 + x)}^{2}}$

Étape 2.4

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 4$ et $b = 1 + x$ .

$\frac{(x - 3) (x + 1)}{(4 + 1 + x) (4 - (1 + x))}$

Étape 2.5

Simplifiez

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Étape 2.5.1

Additionnez $4$ et $1$ .

$\frac{(x - 3) (x + 1)}{(5 + x) (4 - (1 + x))}$

Étape 2.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(x - 3) (x + 1)}{(5 + x) (4 - 1 \cdot 1 - x)}$

Étape 2.5.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{(x - 3) (x + 1)}{(5 + x) (4 - 1 - x)}$

Étape 2.5.4

Soustrayez $1$ de $4$ .

$\frac{(x - 3) (x + 1)}{(5 + x) (3 - x)}$

Étape 3

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 3.1

Annulez le facteur commun à $x - 3$ et $3 - x$ .

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Étape 3.1.1

Factorisez $- 1$ à partir de $x$ .

$\frac{(- 1 (- x) - 3) (x + 1)}{(5 + x) (3 - x)}$

Étape 3.1.2

Réécrivez $- 3$ comme $- 1 (3)$ .

$\frac{(- 1 (- x) - 1 (3)) (x + 1)}{(5 + x) (3 - x)}$

Étape 3.1.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (- x) - 1 (3)$ .

$\frac{- 1 (- x + 3) (x + 1)}{(5 + x) (3 - x)}$

Étape 3.1.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- 1 (- x + 3) (x + 1)}{(5 + x) (- x + 3)}$

Étape 3.1.5

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 1 (- x + 3) (x + 1)}{(5 + x) (- x + 3)}$

Étape 3.1.6

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 1 (x + 1)}{5 + x}$

Étape 3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{x + 1}{5 + x}$