Algèbre Exemples

$\frac{4 (x + 2) (x + 1) (3 x + 4) (2 x - 3)}{3 (x - 2) (x^{2} - 1) (2 x - 3) {(x + 2)}^{4}}$

Étape 1

Factorisez $3 (x - 2) (x^{2} - 1) (2 x - 3) {(x + 2)}^{4}$ .

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Étape 1.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{4 (x + 2) (x + 1) (3 x + 4) (2 x - 3)}{3 (x - 2) (x^{2} - 1^{2}) (2 x - 3) {(x + 2)}^{4}}$

Étape 1.2

Factorisez.

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Étape 1.2.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$\frac{4 (x + 2) (x + 1) (3 x + 4) (2 x - 3)}{3 (x - 2) ((x + 1) (x - 1)) (2 x - 3) {(x + 2)}^{4}}$

Étape 1.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$\frac{4 (x + 2) (x + 1) (3 x + 4) (2 x - 3)}{3 (x - 2) (x + 1) (x - 1) (2 x - 3) {(x + 2)}^{4}}$

Étape 2

Annulez le facteur commun à $x + 2$ et ${(x + 2)}^{4}$ .

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Étape 2.1

Factorisez $x + 2$ à partir de $4 (x + 2) (x + 1) (3 x + 4) (2 x - 3)$ .

$\frac{(x + 2) (((4 (x + 1)) (3 x + 4)) (2 x - 3))}{3 (x - 2) (x + 1) (x - 1) (2 x - 3) {(x + 2)}^{4}}$

Étape 2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.2.1

Factorisez $x + 2$ à partir de $3 (x - 2) (x + 1) (x - 1) (2 x - 3) {(x + 2)}^{4}$ .

$\frac{(x + 2) (((4 (x + 1)) (3 x + 4)) (2 x - 3))}{(x + 2) (3 (x - 2) (x + 1) (x - 1) (2 x - 3) {(x + 2)}^{3})}$

Étape 2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x + 2) (((4 (x + 1)) (3 x + 4)) (2 x - 3))}{(x + 2) (3 (x - 2) (x + 1) (x - 1) (2 x - 3) {(x + 2)}^{3})}$

Étape 2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{((4 (x + 1)) (3 x + 4)) (2 x - 3)}{3 (x - 2) (x + 1) (x - 1) (2 x - 3) {(x + 2)}^{3}}$

Étape 3

Annulez le facteur commun de $x + 1$ .

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Étape 3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 (x + 1) (3 x + 4) (2 x - 3)}{3 (x - 2) (x + 1) (x - 1) (2 x - 3) {(x + 2)}^{3}}$

Étape 3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{((4) (3 x + 4)) (2 x - 3)}{((3 (x - 2) (x - 1)) (2 x - 3)) {(x + 2)}^{3}}$

Étape 4

Annulez le facteur commun de $2 x - 3$ .

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Étape 4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(4) (3 x + 4) (2 x - 3)}{3 (x - 2) (x - 1) (2 x - 3) {(x + 2)}^{3}}$

Étape 4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{(4) (3 x + 4)}{(3 (x - 2) (x - 1)) {(x + 2)}^{3}}$

Étape 5

Multipliez $4$ par $3 x + 4$ .

$\frac{4 (3 x + 4)}{(3 (x - 2) (x - 1)) {(x + 2)}^{3}}$

Étape 6

Pour déterminer les trous dans le graphe, regardez les facteurs du dénominateur qui ont été annulés.

$x + 1, 2 x - 3$

Étape 7

Pour déterminer les coordonnées des trous, définissez chaque facteur qui a été annulé égal à $0$ , résolvez et remplacez à nouveau par $\frac{4 (3 x + 4)}{(3 (x - 2) (x - 1)) {(x + 2)}^{3}}$ .

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Étape 7.1

Définissez $x + 1$ égal à $0$ .

$x + 1 = 0$

Étape 7.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 7.3

Remplacez $x$ par $- 1$ dans $\frac{4 (3 x + 4)}{(3 (x - 2) (x - 1)) {(x + 2)}^{3}}$ et simplifiez.

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Étape 7.3.1

Remplacez $x$ par $- 1$ pour déterminer la coordonnée $y$ du trou.

$\frac{4 (3 \cdot - 1 + 4)}{3 (- 1 - 2) (- 1 - 1) {(- 1 + 2)}^{3}}$

Étape 7.3.2

Simplifiez

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Étape 7.3.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.3.2.1.1

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{4 (- 3 + 4)}{3 (- 1 - 2) (- 1 - 1) {(- 1 + 2)}^{3}}$

Étape 7.3.2.1.2

Additionnez $- 3$ et $4$ .

$\frac{4 \cdot 1}{3 (- 1 - 2) (- 1 - 1) {(- 1 + 2)}^{3}}$

Étape 7.3.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 7.3.2.2.1

Soustrayez $2$ de $- 1$ .

$\frac{4 \cdot 1}{3 \cdot - 3 (- 1 - 1) {(- 1 + 2)}^{3}}$

Étape 7.3.2.2.2

Multipliez $3$ par $- 3$ .

$\frac{4 \cdot 1}{- 9 (- 1 - 1) {(- 1 + 2)}^{3}}$

Étape 7.3.2.2.3

Soustrayez $1$ de $- 1$ .

$\frac{4 \cdot 1}{- 9 \cdot - 2 {(- 1 + 2)}^{3}}$

Étape 7.3.2.2.4

Multipliez $- 9$ par $- 2$ .

$\frac{4 \cdot 1}{18 {(- 1 + 2)}^{3}}$

Étape 7.3.2.2.5

Additionnez $- 1$ et $2$ .

$\frac{4 \cdot 1}{18 \cdot 1^{3}}$

Étape 7.3.2.2.6

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{4 \cdot 1}{18 \cdot 1}$

Étape 7.3.2.3

Multipliez $4$ par $1$ .

$\frac{4}{18 \cdot 1}$

Étape 7.3.2.4

Multipliez $18$ par $1$ .

$\frac{4}{18}$

Étape 7.3.2.5

Annulez le facteur commun à $4$ et $18$ .

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Étape 7.3.2.5.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{2 (2)}{18}$

Étape 7.3.2.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.3.2.5.2.1

Factorisez $2$ à partir de $18$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 9}$

Étape 7.3.2.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 9}$

Étape 7.3.2.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2}{9}$

Étape 7.4

Définissez $2 x - 3$ égal à $0$ .

$2 x - 3 = 0$

Étape 7.5

Résolvez $2 x - 3 = 0$ pour $x$ .

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Étape 7.5.1

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$2 x = 3$

Étape 7.5.2

Divisez chaque terme dans $2 x = 3$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 7.5.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = 3$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Étape 7.5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.5.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.5.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Étape 7.5.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{3}{2}$

Étape 7.6

Remplacez $x$ par $\frac{3}{2}$ dans $\frac{4 (3 x + 4)}{(3 (x - 2) (x - 1)) {(x + 2)}^{3}}$ et simplifiez.

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Étape 7.6.1

Remplacez $x$ par $\frac{3}{2}$ pour déterminer la coordonnée $y$ du trou.

$\frac{4 (3 (\frac{3}{2}) + 4)}{3 (\frac{3}{2} - 2) (\frac{3}{2} - 1) {(\frac{3}{2} + 2)}^{3}}$

Étape 7.6.2

Simplifiez

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Étape 7.6.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.6.2.1.1

Multipliez $3 (\frac{3}{2})$ .

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Étape 7.6.2.1.1.1

Associez $3$ et $\frac{3}{2}$ .

$\frac{4 (\frac{3 \cdot 3}{2} + 4)}{3 (\frac{3}{2} - 2) (\frac{3}{2} - 1) {(\frac{3}{2} + 2)}^{3}}$

Étape 7.6.2.1.1.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{4 (\frac{9}{2} + 4)}{3 (\frac{3}{2} - 2) (\frac{3}{2} - 1) {(\frac{3}{2} + 2)}^{3}}$

Étape 7.6.2.1.2

Pour écrire $4$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{4 (\frac{9}{2} + 4 \cdot \frac{2}{2})}{3 (\frac{3}{2} - 2) (\frac{3}{2} - 1) {(\frac{3}{2} + 2)}^{3}}$

Étape 7.6.2.1.3

Associez $4$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{4 (\frac{9}{2} + \frac{4 \cdot 2}{2})}{3 (\frac{3}{2} - 2) (\frac{3}{2} - 1) {(\frac{3}{2} + 2)}^{3}}$

Étape 7.6.2.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{4 \frac{9 + 4 \cdot 2}{2}}{3 (\frac{3}{2} - 2) (\frac{3}{2} - 1) {(\frac{3}{2} + 2)}^{3}}$

Étape 7.6.2.1.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.6.2.1.5.1

Multipliez $4$ par $2$ .

$\frac{4 \frac{9 + 8}{2}}{3 (\frac{3}{2} - 2) (\frac{3}{2} - 1) {(\frac{3}{2} + 2)}^{3}}$

Étape 7.6.2.1.5.2

Additionnez $9$ et $8$ .

$\frac{4 (\frac{17}{2})}{3 (\frac{3}{2} - 2) (\frac{3}{2} - 1) {(\frac{3}{2} + 2)}^{3}}$

Étape 7.6.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 7.6.2.2.1

Pour écrire $- 2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{4 (\frac{17}{2})}{3 (\frac{3}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2}) (\frac{3}{2} - 1) {(\frac{3}{2} + 2)}^{3}}$

Étape 7.6.2.2.2

Associez $- 2$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{4 (\frac{17}{2})}{3 (\frac{3}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2}) (\frac{3}{2} - 1) {(\frac{3}{2} + 2)}^{3}}$

Étape 7.6.2.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{4 (\frac{17}{2})}{3 \frac{3 - 2 \cdot 2}{2} (\frac{3}{2} - 1) {(\frac{3}{2} + 2)}^{3}}$

Étape 7.6.2.2.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.6.2.2.4.1

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$\frac{4 (\frac{17}{2})}{3 \frac{3 - 4}{2} (\frac{3}{2} - 1) {(\frac{3}{2} + 2)}^{3}}$

Étape 7.6.2.2.4.2

Soustrayez $4$ de $3$ .

$\frac{4 (\frac{17}{2})}{3 (\frac{- 1}{2}) (\frac{3}{2} - 1) {(\frac{3}{2} + 2)}^{3}}$

Étape 7.6.2.2.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{4 (\frac{17}{2})}{3 \cdot - 1 \frac{1}{2} (\frac{3}{2} - 1) {(\frac{3}{2} + 2)}^{3}}$

Étape 7.6.2.2.6

Associez les exposants.

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Étape 7.6.2.2.6.1

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{4 (\frac{17}{2})}{- 3 (\frac{1}{2}) (\frac{3}{2} - 1) {(\frac{3}{2} + 2)}^{3}}$

Étape 7.6.2.2.6.2

Associez $- 3$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{4 (\frac{17}{2})}{\frac{- 3}{2} (\frac{3}{2} - 1) {(\frac{3}{2} + 2)}^{3}}$

Étape 7.6.2.2.6.3

Associez ${(\frac{3}{2} + 2)}^{3}$ et $\frac{- 3}{2}$ .

$\frac{4 (\frac{17}{2})}{\frac{{(\frac{3}{2} + 2)}^{3} \cdot - 3}{2} (\frac{3}{2} - 1)}$

Étape 7.6.2.2.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.6.2.2.7.1

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{4 (\frac{17}{2})}{\frac{{(\frac{3}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2})}^{3} \cdot - 3}{2} (\frac{3}{2} - 1)}$

Étape 7.6.2.2.7.2

Associez $2$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{4 (\frac{17}{2})}{\frac{{(\frac{3}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2})}^{3} \cdot - 3}{2} (\frac{3}{2} - 1)}$

Étape 7.6.2.2.7.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{4 (\frac{17}{2})}{\frac{{(\frac{3 + 2 \cdot 2}{2})}^{3} \cdot - 3}{2} (\frac{3}{2} - 1)}$

Étape 7.6.2.2.7.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.6.2.2.7.4.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{4 (\frac{17}{2})}{\frac{{(\frac{3 + 4}{2})}^{3} \cdot - 3}{2} (\frac{3}{2} - 1)}$

Étape 7.6.2.2.7.4.2

Additionnez $3$ et $4$ .

$\frac{4 (\frac{17}{2})}{\frac{{(\frac{7}{2})}^{3} \cdot - 3}{2} (\frac{3}{2} - 1)}$

Étape 7.6.2.2.7.5

Appliquez la règle de produit à $\frac{7}{2}$ .

$\frac{4 (\frac{17}{2})}{\frac{\frac{7^{3}}{2^{3}} \cdot - 3}{2} (\frac{3}{2} - 1)}$

Étape 7.6.2.2.7.6

Élevez $7$ à la puissance $3$ .

$\frac{4 (\frac{17}{2})}{\frac{\frac{343}{2^{3}} \cdot - 3}{2} (\frac{3}{2} - 1)}$

Étape 7.6.2.2.7.7

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$\frac{4 (\frac{17}{2})}{\frac{\frac{343}{8} \cdot - 3}{2} (\frac{3}{2} - 1)}$

Étape 7.6.2.2.8

Associez $\frac{343}{8}$ et $- 3$ .

$\frac{4 (\frac{17}{2})}{\frac{\frac{343 \cdot - 3}{8}}{2} (\frac{3}{2} - 1)}$

Étape 7.6.2.2.9

Multipliez $343$ par $- 3$ .

$\frac{4 (\frac{17}{2})}{\frac{\frac{- 1029}{8}}{2} (\frac{3}{2} - 1)}$

Étape 7.6.2.2.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{4 (\frac{17}{2})}{\frac{- \frac{1029}{8}}{2} (\frac{3}{2} - 1)}$

Étape 7.6.2.2.11

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{4 (\frac{17}{2})}{- \frac{1029}{8} \cdot \frac{1}{2} (\frac{3}{2} - 1)}$

Étape 7.6.2.2.12

Multipliez $- \frac{1029}{8} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 7.6.2.2.12.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1029}{8}$ .

$\frac{4 (\frac{17}{2})}{- \frac{1029}{2 \cdot 8} (\frac{3}{2} - 1)}$

Étape 7.6.2.2.12.2

Multipliez $2$ par $8$ .

$\frac{4 (\frac{17}{2})}{- \frac{1029}{16} (\frac{3}{2} - 1)}$

Étape 7.6.2.2.13

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{4 (\frac{17}{2})}{- \frac{1029}{16} (\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2})}$

Étape 7.6.2.2.14

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{4 (\frac{17}{2})}{- \frac{1029}{16} (\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2})}$

Étape 7.6.2.2.15

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{4 (\frac{17}{2})}{- \frac{1029}{16} \cdot \frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}$

Étape 7.6.2.2.16

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.6.2.2.16.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{4 (\frac{17}{2})}{- \frac{1029}{16} \cdot \frac{3 - 2}{2}}$

Étape 7.6.2.2.16.2

Soustrayez $2$ de $3$ .

$\frac{4 (\frac{17}{2})}{- \frac{1029}{16} \cdot \frac{1}{2}}$

Étape 7.6.2.2.17

Associez les exposants.

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Étape 7.6.2.2.17.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1029}{16}$ .

$\frac{4 (\frac{17}{2})}{- \frac{1029}{2 \cdot 16}}$

Étape 7.6.2.2.17.2

Multipliez $2$ par $16$ .

$\frac{4 (\frac{17}{2})}{- \frac{1029}{32}}$

Étape 7.6.2.3

Associez $4$ et $\frac{17}{2}$ .

$\frac{\frac{4 \cdot 17}{2}}{- \frac{1029}{32}}$

Étape 7.6.2.4

Multipliez $4$ par $17$ .

$\frac{\frac{68}{2}}{- \frac{1029}{32}}$

Étape 7.6.2.5

Divisez $68$ par $2$ .

$\frac{34}{- \frac{1029}{32}}$

Étape 7.6.2.6

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$34 (- \frac{32}{1029})$

Étape 7.6.2.7

Multipliez $34 (- \frac{32}{1029})$ .

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Étape 7.6.2.7.1

Multipliez $- 1$ par $34$ .

$- 34 (\frac{32}{1029})$

Étape 7.6.2.7.2

Associez $- 34$ et $\frac{32}{1029}$ .

$\frac{- 34 \cdot 32}{1029}$

Étape 7.6.2.7.3

Multipliez $- 34$ par $32$ .

$\frac{- 1088}{1029}$

Étape 7.6.2.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1088}{1029}$

Étape 7.7

Les trous dans le graphe sont les points où tout facteur annulé est égal à $0$ .

$(- 1, \frac{2}{9}), (\frac{3}{2}, - \frac{1088}{1029})$

Étape 8