Algèbre Exemples

$\frac{x + 3}{x - 1} + \frac{2 x - 1}{1 - x} = \frac{x - 1}{x + 1}$

Étape 1

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 1.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$x - 1, 1 - x, x + 1$

Étape 1.2

Le plus petit multiple commun est le plus petit nombre positif dans lequel tous les nombres peuvent être divisés parfaitement.

1. Indiquez les facteurs premiers de chaque nombre.

2. Multipliez chaque facteur le plus grand nombre de fois qu’il apparaît dans un nombre.

Étape 1.3

Le nombre $1$ n’est pas un nombre premier car il ne comporte qu’un facteur positif, qui est lui-même.

Pas premier

Étape 1.4

Le plus petit multiple commun de $1, 1, 1$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un nombre ou l’autre.

$1$

Étape 1.5

Le facteur pour $x - 1$ est $x - 1$ lui-même.

$(x - 1) = x - 1$

$(x - 1)$ se produit $1$ fois.

Étape 1.6

Le facteur pour $1 - x$ est $1 - x$ lui-même.

$(1 - x) = 1 - x$

$(1 - x)$ se produit $1$ fois.

Étape 1.7

Le facteur pour $x + 1$ est $x + 1$ lui-même.

$(x + 1) = x + 1$

$(x + 1)$ se produit $1$ fois.

Étape 1.8

Le plus petit multiple commun de $x - 1, 1 - x, x + 1$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un terme ou l’autre.

$(x - 1) (1 - x) (x + 1)$

Étape 2

Multiplier chaque terme dans $\frac{x + 3}{x - 1} + \frac{2 x - 1}{1 - x} = \frac{x - 1}{x + 1}$ par $(x - 1) (1 - x) (x + 1)$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 2.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{x + 3}{x - 1} + \frac{2 x - 1}{1 - x} = \frac{x - 1}{x + 1}$ par $(x - 1) (1 - x) (x + 1)$ .

$\frac{x + 3}{x - 1} ((x - 1) (1 - x) (x + 1)) + \frac{2 x - 1}{1 - x} ((x - 1) (1 - x) (x + 1)) = \frac{x - 1}{x + 1} ((x - 1) (1 - x) (x + 1))$

Étape 2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.1

Annulez le facteur commun de $x - 1$ .

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Étape 2.2.1.1.1

Factorisez $x - 1$ à partir de $(x - 1) (1 - x) (x + 1)$ .

$\frac{x + 3}{x - 1} ((x - 1) ((1 - x) (x + 1))) + \frac{2 x - 1}{1 - x} ((x - 1) (1 - x) (x + 1)) = \frac{x - 1}{x + 1} ((x - 1) (1 - x) (x + 1))$

Étape 2.2.1.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x + 3}{x - 1} ((x - 1) ((1 - x) (x + 1))) + \frac{2 x - 1}{1 - x} ((x - 1) (1 - x) (x + 1)) = \frac{x - 1}{x + 1} ((x - 1) (1 - x) (x + 1))$

Étape 2.2.1.1.3

Réécrivez l’expression.

$(x + 3) ((1 - x) (x + 1)) + \frac{2 x - 1}{1 - x} ((x - 1) (1 - x) (x + 1)) = \frac{x - 1}{x + 1} ((x - 1) (1 - x) (x + 1))$

Étape 2.2.1.2

Développez $(1 - x) (x + 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.2.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$(x + 3) (1 (x + 1) - x (x + 1)) + \frac{2 x - 1}{1 - x} ((x - 1) (1 - x) (x + 1)) = \frac{x - 1}{x + 1} ((x - 1) (1 - x) (x + 1))$

Étape 2.2.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$(x + 3) (1 x + 1 \cdot 1 - x (x + 1)) + \frac{2 x - 1}{1 - x} ((x - 1) (1 - x) (x + 1)) = \frac{x - 1}{x + 1} ((x - 1) (1 - x) (x + 1))$

Étape 2.2.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$(x + 3) (1 x + 1 \cdot 1 - x \cdot x - x \cdot 1) + \frac{2 x - 1}{1 - x} ((x - 1) (1 - x) (x + 1)) = \frac{x - 1}{x + 1} ((x - 1) (1 - x) (x + 1))$

Étape 2.2.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.2.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.3.1.1

Multipliez $x$ par $1$ .

$(x + 3) (x + 1 \cdot 1 - x \cdot x - x \cdot 1) + \frac{2 x - 1}{1 - x} ((x - 1) (1 - x) (x + 1)) = \frac{x - 1}{x + 1} ((x - 1) (1 - x) (x + 1))$

Étape 2.2.1.3.1.2

Multipliez $1$ par $1$ .

$(x + 3) (x + 1 - x \cdot x - x \cdot 1) + \frac{2 x - 1}{1 - x} ((x - 1) (1 - x) (x + 1)) = \frac{x - 1}{x + 1} ((x - 1) (1 - x) (x + 1))$

Étape 2.2.1.3.1.3

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.2.1.3.1.3.1

Déplacez $x$ .

$(x + 3) (x + 1 - (x \cdot x) - x \cdot 1) + \frac{2 x - 1}{1 - x} ((x - 1) (1 - x) (x + 1)) = \frac{x - 1}{x + 1} ((x - 1) (1 - x) (x + 1))$

Étape 2.2.1.3.1.3.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$(x + 3) (x + 1 - x^{2} - x \cdot 1) + \frac{2 x - 1}{1 - x} ((x - 1) (1 - x) (x + 1)) = \frac{x - 1}{x + 1} ((x - 1) (1 - x) (x + 1))$

Étape 2.2.1.3.1.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$(x + 3) (x + 1 - x^{2} - x) + \frac{2 x - 1}{1 - x} ((x - 1) (1 - x) (x + 1)) = \frac{x - 1}{x + 1} ((x - 1) (1 - x) (x + 1))$

Étape 2.2.1.3.2

Soustrayez $x$ de $x$ .

$(x + 3) (1 - x^{2} + 0) + \frac{2 x - 1}{1 - x} ((x - 1) (1 - x) (x + 1)) = \frac{x - 1}{x + 1} ((x - 1) (1 - x) (x + 1))$

Étape 2.2.1.3.3

Additionnez $1$ et $0$ .

$(x + 3) (- x^{2} + 1) + \frac{2 x - 1}{1 - x} ((x - 1) (1 - x) (x + 1)) = \frac{x - 1}{x + 1} ((x - 1) (1 - x) (x + 1))$

Étape 2.2.1.4

Développez $(x + 3) (- x^{2} + 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.2.1.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$x (- x^{2} + 1) + 3 (- x^{2} + 1) + \frac{2 x - 1}{1 - x} ((x - 1) (1 - x) (x + 1)) = \frac{x - 1}{x + 1} ((x - 1) (1 - x) (x + 1))$

Étape 2.2.1.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$x (- x^{2}) + x \cdot 1 + 3 (- x^{2} + 1) + \frac{2 x - 1}{1 - x} ((x - 1) (1 - x) (x + 1)) = \frac{x - 1}{x + 1} ((x - 1) (1 - x) (x + 1))$

Étape 2.2.1.4.3

Appliquez la propriété distributive.

$x (- x^{2}) + x \cdot 1 + 3 (- x^{2}) + 3 \cdot 1 + \frac{2 x - 1}{1 - x} ((x - 1) (1 - x) (x + 1)) = \frac{x - 1}{x + 1} ((x - 1) (1 - x) (x + 1))$

Étape 2.2.1.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.5.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- x \cdot x^{2} + x \cdot 1 + 3 (- x^{2}) + 3 \cdot 1 + \frac{2 x - 1}{1 - x} ((x - 1) (1 - x) (x + 1)) = \frac{x - 1}{x + 1} ((x - 1) (1 - x) (x + 1))$

Étape 2.2.1.5.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.2.1.5.2.1

Déplacez $x^{2}$ .

$- (x^{2} x) + x \cdot 1 + 3 (- x^{2}) + 3 \cdot 1 + \frac{2 x - 1}{1 - x} ((x - 1) (1 - x) (x + 1)) = \frac{x - 1}{x + 1} ((x - 1) (1 - x) (x + 1))$

Étape 2.2.1.5.2.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 2.2.1.5.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- (x^{2} x^{1}) + x \cdot 1 + 3 (- x^{2}) + 3 \cdot 1 + \frac{2 x - 1}{1 - x} ((x - 1) (1 - x) (x + 1)) = \frac{x - 1}{x + 1} ((x - 1) (1 - x) (x + 1))$

Étape 2.2.1.5.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- x^{2 + 1} + x \cdot 1 + 3 (- x^{2}) + 3 \cdot 1 + \frac{2 x - 1}{1 - x} ((x - 1) (1 - x) (x + 1)) = \frac{x - 1}{x + 1} ((x - 1) (1 - x) (x + 1))$

Étape 2.2.1.5.2.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$- x^{3} + x \cdot 1 + 3 (- x^{2}) + 3 \cdot 1 + \frac{2 x - 1}{1 - x} ((x - 1) (1 - x) (x + 1)) = \frac{x - 1}{x + 1} ((x - 1) (1 - x) (x + 1))$

Étape 2.2.1.5.3

Multipliez $x$ par $1$ .

$- x^{3} + x + 3 (- x^{2}) + 3 \cdot 1 + \frac{2 x - 1}{1 - x} ((x - 1) (1 - x) (x + 1)) = \frac{x - 1}{x + 1} ((x - 1) (1 - x) (x + 1))$

Étape 2.2.1.5.4

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$- x^{3} + x - 3 x^{2} + 3 \cdot 1 + \frac{2 x - 1}{1 - x} ((x - 1) (1 - x) (x + 1)) = \frac{x - 1}{x + 1} ((x - 1) (1 - x) (x + 1))$

Étape 2.2.1.5.5

Multipliez $3$ par $1$ .

$- x^{3} + x - 3 x^{2} + 3 + \frac{2 x - 1}{1 - x} ((x - 1) (1 - x) (x + 1)) = \frac{x - 1}{x + 1} ((x - 1) (1 - x) (x + 1))$

Étape 2.2.1.6

Annulez le facteur commun de $1 - x$ .

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Étape 2.2.1.6.1

Factorisez $1 - x$ à partir de $(x - 1) (1 - x) (x + 1)$ .

$- x^{3} + x - 3 x^{2} + 3 + \frac{2 x - 1}{1 - x} ((1 - x) ((x - 1) (x + 1))) = \frac{x - 1}{x + 1} ((x - 1) (1 - x) (x + 1))$

Étape 2.2.1.6.2

Annulez le facteur commun.

$- x^{3} + x - 3 x^{2} + 3 + \frac{2 x - 1}{1 - x} ((1 - x) ((x - 1) (x + 1))) = \frac{x - 1}{x + 1} ((x - 1) (1 - x) (x + 1))$

Étape 2.2.1.6.3

Réécrivez l’expression.

$- x^{3} + x - 3 x^{2} + 3 + (2 x - 1) ((x - 1) (x + 1)) = \frac{x - 1}{x + 1} ((x - 1) (1 - x) (x + 1))$

Étape 2.2.1.7

Développez $(x - 1) (x + 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.2.1.7.1

Appliquez la propriété distributive.

$- x^{3} + x - 3 x^{2} + 3 + (2 x - 1) (x (x + 1) - 1 (x + 1)) = \frac{x - 1}{x + 1} ((x - 1) (1 - x) (x + 1))$

Étape 2.2.1.7.2

Appliquez la propriété distributive.

$- x^{3} + x - 3 x^{2} + 3 + (2 x - 1) (x \cdot x + x \cdot 1 - 1 (x + 1)) = \frac{x - 1}{x + 1} ((x - 1) (1 - x) (x + 1))$

Étape 2.2.1.7.3

Appliquez la propriété distributive.

$- x^{3} + x - 3 x^{2} + 3 + (2 x - 1) (x \cdot x + x \cdot 1 - 1 x - 1 \cdot 1) = \frac{x - 1}{x + 1} ((x - 1) (1 - x) (x + 1))$

Étape 2.2.1.8

Associez les termes opposés dans $x \cdot x + x \cdot 1 - 1 x - 1 \cdot 1$ .

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Étape 2.2.1.8.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $x \cdot 1$ et $- 1 x$ .

$- x^{3} + x - 3 x^{2} + 3 + (2 x - 1) (x \cdot x + 1 x - 1 x - 1 \cdot 1) = \frac{x - 1}{x + 1} ((x - 1) (1 - x) (x + 1))$

Étape 2.2.1.8.2

Soustrayez $1 x$ de $1 x$ .

$- x^{3} + x - 3 x^{2} + 3 + (2 x - 1) (x \cdot x + 0 - 1 \cdot 1) = \frac{x - 1}{x + 1} ((x - 1) (1 - x) (x + 1))$

Étape 2.2.1.8.3

Additionnez $x \cdot x$ et $0$ .

$- x^{3} + x - 3 x^{2} + 3 + (2 x - 1) (x \cdot x - 1 \cdot 1) = \frac{x - 1}{x + 1} ((x - 1) (1 - x) (x + 1))$

Étape 2.2.1.9

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.9.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$- x^{3} + x - 3 x^{2} + 3 + (2 x - 1) (x^{2} - 1 \cdot 1) = \frac{x - 1}{x + 1} ((x - 1) (1 - x) (x + 1))$

Étape 2.2.1.9.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- x^{3} + x - 3 x^{2} + 3 + (2 x - 1) (x^{2} - 1) = \frac{x - 1}{x + 1} ((x - 1) (1 - x) (x + 1))$

Étape 2.2.1.10

Développez $(2 x - 1) (x^{2} - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.2.1.10.1

Appliquez la propriété distributive.

$- x^{3} + x - 3 x^{2} + 3 + 2 x (x^{2} - 1) - 1 (x^{2} - 1) = \frac{x - 1}{x + 1} ((x - 1) (1 - x) (x + 1))$

Étape 2.2.1.10.2

Appliquez la propriété distributive.

$- x^{3} + x - 3 x^{2} + 3 + 2 x \cdot x^{2} + 2 x \cdot - 1 - 1 (x^{2} - 1) = \frac{x - 1}{x + 1} ((x - 1) (1 - x) (x + 1))$

Étape 2.2.1.10.3

Appliquez la propriété distributive.

$- x^{3} + x - 3 x^{2} + 3 + 2 x \cdot x^{2} + 2 x \cdot - 1 - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1 = \frac{x - 1}{x + 1} ((x - 1) (1 - x) (x + 1))$

Étape 2.2.1.11

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.11.1

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.2.1.11.1.1

Déplacez $x^{2}$ .

$- x^{3} + x - 3 x^{2} + 3 + 2 (x^{2} x) + 2 x \cdot - 1 - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1 = \frac{x - 1}{x + 1} ((x - 1) (1 - x) (x + 1))$

Étape 2.2.1.11.1.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 2.2.1.11.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- x^{3} + x - 3 x^{2} + 3 + 2 (x^{2} x^{1}) + 2 x \cdot - 1 - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1 = \frac{x - 1}{x + 1} ((x - 1) (1 - x) (x + 1))$

Étape 2.2.1.11.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- x^{3} + x - 3 x^{2} + 3 + 2 x^{2 + 1} + 2 x \cdot - 1 - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1 = \frac{x - 1}{x + 1} ((x - 1) (1 - x) (x + 1))$

Étape 2.2.1.11.1.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$- x^{3} + x - 3 x^{2} + 3 + 2 x^{3} + 2 x \cdot - 1 - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1 = \frac{x - 1}{x + 1} ((x - 1) (1 - x) (x + 1))$

Étape 2.2.1.11.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- x^{3} + x - 3 x^{2} + 3 + 2 x^{3} - 2 x - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1 = \frac{x - 1}{x + 1} ((x - 1) (1 - x) (x + 1))$

Étape 2.2.1.11.3

Réécrivez $- 1 x^{2}$ comme $- x^{2}$ .

$- x^{3} + x - 3 x^{2} + 3 + 2 x^{3} - 2 x - x^{2} - 1 \cdot - 1 = \frac{x - 1}{x + 1} ((x - 1) (1 - x) (x + 1))$

Étape 2.2.1.11.4

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- x^{3} + x - 3 x^{2} + 3 + 2 x^{3} - 2 x - x^{2} + 1 = \frac{x - 1}{x + 1} ((x - 1) (1 - x) (x + 1))$

Étape 2.2.2

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 2.2.2.1

Additionnez $- x^{3}$ et $2 x^{3}$ .

$x^{3} + x - 3 x^{2} + 3 - 2 x - x^{2} + 1 = \frac{x - 1}{x + 1} ((x - 1) (1 - x) (x + 1))$

Étape 2.2.2.2

Soustrayez $2 x$ de $x$ .

$x^{3} - x - 3 x^{2} + 3 - x^{2} + 1 = \frac{x - 1}{x + 1} ((x - 1) (1 - x) (x + 1))$

Étape 2.2.2.3

Soustrayez $x^{2}$ de $- 3 x^{2}$ .

$x^{3} - x - 4 x^{2} + 3 + 1 = \frac{x - 1}{x + 1} ((x - 1) (1 - x) (x + 1))$

Étape 2.2.2.4

Additionnez $3$ et $1$ .

$x^{3} - x - 4 x^{2} + 4 = \frac{x - 1}{x + 1} ((x - 1) (1 - x) (x + 1))$

Étape 2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Annulez le facteur commun de $x + 1$ .

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Étape 2.3.1.1

Factorisez $x + 1$ à partir de $(x - 1) (1 - x) (x + 1)$ .

$x^{3} - x - 4 x^{2} + 4 = \frac{x - 1}{x + 1} ((x + 1) ((x - 1) (1 - x)))$

Étape 2.3.1.2

Annulez le facteur commun.

$x^{3} - x - 4 x^{2} + 4 = \frac{x - 1}{x + 1} ((x + 1) ((x - 1) (1 - x)))$

Étape 2.3.1.3

Réécrivez l’expression.

$x^{3} - x - 4 x^{2} + 4 = (x - 1) ((x - 1) (1 - x))$

Étape 2.3.2

Factorisez $- 1$ à partir de $x$ .

$x^{3} - x - 4 x^{2} + 4 = (x - 1) ((- 1 (- x) - 1) (1 - x))$

Étape 2.3.3

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$x^{3} - x - 4 x^{2} + 4 = (x - 1) ((- 1 (- x) - 1 (1)) (1 - x))$

Étape 2.3.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (- x) - 1 (1)$ .

$x^{3} - x - 4 x^{2} + 4 = (x - 1) (- 1 (- x + 1) (1 - x))$

Étape 2.3.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$x^{3} - x - 4 x^{2} + 4 = (x - 1) (- 1 (- x + 1) (- x + 1))$

Étape 2.3.6

Élevez $- x + 1$ à la puissance $1$ .

$x^{3} - x - 4 x^{2} + 4 = (x - 1) (- 1 ({(- x + 1)}^{1} (- x + 1)))$

Étape 2.3.7

Élevez $- x + 1$ à la puissance $1$ .

$x^{3} - x - 4 x^{2} + 4 = (x - 1) (- 1 ({(- x + 1)}^{1} {(- x + 1)}^{1}))$

Étape 2.3.8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{3} - x - 4 x^{2} + 4 = (x - 1) (- 1 {(- x + 1)}^{1 + 1})$

Étape 2.3.9

Additionnez $1$ et $1$ .

$x^{3} - x - 4 x^{2} + 4 = (x - 1) (- 1 {(- x + 1)}^{2})$

Étape 2.3.10

Factorisez $- 1$ à partir de $x$ .

$x^{3} - x - 4 x^{2} + 4 = (- 1 (- x) - 1) (- 1 {(- x + 1)}^{2})$

Étape 2.3.11

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$x^{3} - x - 4 x^{2} + 4 = (- 1 (- x) - 1 (1)) (- 1 {(- x + 1)}^{2})$

Étape 2.3.12

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (- x) - 1 (1)$ .

$x^{3} - x - 4 x^{2} + 4 = - 1 (- x + 1) (- 1 {(- x + 1)}^{2})$

Étape 2.3.13

Multipliez $- x + 1$ par ${(- x + 1)}^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.3.13.1

Déplacez ${(- x + 1)}^{2}$ .

$x^{3} - x - 4 x^{2} + 4 = - 1 ({(- x + 1)}^{2} (- x + 1)) \cdot - 1$

Étape 2.3.13.2

Multipliez ${(- x + 1)}^{2}$ par $- x + 1$ .

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Étape 2.3.13.2.1

Élevez $- x + 1$ à la puissance $1$ .

$x^{3} - x - 4 x^{2} + 4 = - 1 ({(- x + 1)}^{2} {(- x + 1)}^{1}) \cdot - 1$

Étape 2.3.13.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{3} - x - 4 x^{2} + 4 = - 1 {(- x + 1)}^{2 + 1} \cdot - 1$

Étape 2.3.13.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$x^{3} - x - 4 x^{2} + 4 = - 1 {(- x + 1)}^{3} \cdot - 1$

Étape 2.3.14

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$x^{3} - x - 4 x^{2} + 4 = 1 {(- x + 1)}^{3}$

Étape 2.3.15

Multipliez ${(- x + 1)}^{3}$ par $1$ .

$x^{3} - x - 4 x^{2} + 4 = {(- x + 1)}^{3}$

Étape 3

Résolvez l’équation.

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Étape 3.1

Simplifiez ${(- x + 1)}^{3}$ .

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Étape 3.1.1

Réécrivez.

$x^{3} - x - 4 x^{2} + 4 = 0 + 0 + {(- x + 1)}^{3}$

Étape 3.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$x^{3} - x - 4 x^{2} + 4 = {(- x + 1)}^{3}$

Étape 3.1.3

Utilisez le théorème du binôme.

$x^{3} - x - 4 x^{2} + 4 = {(- x)}^{3} + 3 {(- x)}^{2} \cdot 1 + 3 (- x) \cdot 1^{2} + 1^{3}$

Étape 3.1.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.4.1

Appliquez la règle de produit à $- x$ .

$x^{3} - x - 4 x^{2} + 4 = {(- 1)}^{3} x^{3} + 3 {(- x)}^{2} \cdot 1 + 3 (- x) \cdot 1^{2} + 1^{3}$

Étape 3.1.4.2

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$x^{3} - x - 4 x^{2} + 4 = - x^{3} + 3 {(- x)}^{2} \cdot 1 + 3 (- x) \cdot 1^{2} + 1^{3}$

Étape 3.1.4.3

Appliquez la règle de produit à $- x$ .

$x^{3} - x - 4 x^{2} + 4 = - x^{3} + 3 ({(- 1)}^{2} x^{2}) \cdot 1 + 3 (- x) \cdot 1^{2} + 1^{3}$

Étape 3.1.4.4

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$x^{3} - x - 4 x^{2} + 4 = - x^{3} + 3 (1 x^{2}) \cdot 1 + 3 (- x) \cdot 1^{2} + 1^{3}$

Étape 3.1.4.5

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{3} - x - 4 x^{2} + 4 = - x^{3} + 3 x^{2} \cdot 1 + 3 (- x) \cdot 1^{2} + 1^{3}$

Étape 3.1.4.6

Multipliez $3$ par $1$ .

$x^{3} - x - 4 x^{2} + 4 = - x^{3} + 3 x^{2} + 3 (- x) \cdot 1^{2} + 1^{3}$

Étape 3.1.4.7

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$x^{3} - x - 4 x^{2} + 4 = - x^{3} + 3 x^{2} - 3 x \cdot 1^{2} + 1^{3}$

Étape 3.1.4.8

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$x^{3} - x - 4 x^{2} + 4 = - x^{3} + 3 x^{2} - 3 x \cdot 1 + 1^{3}$

Étape 3.1.4.9

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$x^{3} - x - 4 x^{2} + 4 = - x^{3} + 3 x^{2} - 3 x + 1^{3}$

Étape 3.1.4.10

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$x^{3} - x - 4 x^{2} + 4 = - x^{3} + 3 x^{2} - 3 x + 1$

Étape 3.2

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 3.2.1

Ajoutez $x^{3}$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{3} - x - 4 x^{2} + 4 + x^{3} = 3 x^{2} - 3 x + 1$

Étape 3.2.2

Soustrayez $3 x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$x^{3} - x - 4 x^{2} + 4 + x^{3} - 3 x^{2} = - 3 x + 1$

Étape 3.2.3

Ajoutez $3 x$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{3} - x - 4 x^{2} + 4 + x^{3} - 3 x^{2} + 3 x = 1$

Étape 3.2.4

Additionnez $x^{3}$ et $x^{3}$ .

$2 x^{3} - x - 4 x^{2} + 4 - 3 x^{2} + 3 x = 1$

Étape 3.2.5

Additionnez $- x$ et $3 x$ .

$2 x^{3} - 4 x^{2} + 4 - 3 x^{2} + 2 x = 1$

Étape 3.2.6

Soustrayez $3 x^{2}$ de $- 4 x^{2}$ .

$2 x^{3} - 7 x^{2} + 4 + 2 x = 1$

Étape 3.3

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$2 x^{3} - 7 x^{2} + 4 + 2 x - 1 = 0$

Étape 3.4

Soustrayez $1$ de $4$ .

$2 x^{3} - 7 x^{2} + 2 x + 3 = 0$

Étape 3.5

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 3.5.1

Factorisez $2 x^{3} - 7 x^{2} + 2 x + 3$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 3.5.1.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 3$

$q = \pm 1, \pm 2$

Étape 3.5.1.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 3, \pm 1.5$

Étape 3.5.1.3

Remplacez $- 0.5$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $- 0.5$ est une racine du polynôme.

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Étape 3.5.1.3.1

Remplacez $- 0.5$ dans le polynôme.

$2 {(- 0.5)}^{3} - 7 {(- 0.5)}^{2} + 2 \cdot - 0.5 + 3$

Étape 3.5.1.3.2

Élevez $- 0.5$ à la puissance $3$ .

$2 \cdot - 0.125 - 7 {(- 0.5)}^{2} + 2 \cdot - 0.5 + 3$

Étape 3.5.1.3.3

Multipliez $2$ par $- 0.125$ .

$- 0.25 - 7 {(- 0.5)}^{2} + 2 \cdot - 0.5 + 3$

Étape 3.5.1.3.4

Élevez $- 0.5$ à la puissance $2$ .

$- 0.25 - 7 \cdot 0.25 + 2 \cdot - 0.5 + 3$

Étape 3.5.1.3.5

Multipliez $- 7$ par $0.25$ .

$- 0.25 - 1.75 + 2 \cdot - 0.5 + 3$

Étape 3.5.1.3.6

Soustrayez $1.75$ de $- 0.25$ .

$- 2 + 2 \cdot - 0.5 + 3$

Étape 3.5.1.3.7

Multipliez $2$ par $- 0.5$ .

$- 2 - 1 + 3$

Étape 3.5.1.3.8

Soustrayez $1$ de $- 2$ .

$- 3 + 3$

Étape 3.5.1.3.9

Additionnez $- 3$ et $3$ .

$0$

Étape 3.5.1.4

Comme $- 0.5$ est une racine connue, divisez le polynôme par $2 x + 1$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{2 x^{3} - 7 x^{2} + 2 x + 3}{2 x + 1}$

Étape 3.5.1.5

Divisez $2 x^{3} - 7 x^{2} + 2 x + 3$ par $2 x + 1$ .

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Étape 3.5.1.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$2 x$

$1$

$2 x^{3}$

$7 x^{2}$

$2 x$

$3$

Étape 3.5.1.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $2 x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $2 x$ .

					$x^{2}$
	$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$2 x$	+	$3$

Étape 3.5.1.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$2 x$	+	$3$
			+	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$

Étape 3.5.1.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $2 x^{3} + x^{2}$

				$x^{2}$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$2 x$	+	$3$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$

Étape 3.5.1.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$2 x$	+	$3$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$

Étape 3.5.1.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$2 x$	+	$3$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$2 x$

Étape 3.5.1.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 8 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $2 x$ .

				$x^{2}$	-	$4 x$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$2 x$	+	$3$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$2 x$

Étape 3.5.1.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$2 x$	+	$3$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$2 x$
					-	$8 x^{2}$	-	$4 x$

Étape 3.5.1.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 8 x^{2} - 4 x$

				$x^{2}$	-	$4 x$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$2 x$	+	$3$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$2 x$
					+	$8 x^{2}$	+	$4 x$

Étape 3.5.1.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$2 x$	+	$3$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$2 x$
					+	$8 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$6 x$

Étape 3.5.1.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$2 x$	+	$3$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$2 x$
					+	$8 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$6 x$	+	$3$

Étape 3.5.1.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $6 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $2 x$ .

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$3$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$2 x$	+	$3$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$2 x$
					+	$8 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$6 x$	+	$3$

Étape 3.5.1.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$3$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$2 x$	+	$3$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$2 x$
					+	$8 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$6 x$	+	$3$
							+	$6 x$	+	$3$

Étape 3.5.1.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $6 x + 3$

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$3$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$2 x$	+	$3$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$2 x$
					+	$8 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$6 x$	+	$3$
							-	$6 x$	-	$3$

Étape 3.5.1.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$3$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$2 x$	+	$3$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$2 x$
					+	$8 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$6 x$	+	$3$
							-	$6 x$	-	$3$
										$0$

Étape 3.5.1.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$x^{2} - 4 x + 3$

Étape 3.5.1.6

Écrivez $2 x^{3} - 7 x^{2} + 2 x + 3$ comme un ensemble de facteurs.

$(2 x + 1) (x^{2} - 4 x + 3) = 0$

Étape 3.5.2

Factorisez $x^{2} - 4 x + 3$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 3.5.2.1

Factorisez $x^{2} - 4 x + 3$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 3.5.2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $3$ et dont la somme est $- 4$ .

$- 3, - 1$

Étape 3.5.2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(2 x + 1) ((x - 3) (x - 1)) = 0$

Étape 3.5.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(2 x + 1) (x - 3) (x - 1) = 0$

Étape 3.6

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$2 x + 1 = 0$

$x - 3 = 0$

$x - 1 = 0$

Étape 3.7

Définissez $2 x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.7.1

Définissez $2 x + 1$ égal à $0$ .

$2 x + 1 = 0$

Étape 3.7.2

Résolvez $2 x + 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.7.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$2 x = - 1$

Étape 3.7.2.2

Divisez chaque terme dans $2 x = - 1$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 3.7.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = - 1$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Étape 3.7.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.7.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.7.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Étape 3.7.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Étape 3.7.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.7.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{1}{2}$

Étape 3.8

Définissez $x - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.8.1

Définissez $x - 3$ égal à $0$ .

$x - 3 = 0$

Étape 3.8.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 3$

Étape 3.9

Définissez $x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.9.1

Définissez $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 3.9.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 3.10

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(2 x + 1) (x - 3) (x - 1) = 0$ vraie.

$x = - \frac{1}{2}, 3, 1$

Étape 4

Excluez les solutions qui ne rendent pas $\frac{x + 3}{x - 1} + \frac{2 x - 1}{1 - x} = \frac{x - 1}{x + 1}$ vrai.

$x = - \frac{1}{2}, 3$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = - \frac{1}{2}, 3$

Forme décimale :

$x = - 0.5, 3$