Algèbre Exemples

$\frac{x - 1}{x^{2} + 2 x + 1} \cdot \frac{x^{2} - 1}{x + 1}$

Étape 1

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 1.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{x - 1}{x^{2} + 2 x + 1^{2}} \cdot \frac{x^{2} - 1}{x + 1}$

Étape 1.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Étape 1.3

Réécrivez le polynôme.

$\frac{x - 1}{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}} \cdot \frac{x^{2} - 1}{x + 1}$

Étape 1.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , où $a = x$ et $b = 1$ .

$\frac{x - 1}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{x^{2} - 1}{x + 1}$

Étape 2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{x - 1}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{x^{2} - 1^{2}}{x + 1}$

Étape 2.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$\frac{x - 1}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{(x + 1) (x - 1)}{x + 1}$

Étape 3

Simplifiez les termes.

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Étape 3.1

Annulez le facteur commun de $x + 1$ .

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Étape 3.1.1

Factorisez $x + 1$ à partir de ${(x + 1)}^{2}$ .

$\frac{x - 1}{(x + 1) (x + 1)} \cdot \frac{(x + 1) (x - 1)}{x + 1}$

Étape 3.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x - 1}{(x + 1) (x + 1)} \cdot \frac{(x + 1) (x - 1)}{x + 1}$

Étape 3.1.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{x - 1}{x + 1}$

Étape 3.2

Multipliez $\frac{x - 1}{x + 1}$ par $\frac{x - 1}{x + 1}$ .

$\frac{(x - 1) (x - 1)}{(x + 1) (x + 1)}$

Étape 4

Élevez $x - 1$ à la puissance $1$ .

$\frac{{(x - 1)}^{1} (x - 1)}{(x + 1) (x + 1)}$

Étape 5

Élevez $x - 1$ à la puissance $1$ .

$\frac{{(x - 1)}^{1} {(x - 1)}^{1}}{(x + 1) (x + 1)}$

Étape 6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{{(x - 1)}^{1 + 1}}{(x + 1) (x + 1)}$

Étape 7

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{(x + 1) (x + 1)}$

Étape 8

Élevez $x + 1$ à la puissance $1$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{1} (x + 1)}$

Étape 9

Élevez $x + 1$ à la puissance $1$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{1} {(x + 1)}^{1}}$

Étape 10

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{1 + 1}}$

Étape 11

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}}$