Algèbre Exemples

$8 + 12 a^{2} + 6 a^{4} + a^{6}$

Étape 1

Regroupez les termes.

$8 + a^{6} + 12 a^{2} + 6 a^{4}$

Étape 2

Réécrivez $8$ comme $2^{3}$ .

$2^{3} + a^{6} + 12 a^{2} + 6 a^{4}$

Étape 3

Réécrivez $a^{6}$ comme ${(a^{2})}^{3}$ .

$2^{3} + {(a^{2})}^{3} + 12 a^{2} + 6 a^{4}$

Étape 4

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la somme des cubes, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ où $a = 2$ et $b = a^{2}$ .

$(2 + a^{2}) (2^{2} - 2 a^{2} + {(a^{2})}^{2}) + 12 a^{2} + 6 a^{4}$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$(2 + a^{2}) (4 - 2 a^{2} + {(a^{2})}^{2}) + 12 a^{2} + 6 a^{4}$

Étape 5.2

Multipliez les exposants dans ${(a^{2})}^{2}$ .

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Étape 5.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$(2 + a^{2}) (4 - 2 a^{2} + a^{2 \cdot 2}) + 12 a^{2} + 6 a^{4}$

Étape 5.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$(2 + a^{2}) (4 - 2 a^{2} + a^{4}) + 12 a^{2} + 6 a^{4}$

Étape 6

Factorisez $6 a^{2}$ à partir de $12 a^{2} + 6 a^{4}$ .

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Étape 6.1

Factorisez $6 a^{2}$ à partir de $12 a^{2}$ .

$(2 + a^{2}) (4 - 2 a^{2} + a^{4}) + 6 a^{2} (2) + 6 a^{4}$

Étape 6.2

Factorisez $6 a^{2}$ à partir de $6 a^{4}$ .

$(2 + a^{2}) (4 - 2 a^{2} + a^{4}) + 6 a^{2} (2) + 6 a^{2} (a^{2})$

Étape 6.3

Factorisez $6 a^{2}$ à partir de $6 a^{2} (2) + 6 a^{2} (a^{2})$ .

$(2 + a^{2}) (4 - 2 a^{2} + a^{4}) + 6 a^{2} (2 + a^{2})$

Étape 7

Factorisez $2 + a^{2}$ à partir de $(2 + a^{2}) (4 - 2 a^{2} + a^{4}) + 6 a^{2} (2 + a^{2})$ .

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Étape 7.1

Factorisez $2 + a^{2}$ à partir de $6 a^{2} (2 + a^{2})$ .

$(2 + a^{2}) (4 - 2 a^{2} + a^{4}) + (2 + a^{2}) (6 a^{2})$

Étape 7.2

Factorisez $2 + a^{2}$ à partir de $(2 + a^{2}) (4 - 2 a^{2} + a^{4}) + (2 + a^{2}) (6 a^{2})$ .

$(2 + a^{2}) (4 - 2 a^{2} + a^{4} + 6 a^{2})$

Étape 8

Additionnez $- 2 a^{2}$ et $6 a^{2}$ .

$(2 + a^{2}) (4 + a^{4} + 4 a^{2})$

Étape 9

Remettez les termes dans l’ordre.

$(2 + a^{2}) (a^{4} + 4 a^{2} + 4)$

Étape 10

Réécrivez $a^{4} + 4 a^{2} + 4$ en forme factorisée.

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Étape 10.1

Réécrivez $a^{4}$ comme ${(a^{2})}^{2}$ .

$(2 + a^{2}) ({(a^{2})}^{2} + 4 a^{2} + 4)$

Étape 10.2

Laissez $u = a^{2}$ . Remplacez toutes les occurrences de $a^{2}$ par $u$ .

$(2 + a^{2}) (u^{2} + 4 u + 4)$

Étape 10.3

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 10.3.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$(2 + a^{2}) (u^{2} + 4 u + 2^{2})$

Étape 10.3.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$4 u = 2 \cdot u \cdot 2$

Étape 10.3.3

Réécrivez le polynôme.

$(2 + a^{2}) (u^{2} + 2 \cdot u \cdot 2 + 2^{2})$

Étape 10.3.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , où $a = u$ et $b = 2$ .

$(2 + a^{2}) {(u + 2)}^{2}$

Étape 10.4

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $a^{2}$ .

$(2 + a^{2}) {(a^{2} + 2)}^{2}$