Algèbre Exemples

$f (x) = {(3 x)}^{- \frac{2}{3}}$

Étape 1

Écrivez $f (x) = {(3 x)}^{- \frac{2}{3}}$ comme une équation.

$y = {(3 x)}^{- \frac{2}{3}}$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = {(3 y)}^{- \frac{2}{3}}$

Étape 3

Résolvez $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme ${(3 y)}^{- \frac{2}{3}} = x$ .

${(3 y)}^{- \frac{2}{3}} = x$

Étape 3.2

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $- \frac{3}{2}$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${({(3 y)}^{- \frac{2}{3}})}^{- \frac{3}{2}} = \pm x^{- \frac{3}{2}}$

Étape 3.3

Simplifiez l’exposant.

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Étape 3.3.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1.1

Simplifiez ${({(3 y)}^{- \frac{2}{3}})}^{- \frac{3}{2}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(3 y)}^{- \frac{2}{3}})}^{- \frac{3}{2}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(3 y)}^{- \frac{2}{3} (- \frac{3}{2})} = \pm x^{- \frac{3}{2}}$

Étape 3.3.1.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.3.1.1.1.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{2}{3}$ dans le numérateur.

${(3 y)}^{\frac{- 2}{3} (- \frac{3}{2})} = \pm x^{- \frac{3}{2}}$

Étape 3.3.1.1.1.2.2

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{3}{2}$ dans le numérateur.

${(3 y)}^{\frac{- 2}{3} \cdot \frac{- 3}{2}} = \pm x^{- \frac{3}{2}}$

Étape 3.3.1.1.1.2.3

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

${(3 y)}^{\frac{2 (- 1)}{3} \cdot \frac{- 3}{2}} = \pm x^{- \frac{3}{2}}$

Étape 3.3.1.1.1.2.4

Annulez le facteur commun.

${(3 y)}^{\frac{2 \cdot - 1}{3} \cdot \frac{- 3}{2}} = \pm x^{- \frac{3}{2}}$

Étape 3.3.1.1.1.2.5

Réécrivez l’expression.

${(3 y)}^{\frac{- 1}{3} \cdot - 3} = \pm x^{- \frac{3}{2}}$

Étape 3.3.1.1.1.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1.1.1.3.1

Factorisez $3$ à partir de $- 3$ .

${(3 y)}^{\frac{- 1}{3} \cdot (3 (- 1))} = \pm x^{- \frac{3}{2}}$

Étape 3.3.1.1.1.3.2

Annulez le facteur commun.

${(3 y)}^{\frac{- 1}{3} \cdot (3 \cdot - 1)} = \pm x^{- \frac{3}{2}}$

Étape 3.3.1.1.1.3.3

Réécrivez l’expression.

${(3 y)}^{- - 1} = \pm x^{- \frac{3}{2}}$

Étape 3.3.1.1.1.4

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

${(3 y)}^{1} = \pm x^{- \frac{3}{2}}$

Étape 3.3.1.1.2

Simplifiez

$3 y = \pm x^{- \frac{3}{2}}$

Étape 3.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.2.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 y = \pm \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 3.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$3 y = \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 3.4.2

Divisez chaque terme dans $3 y = \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 3.4.2.1

Divisez chaque terme dans $3 y = \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ par $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}}{3}$

Étape 3.4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.4.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 y}{3} = \frac{\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}}{3}$

Étape 3.4.2.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}}{3}$

Étape 3.4.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.2.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$y = \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{3}$

Étape 3.4.2.3.2

Associez.

$y = \frac{1 \cdot 1}{x^{\frac{3}{2}} \cdot 3}$

Étape 3.4.2.3.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.4.2.3.3.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$y = \frac{1}{x^{\frac{3}{2}} \cdot 3}$

Étape 3.4.2.3.3.2

Déplacez $3$ à gauche de $x^{\frac{3}{2}}$ .

$y = \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 3.4.3

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$3 y = - \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 3.4.4

Divisez chaque terme dans $3 y = - \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 3.4.4.1

Divisez chaque terme dans $3 y = - \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ par $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{- \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}}{3}$

Étape 3.4.4.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.4.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 y}{3} = \frac{- \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}}{3}$

Étape 3.4.4.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{- \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}}{3}$

Étape 3.4.4.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.4.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$y = - \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{3}$

Étape 3.4.4.3.2

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ .

$y = - \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 3.4.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$y = \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}}$

$y = - \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}}$

$y = \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}}$

$y = - \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}}$

$y = \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}}$

$y = - \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}}, - \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}}, - \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}}$ est l’inverse de $f (x) = {(3 x)}^{- \frac{2}{3}}$ .

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Étape 5.1

Le domaine de l’inverse est la plage de la fonction initiale et inversement. Déterminez le domaine et la plage de $f (x) = {(3 x)}^{- \frac{2}{3}}$ et $f^{- 1} (x) = \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}}, - \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}}$ puis comparez-les.

Étape 5.2

Déterminez la plage de $f (x) = {(3 x)}^{- \frac{2}{3}}$ .

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Étape 5.2.1

La plage est l’ensemble de toutes les valeurs $y$ valides. Utilisez le graphe pour déterminer la plage.

Notation d’intervalle :

$(0, \infty)$

Étape 5.3

Déterminez le domaine de $\frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}}$ .

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Étape 5.3.1

Appliquez la règle $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ pour réécrire l’élévation à la puissance comme un radical.

$\frac{1}{3 \sqrt{x^{3}}}$

Étape 5.3.2

Définissez le radicande dans $\sqrt{x^{3}}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$x^{3} \geq 0$

Étape 5.3.3

Résolvez $x$ .

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Étape 5.3.3.1

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt[3]{x^{3}} \geq \sqrt[3]{0}$

Étape 5.3.3.2

Simplifiez l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.3.2.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.3.2.1.1

Extrayez les termes de sous le radical.

$x \geq \sqrt[3]{0}$

Étape 5.3.3.2.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.3.2.2.1

Simplifiez $\sqrt[3]{0}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.3.2.2.1.1

Réécrivez $0$ comme $0^{3}$ .

$x \geq \sqrt[3]{0^{3}}$

Étape 5.3.3.2.2.1.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$x \geq 0$

Étape 5.3.4

Définissez le dénominateur dans $\frac{1}{3 \sqrt{x^{3}}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$3 \sqrt{x^{3}} = 0$

Étape 5.3.5

Résolvez $x$ .

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Étape 5.3.5.1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${(3 \sqrt{x^{3}})}^{2} = 0^{2}$

Étape 5.3.5.2

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 5.3.5.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x^{3}}$ comme $x^{\frac{3}{2}}$ .

${(3 x^{\frac{3}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Étape 5.3.5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.5.2.2.1

Simplifiez ${(3 x^{\frac{3}{2}})}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.5.2.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $3 x^{\frac{3}{2}}$ .

$3^{2} {(x^{\frac{3}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Étape 5.3.5.2.2.1.2

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$9 {(x^{\frac{3}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Étape 5.3.5.2.2.1.3

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{3}{2}})}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.5.2.2.1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9 x^{\frac{3}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Étape 5.3.5.2.2.1.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.5.2.2.1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$9 x^{\frac{3}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Étape 5.3.5.2.2.1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$9 x^{3} = 0^{2}$

Étape 5.3.5.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.5.2.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$9 x^{3} = 0$

Étape 5.3.5.3

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.5.3.1

Divisez chaque terme dans $9 x^{3} = 0$ par $9$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.5.3.1.1

Divisez chaque terme dans $9 x^{3} = 0$ par $9$ .

$\frac{9 x^{3}}{9} = \frac{0}{9}$

Étape 5.3.5.3.1.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.5.3.1.2.1

Annulez le facteur commun de $9$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.5.3.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{9 x^{3}}{9} = \frac{0}{9}$

Étape 5.3.5.3.1.2.1.2

Divisez $x^{3}$ par $1$ .

$x^{3} = \frac{0}{9}$

Étape 5.3.5.3.1.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.5.3.1.3.1

Divisez $0$ par $9$ .

$x^{3} = 0$

Étape 5.3.5.3.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{0}$

Étape 5.3.5.3.3

Simplifiez $\sqrt[3]{0}$ .

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Étape 5.3.5.3.3.1

Réécrivez $0$ comme $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Étape 5.3.5.3.3.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$x = 0$

Étape 5.3.6

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(0, \infty)$

Étape 5.4

Déterminez le domaine de $f (x) = {(3 x)}^{- \frac{2}{3}}$ .

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Étape 5.4.1

Convertissez des expressions avec exposants fractionnaires en radicaux.

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Étape 5.4.1.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{{(3 x)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 5.4.1.2

Appliquez la règle $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ pour réécrire l’élévation à la puissance comme un radical.

$\frac{1}{\sqrt[3]{{(3 x)}^{2}}}$

Étape 5.4.2

Définissez le dénominateur dans $\frac{1}{\sqrt[3]{{(3 x)}^{2}}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$\sqrt[3]{{(3 x)}^{2}} = 0$

Étape 5.4.3

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.3.1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au cube les deux côtés de l’équation.

${\sqrt[3]{{(3 x)}^{2}}}^{3} = 0^{3}$

Étape 5.4.3.2

Simplifiez chaque côté de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.3.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{{(3 x)}^{2}}$ comme ${(3 x)}^{\frac{2}{3}}$ .

${({(3 x)}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Étape 5.4.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.3.2.2.1

Simplifiez ${({(3 x)}^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.3.2.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(3 x)}^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.3.2.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(3 x)}^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Étape 5.4.3.2.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.3.2.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(3 x)}^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Étape 5.4.3.2.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(3 x)}^{2} = 0^{3}$

Étape 5.4.3.2.2.1.2

Appliquez la règle de produit à $3 x$ .

$3^{2} x^{2} = 0^{3}$

Étape 5.4.3.2.2.1.3

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$9 x^{2} = 0^{3}$

Étape 5.4.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.3.2.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$9 x^{2} = 0$

Étape 5.4.3.3

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.3.3.1

Divisez chaque terme dans $9 x^{2} = 0$ par $9$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.3.3.1.1

Divisez chaque terme dans $9 x^{2} = 0$ par $9$ .

$\frac{9 x^{2}}{9} = \frac{0}{9}$

Étape 5.4.3.3.1.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.3.3.1.2.1

Annulez le facteur commun de $9$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.3.3.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{9 x^{2}}{9} = \frac{0}{9}$

Étape 5.4.3.3.1.2.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{0}{9}$

Étape 5.4.3.3.1.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.3.3.1.3.1

Divisez $0$ par $9$ .

$x^{2} = 0$

Étape 5.4.3.3.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Étape 5.4.3.3.3

Simplifiez $\pm \sqrt{0}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.3.3.3.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Étape 5.4.3.3.3.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 0$

Étape 5.4.3.3.3.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 5.4.4

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Étape 5.5

Comme le domaine de $f^{- 1} (x) = \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}}, - \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}}$ se trouve sur la plage de $f (x) = {(3 x)}^{- \frac{2}{3}}$ et comme la plage de $f^{- 1} (x) = \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}}, - \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}}$ est le domaine de $f (x) = {(3 x)}^{- \frac{2}{3}}$ , $f^{- 1} (x) = \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}}, - \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}}$ est l’inverse de $f (x) = {(3 x)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}}, - \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 6