Algèbre Exemples

$(9 x^{4} + 3 x^{3} y - 5 x^{2} y^{2} + x y^{3}) \div (3 x^{3} + 2 x^{2} y - x y^{2})$

Étape 1

Réécrivez la division comme une fraction.

$\frac{9 x^{4} + 3 x^{3} y - 5 x^{2} y^{2} + x y^{3}}{3 x^{3} + 2 x^{2} y - x y^{2}}$

Étape 2

Factorisez $x$ à partir de $9 x^{4} + 3 x^{3} y - 5 x^{2} y^{2} + x y^{3}$ .

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Étape 2.1

Factorisez $x$ à partir de $9 x^{4}$ .

$\frac{x (9 x^{3}) + 3 x^{3} y - 5 x^{2} y^{2} + x y^{3}}{3 x^{3} + 2 x^{2} y - x y^{2}}$

Étape 2.2

Factorisez $x$ à partir de $3 x^{3} y$ .

$\frac{x (9 x^{3}) + x (3 x^{2} y) - 5 x^{2} y^{2} + x y^{3}}{3 x^{3} + 2 x^{2} y - x y^{2}}$

Étape 2.3

Factorisez $x$ à partir de $- 5 x^{2} y^{2}$ .

$\frac{x (9 x^{3}) + x (3 x^{2} y) + x (- 5 x y^{2}) + x y^{3}}{3 x^{3} + 2 x^{2} y - x y^{2}}$

Étape 2.4

Factorisez $x$ à partir de $x y^{3}$ .

$\frac{x (9 x^{3}) + x (3 x^{2} y) + x (- 5 x y^{2}) + x (y^{3})}{3 x^{3} + 2 x^{2} y - x y^{2}}$

Étape 2.5

Factorisez $x$ à partir de $x (9 x^{3}) + x (3 x^{2} y)$ .

$\frac{x (9 x^{3} + 3 x^{2} y) + x (- 5 x y^{2}) + x (y^{3})}{3 x^{3} + 2 x^{2} y - x y^{2}}$

Étape 2.6

Factorisez $x$ à partir de $x (9 x^{3} + 3 x^{2} y) + x (- 5 x y^{2})$ .

$\frac{x (9 x^{3} + 3 x^{2} y - 5 x y^{2}) + x (y^{3})}{3 x^{3} + 2 x^{2} y - x y^{2}}$

Étape 2.7

Factorisez $x$ à partir de $x (9 x^{3} + 3 x^{2} y - 5 x y^{2}) + x (y^{3})$ .

$\frac{x (9 x^{3} + 3 x^{2} y - 5 x y^{2} + y^{3})}{3 x^{3} + 2 x^{2} y - x y^{2}}$

Étape 3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.1

Factorisez $x$ à partir de $3 x^{3} + 2 x^{2} y - x y^{2}$ .

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Étape 3.1.1

Factorisez $x$ à partir de $3 x^{3}$ .

$\frac{x (9 x^{3} + 3 x^{2} y - 5 x y^{2} + y^{3})}{x (3 x^{2}) + 2 x^{2} y - x y^{2}}$

Étape 3.1.2

Factorisez $x$ à partir de $2 x^{2} y$ .

$\frac{x (9 x^{3} + 3 x^{2} y - 5 x y^{2} + y^{3})}{x (3 x^{2}) + x (2 x y) - x y^{2}}$

Étape 3.1.3

Factorisez $x$ à partir de $- x y^{2}$ .

$\frac{x (9 x^{3} + 3 x^{2} y - 5 x y^{2} + y^{3})}{x (3 x^{2}) + x (2 x y) + x (- 1 y^{2})}$

Étape 3.1.4

Factorisez $x$ à partir de $x (3 x^{2}) + x (2 x y)$ .

$\frac{x (9 x^{3} + 3 x^{2} y - 5 x y^{2} + y^{3})}{x (3 x^{2} + 2 x y) + x (- 1 y^{2})}$

Étape 3.1.5

Factorisez $x$ à partir de $x (3 x^{2} + 2 x y) + x (- 1 y^{2})$ .

$\frac{x (9 x^{3} + 3 x^{2} y - 5 x y^{2} + y^{3})}{x (3 x^{2} + 2 x y - 1 y^{2})}$

Étape 3.2

Factorisez par regroupement.

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Étape 3.2.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 3 \cdot - 1 = - 3$ et dont la somme est $b = 2$ .

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Étape 3.2.1.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{x (9 x^{3} + 3 x^{2} y - 5 x y^{2} + y^{3})}{x (3 x^{2} - 1 y^{2} + 2 x y)}$

Étape 3.2.1.2

Remettez dans l’ordre $- 1 y^{2}$ et $2 x y$ .

$\frac{x (9 x^{3} + 3 x^{2} y - 5 x y^{2} + y^{3})}{x (3 x^{2} + 2 x y - 1 y^{2})}$

Étape 3.2.1.3

Factorisez $2$ à partir de $2 x y$ .

$\frac{x (9 x^{3} + 3 x^{2} y - 5 x y^{2} + y^{3})}{x (3 x^{2} + 2 (x y) - 1 y^{2})}$

Étape 3.2.1.4

Réécrivez $2$ comme $- 1$ plus $3$

$\frac{x (9 x^{3} + 3 x^{2} y - 5 x y^{2} + y^{3})}{x (3 x^{2} + (- 1 + 3) (x y) - 1 y^{2})}$

Étape 3.2.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x (9 x^{3} + 3 x^{2} y - 5 x y^{2} + y^{3})}{x (3 x^{2} - 1 (x y) + 3 (x y) - 1 y^{2})}$

Étape 3.2.1.6

Déplacez les parenthèses.

$\frac{x (9 x^{3} + 3 x^{2} y - 5 x y^{2} + y^{3})}{x (3 x^{2} - 1 x y + 3 x y - 1 y^{2})}$

Étape 3.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 3.2.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{x (9 x^{3} + 3 x^{2} y - 5 x y^{2} + y^{3})}{x ((3 x^{2} - 1 x y) + 3 x y - 1 y^{2})}$

Étape 3.2.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{x (9 x^{3} + 3 x^{2} y - 5 x y^{2} + y^{3})}{x (x (3 x - 1 y) + y (3 x - 1 y))}$

Étape 3.2.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $3 x - 1 y$ .

$\frac{x (9 x^{3} + 3 x^{2} y - 5 x y^{2} + y^{3})}{x ((3 x - 1 y) (x + y))}$

Étape 3.3

Réécrivez $- 1 y$ comme $- y$ .

$\frac{x (9 x^{3} + 3 x^{2} y - 5 x y^{2} + y^{3})}{x (3 x - y) (x + y)}$

Étape 4

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x (9 x^{3} + 3 x^{2} y - 5 x y^{2} + y^{3})}{x (3 x - y) (x + y)}$

Étape 4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{9 x^{3} + 3 x^{2} y - 5 x y^{2} + y^{3}}{(3 x - y) (x + y)}$

Étape 5

Divisez la fraction $\frac{9 x^{3} + 3 x^{2} y - 5 x y^{2} + y^{3}}{(3 x - y) (x + y)}$ en deux fractions.

$\frac{9 x^{3} + 3 x^{2} y - 5 x y^{2}}{(3 x - y) (x + y)} + \frac{y^{3}}{(3 x - y) (x + y)}$

Étape 6

Divisez la fraction $\frac{9 x^{3} + 3 x^{2} y - 5 x y^{2}}{(3 x - y) (x + y)}$ en deux fractions.

$\frac{9 x^{3} + 3 x^{2} y}{(3 x - y) (x + y)} + \frac{- 5 x y^{2}}{(3 x - y) (x + y)} + \frac{y^{3}}{(3 x - y) (x + y)}$

Étape 7

Divisez la fraction $\frac{9 x^{3} + 3 x^{2} y}{(3 x - y) (x + y)}$ en deux fractions.

$\frac{9 x^{3}}{(3 x - y) (x + y)} + \frac{3 x^{2} y}{(3 x - y) (x + y)} + \frac{- 5 x y^{2}}{(3 x - y) (x + y)} + \frac{y^{3}}{(3 x - y) (x + y)}$

Étape 8

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{9 x^{3}}{(3 x - y) (x + y)} + \frac{3 x^{2} y}{(3 x - y) (x + y)} - \frac{5 x y^{2}}{(3 x - y) (x + y)} + \frac{y^{3}}{(3 x - y) (x + y)}$