Algèbre Exemples

$g (x) = - \frac{1}{4} {(x + 3)}^{2}$

Étape 1

Déterminez les probabilités de la parabole donnée.

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Étape 1.1

Isolez $y$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1.1

Associez ${(x + 3)}^{2}$ et $\frac{1}{4}$ .

$y = - \frac{{(x + 3)}^{2}}{4}$

Étape 1.1.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$y = - \frac{1}{4} \cdot {(x + 3)}^{2}$

Étape 1.2

Utilisez la forme du sommet, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , pour déterminer les valeurs de $a$ , $h$ et $k$ .

$a = - \frac{1}{4}$

$h = - 3$

$k = 0$

Étape 1.3

Comme la valeur de $a$ est négative, la parabole ouvre vers le bas.

ouvre vers le bas

Étape 1.4

Déterminez le sommet $(h, k)$ .

$(- 3, 0)$

Étape 1.5

Déterminez $p$ , la distance du sommet au foyer.

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Étape 1.5.1

Déterminez la distance du sommet à un foyer de la parabole en utilisant la formule suivante.

$\frac{1}{4 a}$

Étape 1.5.2

Remplacez la valeur de $a$ dans la fonction.

$\frac{1}{4 \cdot (- \frac{1}{4})}$

Étape 1.5.3

Simplifiez

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Étape 1.5.3.1

Annulez le facteur commun à $1$ et $- 1$ .

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Étape 1.5.3.1.1

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot (- \frac{1}{4})}$

Étape 1.5.3.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{4 (\frac{1}{4})}$

Étape 1.5.3.2

Associez $4$ et $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{\frac{4}{4}}$

Étape 1.5.3.3

Divisez $4$ par $4$ .

$- \frac{1}{1}$

Étape 1.5.3.4

Annulez le facteur commun de $1$ .

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Étape 1.5.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$- \frac{1}{1}$

Étape 1.5.3.4.2

Réécrivez l’expression.

$- 1 \cdot 1$

Étape 1.5.3.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 1$

Étape 1.6

Déterminez le foyer.

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Étape 1.6.1

Le foyer d’une parabole peut être trouvé en ajoutant $p$ à la coordonnée y $k$ si la parabole ouvre vers le haut ou vers le bas.

$(h, k + p)$

Étape 1.6.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $p$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(- 3, - 1)$

Étape 1.7

Déterminez l’axe de symétrie en trouvant la droite qui passe par le sommet et le foyer.

$x = - 3$

Étape 1.8

Déterminez la directrice.

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Étape 1.8.1

La directrice d’une parabole est la droite horizontale déterminée en soustrayant $p$ de la coordonnée y $k$ du sommet si la parabole ouvre vers le haut ou vers le bas.

$y = k - p$

Étape 1.8.2

Remplacez les valeurs connues de $p$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$y = 1$

Étape 1.9

Utilisez les propriétés de la parabole pour analyser la parabole et la représenter sous forme graphique.

Direction : ouvre vers le bas

Sommet : $(- 3, 0)$

Foyer : $(- 3, - 1)$

Axe de symétrie : $x = - 3$

Directrice : $y = 1$

Direction : ouvre vers le bas

Sommet : $(- 3, 0)$

Foyer : $(- 3, - 1)$

Axe de symétrie : $x = - 3$

Directrice : $y = 1$

Étape 2

Sélectionnez quelques valeurs $x$ et insérez-les dans l’équation pour déterminer les valeurs $y$ correspondantes. Les valeurs $x$ devraient être sélectionnées autour du sommet.

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Étape 2.1

Remplacez la variable $x$ par $- 5$ dans l’expression.

$f (- 5) = - \frac{{(- 5)}^{2}}{4} - \frac{3 (- 5)}{2} - \frac{9}{4}$

Étape 2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- 5) = \frac{- {(- 5)}^{2} - 9}{4} + \frac{- 3 \cdot - 5}{2}$

Étape 2.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.2.1

Élevez $- 5$ à la puissance $2$ .

$f (- 5) = \frac{- 1 \cdot 25 - 9}{4} + \frac{- 3 \cdot - 5}{2}$

Étape 2.2.2.2

Multipliez $- 1$ par $25$ .

$f (- 5) = \frac{- 25 - 9}{4} + \frac{- 3 \cdot - 5}{2}$

Étape 2.2.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.2.3.1

Soustrayez $9$ de $- 25$ .

$f (- 5) = \frac{- 34}{4} + \frac{- 3 \cdot - 5}{2}$

Étape 2.2.3.2

Multipliez $- 3$ par $- 5$ .

$f (- 5) = \frac{- 34}{4} + \frac{15}{2}$

Étape 2.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.4.1

Annulez le facteur commun à $- 34$ et $4$ .

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Étape 2.2.4.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 34$ .

$f (- 5) = \frac{2 (- 17)}{4} + \frac{15}{2}$

Étape 2.2.4.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.2.4.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$f (- 5) = \frac{2 \cdot - 17}{2 \cdot 2} + \frac{15}{2}$

Étape 2.2.4.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (- 5) = \frac{2 \cdot - 17}{2 \cdot 2} + \frac{15}{2}$

Étape 2.2.4.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (- 5) = \frac{- 17}{2} + \frac{15}{2}$

Étape 2.2.4.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- 5) = - \frac{17}{2} + \frac{15}{2}$

Étape 2.2.5

Associez les fractions.

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Étape 2.2.5.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- 5) = \frac{- 17 + 15}{2}$

Étape 2.2.5.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.2.5.2.1

Additionnez $- 17$ et $15$ .

$f (- 5) = \frac{- 2}{2}$

Étape 2.2.5.2.2

Divisez $- 2$ par $2$ .

$f (- 5) = - 1$

Étape 2.2.6

La réponse finale est $- 1$ .

$- 1$

Étape 2.3

La valeur $y$ sur $x = - 5$ est $- 1$ .

$y = - 1$

Étape 2.4

Remplacez la variable $x$ par $- 4$ dans l’expression.

$f (- 4) = - \frac{{(- 4)}^{2}}{4} - \frac{3 (- 4)}{2} - \frac{9}{4}$

Étape 2.5

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.5.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- 4) = \frac{- {(- 4)}^{2} - 9}{4} + \frac{- 3 \cdot - 4}{2}$

Étape 2.5.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.5.2.1

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$f (- 4) = \frac{- 1 \cdot 16 - 9}{4} + \frac{- 3 \cdot - 4}{2}$

Étape 2.5.2.2

Multipliez $- 1$ par $16$ .

$f (- 4) = \frac{- 16 - 9}{4} + \frac{- 3 \cdot - 4}{2}$

Étape 2.5.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.5.3.1

Soustrayez $9$ de $- 16$ .

$f (- 4) = \frac{- 25}{4} + \frac{- 3 \cdot - 4}{2}$

Étape 2.5.3.2

Multipliez $- 3$ par $- 4$ .

$f (- 4) = \frac{- 25}{4} + \frac{12}{2}$

Étape 2.5.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.5.4.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- 4) = - \frac{25}{4} + \frac{12}{2}$

Étape 2.5.4.2

Divisez $12$ par $2$ .

$f (- 4) = - \frac{25}{4} + 6$

Étape 2.5.5

Pour écrire $6$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$f (- 4) = - \frac{25}{4} + 6 \cdot \frac{4}{4}$

Étape 2.5.6

Associez $6$ et $\frac{4}{4}$ .

$f (- 4) = - \frac{25}{4} + \frac{6 \cdot 4}{4}$

Étape 2.5.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- 4) = \frac{- 25 + 6 \cdot 4}{4}$

Étape 2.5.8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.5.8.1

Multipliez $6$ par $4$ .

$f (- 4) = \frac{- 25 + 24}{4}$

Étape 2.5.8.2

Additionnez $- 25$ et $24$ .

$f (- 4) = \frac{- 1}{4}$

Étape 2.5.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- 4) = - \frac{1}{4}$

Étape 2.5.10

La réponse finale est $- \frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{4}$

Étape 2.6

La valeur $y$ sur $x = - 4$ est $- \frac{1}{4}$ .

$y = - \frac{1}{4}$

Étape 2.7

Remplacez la variable $x$ par $- 1$ dans l’expression.

$f (- 1) = - \frac{{(- 1)}^{2}}{4} - \frac{3 (- 1)}{2} - \frac{9}{4}$

Étape 2.8

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.8.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- 1) = \frac{- {(- 1)}^{2} - 9}{4} + \frac{- 3 \cdot - 1}{2}$

Étape 2.8.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.8.2.1

Multipliez $- 1$ par ${(- 1)}^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.8.2.1.1

Multipliez $- 1$ par ${(- 1)}^{2}$ .

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Étape 2.8.2.1.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $1$ .

$f (- 1) = \frac{(- 1) {(- 1)}^{2} - 9}{4} + \frac{- 3 \cdot - 1}{2}$

Étape 2.8.2.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (- 1) = \frac{{(- 1)}^{1 + 2} - 9}{4} + \frac{- 3 \cdot - 1}{2}$

Étape 2.8.2.1.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$f (- 1) = \frac{{(- 1)}^{3} - 9}{4} + \frac{- 3 \cdot - 1}{2}$

Étape 2.8.2.2

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$f (- 1) = \frac{- 1 - 9}{4} + \frac{- 3 \cdot - 1}{2}$

Étape 2.8.3

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.8.3.1

Soustrayez $9$ de $- 1$ .

$f (- 1) = \frac{- 10}{4} + \frac{- 3 \cdot - 1}{2}$

Étape 2.8.3.2

Multipliez $- 3$ par $- 1$ .

$f (- 1) = \frac{- 10}{4} + \frac{3}{2}$

Étape 2.8.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.8.4.1

Annulez le facteur commun à $- 10$ et $4$ .

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Étape 2.8.4.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 10$ .

$f (- 1) = \frac{2 (- 5)}{4} + \frac{3}{2}$

Étape 2.8.4.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.8.4.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$f (- 1) = \frac{2 \cdot - 5}{2 \cdot 2} + \frac{3}{2}$

Étape 2.8.4.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (- 1) = \frac{2 \cdot - 5}{2 \cdot 2} + \frac{3}{2}$

Étape 2.8.4.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (- 1) = \frac{- 5}{2} + \frac{3}{2}$

Étape 2.8.4.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- 1) = - \frac{5}{2} + \frac{3}{2}$

Étape 2.8.5

Associez les fractions.

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Étape 2.8.5.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- 1) = \frac{- 5 + 3}{2}$

Étape 2.8.5.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.8.5.2.1

Additionnez $- 5$ et $3$ .

$f (- 1) = \frac{- 2}{2}$

Étape 2.8.5.2.2

Divisez $- 2$ par $2$ .

$f (- 1) = - 1$

Étape 2.8.6

La réponse finale est $- 1$ .

$- 1$

Étape 2.9

La valeur $y$ sur $x = - 1$ est $- 1$ .

$y = - 1$

Étape 2.10

Remplacez la variable $x$ par $- 2$ dans l’expression.

$f (- 2) = - \frac{{(- 2)}^{2}}{4} - \frac{3 (- 2)}{2} - \frac{9}{4}$

Étape 2.11

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.11.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- 2) = \frac{- {(- 2)}^{2} - 9}{4} + \frac{- 3 \cdot - 2}{2}$

Étape 2.11.2

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.11.2.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$f (- 2) = \frac{- 1 \cdot 4 - 9}{4} + \frac{- 3 \cdot - 2}{2}$

Étape 2.11.2.2

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$f (- 2) = \frac{- 4 - 9}{4} + \frac{- 3 \cdot - 2}{2}$

Étape 2.11.3

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.11.3.1

Soustrayez $9$ de $- 4$ .

$f (- 2) = \frac{- 13}{4} + \frac{- 3 \cdot - 2}{2}$

Étape 2.11.3.2

Multipliez $- 3$ par $- 2$ .

$f (- 2) = \frac{- 13}{4} + \frac{6}{2}$

Étape 2.11.4

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.11.4.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- 2) = - \frac{13}{4} + \frac{6}{2}$

Étape 2.11.4.2

Divisez $6$ par $2$ .

$f (- 2) = - \frac{13}{4} + 3$

Étape 2.11.5

Pour écrire $3$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$f (- 2) = - \frac{13}{4} + 3 \cdot \frac{4}{4}$

Étape 2.11.6

Associez $3$ et $\frac{4}{4}$ .

$f (- 2) = - \frac{13}{4} + \frac{3 \cdot 4}{4}$

Étape 2.11.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- 2) = \frac{- 13 + 3 \cdot 4}{4}$

Étape 2.11.8

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.11.8.1

Multipliez $3$ par $4$ .

$f (- 2) = \frac{- 13 + 12}{4}$

Étape 2.11.8.2

Additionnez $- 13$ et $12$ .

$f (- 2) = \frac{- 1}{4}$

Étape 2.11.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- 2) = - \frac{1}{4}$

Étape 2.11.10

La réponse finale est $- \frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{4}$

Étape 2.12

La valeur $y$ sur $x = - 2$ est $- \frac{1}{4}$ .

$y = - \frac{1}{4}$

Étape 2.13

Représentez la parabole en utilisant ses propriétés et les points sélectionnés.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 5 & - 1 \\ - 4 & - \frac{1}{4} \\ - 3 & 0 \\ - 2 & - \frac{1}{4} \\ - 1 & - 1 \end{array}$

Étape 3

Représentez la parabole en utilisant ses propriétés et les points sélectionnés.

Direction : ouvre vers le bas

Sommet : $(- 3, 0)$

Foyer : $(- 3, - 1)$

Axe de symétrie : $x = - 3$

Directrice : $y = 1$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 5 & - 1 \\ - 4 & - \frac{1}{4} \\ - 3 & 0 \\ - 2 & - \frac{1}{4} \\ - 1 & - 1 \end{array}$

Étape 4