Algèbre Exemples

$f (x) = \frac{a x + b}{c x + d}$

Étape 1

Écrivez $f (x) = \frac{a x + b}{c x + d}$ comme une équation.

$y = \frac{a x + b}{c x + d}$

Étape 2

Interchangez les variables.

$a = \frac{y x + b}{c x + d}$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{y x + b}{c x + d} = a$ .

$\frac{y x + b}{c x + d} = a$

Étape 3.2

Multipliez les deux côtés par $c x + d$ .

$\frac{y x + b}{c x + d} (c x + d) = a (c x + d)$

Étape 3.3

Simplifiez

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Étape 3.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.1.1

Simplifiez $\frac{y x + b}{c x + d} (c x + d)$ .

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Étape 3.3.1.1.1

Annulez le facteur commun de $c x + d$ .

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Étape 3.3.1.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y x + b}{c x + d} (c x + d) = a (c x + d)$

Étape 3.3.1.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$y x + b = a (c x + d)$

Étape 3.3.1.1.2

Remettez dans l’ordre $y$ et $x$ .

$x y + b = a (c x + d)$

Étape 3.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$x y + b = a c x + a d$

Étape 3.4

Résolvez $y$ .

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Étape 3.4.1

Soustrayez $b$ des deux côtés de l’équation.

$x y = a c x + a d - b$

Étape 3.4.2

Divisez chaque terme dans $x y = a c x + a d - b$ par $x$ et simplifiez.

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Étape 3.4.2.1

Divisez chaque terme dans $x y = a c x + a d - b$ par $x$ .

$\frac{x y}{x} = \frac{a c x}{x} + \frac{a d}{x} + \frac{- b}{x}$

Étape 3.4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.2.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x y}{x} = \frac{a c x}{x} + \frac{a d}{x} + \frac{- b}{x}$

Étape 3.4.2.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{a c x}{x} + \frac{a d}{x} + \frac{- b}{x}$

Étape 3.4.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.2.3.1.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.2.3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{a c x}{x} + \frac{a d}{x} + \frac{- b}{x}$

Étape 3.4.2.3.1.1.2

Divisez $a c$ par $1$ .

$y = a c + \frac{a d}{x} + \frac{- b}{x}$

Étape 3.4.2.3.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = a c + \frac{a d}{x} - \frac{b}{x}$

Étape 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (a)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (a) = a c + \frac{a d}{x} - \frac{b}{x}$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (a) = a c + \frac{a d}{x} - \frac{b}{x}$ est l’inverse de $f (a) = \frac{a x + b}{c x + d}$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (a)) = a$ et $f (f^{- 1} (a)) = a$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (a))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (a))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (\frac{a x + b}{c x + d})$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{a x + b}{c x + d}) = (\frac{a x + b}{c x + d}) \cdot c + (\frac{a x + b}{c x + d}) \cdot \frac{d}{x} - \frac{b}{x}$

Étape 5.2.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.3.1

Associez $\frac{a x + b}{c x + d}$ et $c$ .

$f^{- 1} (\frac{a x + b}{c x + d}) = \frac{(a x + b) c}{c x + d} + (\frac{a x + b}{c x + d}) \cdot \frac{d}{x} - \frac{b}{x}$

Étape 5.2.3.2

Multipliez $\frac{a x + b}{c x + d}$ par $\frac{d}{x}$ .

$f^{- 1} (\frac{a x + b}{c x + d}) = \frac{(a x + b) c}{c x + d} + \frac{(a x + b) d}{(c x + d) x} - \frac{b}{x}$

Étape 5.2.4

Pour écrire $\frac{(a x + b) c}{c x + d}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x}{x}$ .

$f^{- 1} (\frac{a x + b}{c x + d}) = \frac{(a x + b) c}{c x + d} \cdot \frac{x}{x} + \frac{(a x + b) d}{(c x + d) x} - \frac{b}{x}$

Étape 5.2.5

Simplifiez les termes.

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Étape 5.2.5.1

Multipliez $\frac{(a x + b) c}{c x + d}$ par $\frac{x}{x}$ .

$f^{- 1} (\frac{a x + b}{c x + d}) = \frac{(a x + b) c x}{(c x + d) x} + \frac{(a x + b) d}{(c x + d) x} - \frac{b}{x}$

Étape 5.2.5.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f^{- 1} (\frac{a x + b}{c x + d}) = \frac{(a x + b) c x + (a x + b) d}{(c x + d) x} - \frac{b}{x}$

Étape 5.2.6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.6.1

Factorisez $a x + b$ à partir de $(a x + b) c x + (a x + b) d$ .

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Étape 5.2.6.1.1

Factorisez $a x + b$ à partir de $(a x + b) c x$ .

$f^{- 1} (\frac{a x + b}{c x + d}) = \frac{(a x + b) (c x) + (a x + b) d}{(c x + d) x} - \frac{b}{x}$

Étape 5.2.6.1.2

Factorisez $a x + b$ à partir de $(a x + b) d$ .

$f^{- 1} (\frac{a x + b}{c x + d}) = \frac{(a x + b) (c x) + (a x + b) (d)}{(c x + d) x} - \frac{b}{x}$

Étape 5.2.6.1.3

Factorisez $a x + b$ à partir de $(a x + b) (c x) + (a x + b) (d)$ .

$f^{- 1} (\frac{a x + b}{c x + d}) = \frac{(a x + b) (c x + d)}{(c x + d) x} - \frac{b}{x}$

Étape 5.2.6.2

Annulez le facteur commun de $c x + d$ .

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Étape 5.2.6.2.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{a x + b}{c x + d}) = \frac{(a x + b) (c x + d)}{(c x + d) x} - \frac{b}{x}$

Étape 5.2.6.2.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\frac{a x + b}{c x + d}) = \frac{a x + b}{x} - \frac{b}{x}$

Étape 5.2.7

Simplifiez les termes.

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Étape 5.2.7.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f^{- 1} (\frac{a x + b}{c x + d}) = \frac{a x + b - b}{x}$

Étape 5.2.7.2

Associez les termes opposés dans $a x + b - b$ .

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Étape 5.2.7.2.1

Soustrayez $b$ de $b$ .

$f^{- 1} (\frac{a x + b}{c x + d}) = \frac{a x + 0}{x}$

Étape 5.2.7.2.2

Additionnez $a x$ et $0$ .

$f^{- 1} (\frac{a x + b}{c x + d}) = \frac{a x}{x}$

Étape 5.2.7.3

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 5.2.7.3.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{a x + b}{c x + d}) = \frac{a x}{x}$

Étape 5.2.7.3.2

Divisez $a$ par $1$ .

$f^{- 1} (\frac{a x + b}{c x + d}) = a$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (a))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (a))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (a c + \frac{a d}{x} - \frac{b}{x})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (a c + \frac{a d}{x} - \frac{b}{x}) = \frac{(a c + \frac{a d}{x} - \frac{b}{x}) \cdot x + b}{c x + d}$

Étape 5.3.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.3.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (a c + \frac{a d}{x} - \frac{b}{x}) = \frac{a c x + \frac{a d}{x} \cdot x - \frac{b}{x} \cdot x + b}{c x + d}$

Étape 5.3.3.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.3.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$f (a c + \frac{a d}{x} - \frac{b}{x}) = \frac{a c x + \frac{a d}{x} \cdot x - \frac{b}{x} \cdot x + b}{c x + d}$

Étape 5.3.3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$f (a c + \frac{a d}{x} - \frac{b}{x}) = \frac{a c x + a d - \frac{b}{x} \cdot x + b}{c x + d}$

Étape 5.3.3.2.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 5.3.3.2.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{b}{x}$ dans le numérateur.

$f (a c + \frac{a d}{x} - \frac{b}{x}) = \frac{a c x + a d + \frac{- b}{x} \cdot x + b}{c x + d}$

Étape 5.3.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (a c + \frac{a d}{x} - \frac{b}{x}) = \frac{a c x + a d + \frac{- b}{x} \cdot x + b}{c x + d}$

Étape 5.3.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (a c + \frac{a d}{x} - \frac{b}{x}) = \frac{a c x + a d - b + b}{c x + d}$

Étape 5.3.3.3

Additionnez $- b$ et $b$ .

$f (a c + \frac{a d}{x} - \frac{b}{x}) = \frac{a c x + a d + 0}{c x + d}$

Étape 5.3.3.4

Additionnez $a c x + a d$ et $0$ .

$f (a c + \frac{a d}{x} - \frac{b}{x}) = \frac{a c x + a d}{c x + d}$

Étape 5.3.3.5

Factorisez $a$ à partir de $a c x + a d$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.3.5.1

Factorisez $a$ à partir de $a c x$ .

$f (a c + \frac{a d}{x} - \frac{b}{x}) = \frac{a (c x) + a d}{c x + d}$

Étape 5.3.3.5.2

Factorisez $a$ à partir de $a d$ .

$f (a c + \frac{a d}{x} - \frac{b}{x}) = \frac{a (c x) + a (d)}{c x + d}$

Étape 5.3.3.5.3

Factorisez $a$ à partir de $a (c x) + a (d)$ .

$f (a c + \frac{a d}{x} - \frac{b}{x}) = \frac{a (c x + d)}{c x + d}$

Étape 5.3.4

Annulez le facteur commun de $c x + d$ .

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Étape 5.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (a c + \frac{a d}{x} - \frac{b}{x}) = \frac{a (c x + d)}{c x + d}$

Étape 5.3.4.2

Divisez $a$ par $1$ .

$f (a c + \frac{a d}{x} - \frac{b}{x}) = a$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (a)) = a$ et $f (f^{- 1} (a)) = a$ , $f^{- 1} (a) = a c + \frac{a d}{x} - \frac{b}{x}$ est l’inverse de $f (a) = \frac{a x + b}{c x + d}$ .

$f^{- 1} (a) = a c + \frac{a d}{x} - \frac{b}{x}$