Algèbre Exemples

$\frac{x^{3} - 8}{x^{2} + 3 x - 10} \div \frac{8 x - 40}{x^{2} - 25}$

Étape 1

Pour diviser par une fraction, multipliez par sa réciproque.

$\frac{x^{3} - 8}{x^{2} + 3 x - 10} \cdot \frac{x^{2} - 25}{8 x - 40}$

Étape 2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.1

Réécrivez $8$ comme $2^{3}$ .

$\frac{x^{3} - 2^{3}}{x^{2} + 3 x - 10} \cdot \frac{x^{2} - 25}{8 x - 40}$

Étape 2.2

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des cubes, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ où $a = x$ et $b = 2$ .

$\frac{(x - 2) (x^{2} + x \cdot 2 + 2^{2})}{x^{2} + 3 x - 10} \cdot \frac{x^{2} - 25}{8 x - 40}$

Étape 2.3

Simplifiez

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Étape 2.3.1

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$\frac{(x - 2) (x^{2} + 2 \cdot x + 2^{2})}{x^{2} + 3 x - 10} \cdot \frac{x^{2} - 25}{8 x - 40}$

Étape 2.3.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}{x^{2} + 3 x - 10} \cdot \frac{x^{2} - 25}{8 x - 40}$

Étape 3

Factorisez $x^{2} + 3 x - 10$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 3.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 10$ et dont la somme est $3$ .

$- 2, 5$

Étape 3.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}{(x - 2) (x + 5)} \cdot \frac{x^{2} - 25}{8 x - 40}$

Étape 4

Annulez le facteur commun de $x - 2$ .

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Étape 4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}{(x - 2) (x + 5)} \cdot \frac{x^{2} - 25}{8 x - 40}$

Étape 4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x^{2} + 2 x + 4}{x + 5} \cdot \frac{x^{2} - 25}{8 x - 40}$

Étape 5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$\frac{x^{2} + 2 x + 4}{x + 5} \cdot \frac{x^{2} - 5^{2}}{8 x - 40}$

Étape 5.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 5$ .

$\frac{x^{2} + 2 x + 4}{x + 5} \cdot \frac{(x + 5) (x - 5)}{8 x - 40}$

Étape 6

Simplifiez les termes.

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Étape 6.1

Factorisez $8$ à partir de $8 x - 40$ .

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Étape 6.1.1

Factorisez $8$ à partir de $8 x$ .

$\frac{x^{2} + 2 x + 4}{x + 5} \cdot \frac{(x + 5) (x - 5)}{8 (x) - 40}$

Étape 6.1.2

Factorisez $8$ à partir de $- 40$ .

$\frac{x^{2} + 2 x + 4}{x + 5} \cdot \frac{(x + 5) (x - 5)}{8 x + 8 \cdot - 5}$

Étape 6.1.3

Factorisez $8$ à partir de $8 x + 8 \cdot - 5$ .

$\frac{x^{2} + 2 x + 4}{x + 5} \cdot \frac{(x + 5) (x - 5)}{8 (x - 5)}$

Étape 6.2

Annulez le facteur commun de $x + 5$ .

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Étape 6.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{2} + 2 x + 4}{x + 5} \cdot \frac{(x + 5) (x - 5)}{8 (x - 5)}$

Étape 6.2.2

Réécrivez l’expression.

$(x^{2} + 2 x + 4) \frac{x - 5}{8 (x - 5)}$

Étape 6.3

Annulez le facteur commun de $x - 5$ .

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Étape 6.3.1

Annulez le facteur commun.

$(x^{2} + 2 x + 4) \frac{x - 5}{8 (x - 5)}$

Étape 6.3.2

Réécrivez l’expression.

$(x^{2} + 2 x + 4) \frac{1}{8}$

Étape 6.4

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} \frac{1}{8} + 2 x \frac{1}{8} + 4 (\frac{1}{8})$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Associez $x^{2}$ et $\frac{1}{8}$ .

$\frac{x^{2}}{8} + 2 x \frac{1}{8} + 4 (\frac{1}{8})$

Étape 7.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$\frac{x^{2}}{8} + 2 (x) \frac{1}{8} + 4 (\frac{1}{8})$

Étape 7.2.2

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$\frac{x^{2}}{8} + 2 (x) \frac{1}{2 (4)} + 4 (\frac{1}{8})$

Étape 7.2.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{2}}{8} + 2 x \frac{1}{2 \cdot 4} + 4 (\frac{1}{8})$

Étape 7.2.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{x^{2}}{8} + x \frac{1}{4} + 4 (\frac{1}{8})$

Étape 7.3

Associez $x$ et $\frac{1}{4}$ .

$\frac{x^{2}}{8} + \frac{x}{4} + 4 (\frac{1}{8})$

Étape 7.4

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 7.4.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$\frac{x^{2}}{8} + \frac{x}{4} + 4 \frac{1}{4 (2)}$

Étape 7.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{2}}{8} + \frac{x}{4} + 4 \frac{1}{4 \cdot 2}$

Étape 7.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{x^{2}}{8} + \frac{x}{4} + \frac{1}{2}$

Étape 8

Pour écrire $\frac{x}{4}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{2}}{8} + \frac{x}{4} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}$

Étape 9

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $8$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 9.1

Multipliez $\frac{x}{4}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{2}}{8} + \frac{x \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{1}{2}$

Étape 9.2

Multipliez $4$ par $2$ .

$\frac{x^{2}}{8} + \frac{x \cdot 2}{8} + \frac{1}{2}$

Étape 10

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x^{2} + x \cdot 2}{8} + \frac{1}{2}$

Étape 11

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} + x \cdot 2$ .

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Étape 11.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$\frac{x \cdot x + x \cdot 2}{8} + \frac{1}{2}$

Étape 11.2

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot 2$ .

$\frac{x \cdot x + x (2)}{8} + \frac{1}{2}$

Étape 11.3

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x + x (2)$ .

$\frac{x (x + 2)}{8} + \frac{1}{2}$

Étape 12

Pour écrire $\frac{1}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{x (x + 2)}{8} + \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{4}$

Étape 13

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $8$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 13.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{x (x + 2)}{8} + \frac{4}{2 \cdot 4}$

Étape 13.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$\frac{x (x + 2)}{8} + \frac{4}{8}$

Étape 14

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x (x + 2) + 4}{8}$

Étape 15

Simplifiez le numérateur.

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Étape 15.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x \cdot x + x \cdot 2 + 4}{8}$

Étape 15.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{x^{2} + x \cdot 2 + 4}{8}$

Étape 15.3

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$\frac{x^{2} + 2 x + 4}{8}$