Algèbre Exemples

$7^{x - 3} = 4 \cdot 5^{\frac{x}{2}}$

Étape 1

Prenez le logarithme des deux côtés de l’équation.

$\ln (7^{x - 3}) = \ln (4 \cdot 5^{\frac{x}{2}})$

Étape 2

Développez $\ln (7^{x - 3})$ en déplaçant $x - 3$ hors du logarithme.

$(x - 3) \ln (7) = \ln (4 \cdot 5^{\frac{x}{2}})$

Étape 3

Réécrivez $\ln (4 \cdot 5^{\frac{x}{2}})$ comme $\ln (4) + \ln (5^{\frac{x}{2}})$ .

$(x - 3) \ln (7) = \ln (4) + \ln (5^{\frac{x}{2}})$

Étape 4

Développez $\ln (5^{\frac{x}{2}})$ en déplaçant $\frac{x}{2}$ hors du logarithme.

$(x - 3) \ln (7) = \ln (4) + \frac{x}{2} \ln (5)$

Étape 5

Associez $\frac{x}{2}$ et $\ln (5)$ .

$(x - 3) \ln (7) = \ln (4) + \frac{x \ln (5)}{2}$

Étape 6

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 6.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.1.1

Simplifiez $(x - 3) \ln (7)$ .

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Étape 6.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$x \ln (7) - 3 \ln (7) = \ln (4) + \frac{x \ln (5)}{2}$

Étape 6.1.1.2

Simplifiez $- 3 \ln (7)$ en déplaçant $3$ dans le logarithme.

$x \ln (7) - \ln (7^{3}) = \ln (4) + \frac{x \ln (5)}{2}$

Étape 6.1.1.3

Élevez $7$ à la puissance $3$ .

$x \ln (7) - \ln (343) = \ln (4) + \frac{x \ln (5)}{2}$

Étape 6.2

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$x \ln (7) - \ln (343) - \ln (4) - \frac{x \ln (5)}{2} = 0$

Étape 6.3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 6.3.1

Ajoutez $\ln (343)$ aux deux côtés de l’équation.

$x \ln (7) - \ln (4) - \frac{x \ln (5)}{2} = \ln (343)$

Étape 6.3.2

Ajoutez $\ln (4)$ aux deux côtés de l’équation.

$x \ln (7) - \frac{x \ln (5)}{2} = \ln (343) + \ln (4)$

Étape 6.4

Factorisez $x$ à partir de $x \ln (7) - \frac{x \ln (5)}{2}$ .

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Étape 6.4.1

Factorisez $x$ à partir de $x \ln (7)$ .

$x (\ln (7)) - \frac{x \ln (5)}{2} = \ln (343) + \ln (4)$

Étape 6.4.2

Factorisez $x$ à partir de $- \frac{x \ln (5)}{2}$ .

$x (\ln (7)) + x (- \frac{\ln (5)}{2}) = \ln (343) + \ln (4)$

Étape 6.4.3

Factorisez $x$ à partir de $x (\ln (7)) + x (- \frac{\ln (5)}{2})$ .

$x (\ln (7) - \frac{\ln (5)}{2}) = \ln (343) + \ln (4)$

Étape 6.5

Divisez chaque terme dans $x (\ln (7) - \frac{\ln (5)}{2}) = \ln (343) + \ln (4)$ par $\ln (7) - \frac{\ln (5)}{2}$ et simplifiez.

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Étape 6.5.1

Divisez chaque terme dans $x (\ln (7) - \frac{\ln (5)}{2}) = \ln (343) + \ln (4)$ par $\ln (7) - \frac{\ln (5)}{2}$ .

$\frac{x (\ln (7) - \frac{\ln (5)}{2})}{\ln (7) - \frac{\ln (5)}{2}} = \frac{\ln (343)}{\ln (7) - \frac{\ln (5)}{2}} + \frac{\ln (4)}{\ln (7) - \frac{\ln (5)}{2}}$

Étape 6.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.5.2.1

Annulez le facteur commun de $\ln (7) - \frac{\ln (5)}{2}$ .

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Étape 6.5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x (\ln (7) - \frac{\ln (5)}{2})}{\ln (7) - \frac{\ln (5)}{2}} = \frac{\ln (343)}{\ln (7) - \frac{\ln (5)}{2}} + \frac{\ln (4)}{\ln (7) - \frac{\ln (5)}{2}}$

Étape 6.5.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{\ln (343)}{\ln (7) - \frac{\ln (5)}{2}} + \frac{\ln (4)}{\ln (7) - \frac{\ln (5)}{2}}$

Étape 6.5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.5.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.5.3.1.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.5.3.1.1.1

Pour écrire $\ln (7)$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{\ln (343)}{\ln (7) \cdot \frac{2}{2} - \frac{\ln (5)}{2}} + \frac{\ln (4)}{\ln (7) - \frac{\ln (5)}{2}}$

Étape 6.5.3.1.1.2

Associez $\ln (7)$ et $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{\ln (343)}{\frac{\ln (7) \cdot 2}{2} - \frac{\ln (5)}{2}} + \frac{\ln (4)}{\ln (7) - \frac{\ln (5)}{2}}$

Étape 6.5.3.1.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{\ln (343)}{\frac{\ln (7) \cdot 2 - \ln (5)}{2}} + \frac{\ln (4)}{\ln (7) - \frac{\ln (5)}{2}}$

Étape 6.5.3.1.1.4

Déplacez $2$ à gauche de $\ln (7)$ .

$x = \frac{\ln (343)}{\frac{2 \ln (7) - \ln (5)}{2}} + \frac{\ln (4)}{\ln (7) - \frac{\ln (5)}{2}}$

Étape 6.5.3.1.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x = \ln (343) \frac{2}{2 \ln (7) - \ln (5)} + \frac{\ln (4)}{\ln (7) - \frac{\ln (5)}{2}}$

Étape 6.5.3.1.3

Associez $\ln (343)$ et $\frac{2}{2 \ln (7) - \ln (5)}$ .

$x = \frac{\ln (343) \cdot 2}{2 \ln (7) - \ln (5)} + \frac{\ln (4)}{\ln (7) - \frac{\ln (5)}{2}}$

Étape 6.5.3.1.4

Déplacez $2$ à gauche de $\ln (343)$ .

$x = \frac{2 \cdot \ln (343)}{2 \ln (7) - \ln (5)} + \frac{\ln (4)}{\ln (7) - \frac{\ln (5)}{2}}$

Étape 6.5.3.1.5

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.5.3.1.5.1

Pour écrire $\ln (7)$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 \ln (343)}{2 \ln (7) - \ln (5)} + \frac{\ln (4)}{\ln (7) \cdot \frac{2}{2} - \frac{\ln (5)}{2}}$

Étape 6.5.3.1.5.2

Associez $\ln (7)$ et $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 \ln (343)}{2 \ln (7) - \ln (5)} + \frac{\ln (4)}{\frac{\ln (7) \cdot 2}{2} - \frac{\ln (5)}{2}}$

Étape 6.5.3.1.5.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{2 \ln (343)}{2 \ln (7) - \ln (5)} + \frac{\ln (4)}{\frac{\ln (7) \cdot 2 - \ln (5)}{2}}$

Étape 6.5.3.1.5.4

Déplacez $2$ à gauche de $\ln (7)$ .

$x = \frac{2 \ln (343)}{2 \ln (7) - \ln (5)} + \frac{\ln (4)}{\frac{2 \ln (7) - \ln (5)}{2}}$

Étape 6.5.3.1.6

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x = \frac{2 \ln (343)}{2 \ln (7) - \ln (5)} + \ln (4) \frac{2}{2 \ln (7) - \ln (5)}$

Étape 6.5.3.1.7

Associez $\ln (4)$ et $\frac{2}{2 \ln (7) - \ln (5)}$ .

$x = \frac{2 \ln (343)}{2 \ln (7) - \ln (5)} + \frac{\ln (4) \cdot 2}{2 \ln (7) - \ln (5)}$

Étape 6.5.3.1.8

Déplacez $2$ à gauche de $\ln (4)$ .

$x = \frac{2 \ln (343)}{2 \ln (7) - \ln (5)} + \frac{2 \ln (4)}{2 \ln (7) - \ln (5)}$

Étape 6.5.3.2

Simplifiez les termes.

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Étape 6.5.3.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{2 \ln (343) + 2 \ln (4)}{2 \ln (7) - \ln (5)}$

Étape 6.5.3.2.2

Factorisez $2$ à partir de $2 \ln (343) + 2 \ln (4)$ .

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Étape 6.5.3.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \ln (343)$ .

$x = \frac{2 \ln (343) + 2 \ln (4)}{2 \ln (7) - \ln (5)}$

Étape 6.5.3.2.2.2

Factorisez $2$ à partir de $2 \ln (4)$ .

$x = \frac{2 \ln (343) + 2 \ln (4)}{2 \ln (7) - \ln (5)}$

Étape 6.5.3.2.2.3

Factorisez $2$ à partir de $2 \ln (343) + 2 \ln (4)$ .

$x = \frac{2 (\ln (343) + \ln (4))}{2 \ln (7) - \ln (5)}$

Étape 7

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = \frac{2 (\ln (343) + \ln (4))}{2 \ln (7) - \ln (5)}$

Forme décimale :

$x = 6.33024935 \dots$