Algèbre Exemples

$8 < x (7 - x)$

Étape 1

Réécrivez de sorte que $x$ soit du côté gauche de l’inégalité.

$x (7 - x) > 8$

Étape 2

Simplifiez $x (7 - x)$ .

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Étape 2.1

Simplifiez en multipliant.

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Étape 2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$x \cdot 7 + x (- x) > 8$

Étape 2.1.2

Remettez dans l’ordre.

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Étape 2.1.2.1

Déplacez $7$ à gauche de $x$ .

$7 \cdot x + x (- x) > 8$

Étape 2.1.2.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$7 \cdot x - x \cdot x > 8$

Étape 2.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.2.1

Déplacez $x$ .

$7 x - (x \cdot x) > 8$

Étape 2.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$7 x - x^{2} > 8$

Étape 3

Soustrayez $8$ des deux côtés de l’inégalité.

$7 x - x^{2} - 8 > 0$

Étape 4

Convertissez l’inégalité en une équation.

$7 x - x^{2} - 8 = 0$

Étape 5

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 6

Remplacez les valeurs $a = - 1$ , $b = 7$ et $c = - 8$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot - 8)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.1.1

Élevez $7$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot - 1 \cdot - 8}}{2 \cdot - 1}$

Étape 7.1.2

Multipliez $- 4 \cdot - 1 \cdot - 8$ .

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Étape 7.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 4 \cdot - 8}}{2 \cdot - 1}$

Étape 7.1.2.2

Multipliez $4$ par $- 8$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 32}}{2 \cdot - 1}$

Étape 7.1.3

Soustrayez $32$ de $49$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{17}}{2 \cdot - 1}$

Étape 7.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{17}}{- 2}$

Étape 7.3

Simplifiez $\frac{- 7 \pm \sqrt{17}}{- 2}$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{17}}{2}$

Étape 8

Consolidez les solutions.

$x = \frac{7 + \sqrt{17}}{2}, \frac{7 - \sqrt{17}}{2}$

Étape 9

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < \frac{7 - \sqrt{17}}{2}$

$\frac{7 - \sqrt{17}}{2} < x < \frac{7 + \sqrt{17}}{2}$

$x > \frac{7 + \sqrt{17}}{2}$

Étape 10

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 10.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < \frac{7 - \sqrt{17}}{2}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 10.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < \frac{7 - \sqrt{17}}{2}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 10.1.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$8 < (0) (7 - (0))$

Étape 10.1.3

Le côté gauche $8$ n’est pas inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 10.2

Testez une valeur sur l’intervalle $\frac{7 - \sqrt{17}}{2} < x < \frac{7 + \sqrt{17}}{2}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 10.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $\frac{7 - \sqrt{17}}{2} < x < \frac{7 + \sqrt{17}}{2}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 4$

Étape 10.2.2

Remplacez $x$ par $4$ dans l’inégalité d’origine.

$8 < (4) (7 - (4))$

Étape 10.2.3

Le côté gauche $8$ est inférieur au côté droit $12$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 10.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > \frac{7 + \sqrt{17}}{2}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 10.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > \frac{7 + \sqrt{17}}{2}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 8$

Étape 10.3.2

Remplacez $x$ par $8$ dans l’inégalité d’origine.

$8 < (8) (7 - (8))$

Étape 10.3.3

Le côté gauche $8$ n’est pas inférieur au côté droit $- 8$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 10.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < \frac{7 - \sqrt{17}}{2}$ Faux

$\frac{7 - \sqrt{17}}{2} < x < \frac{7 + \sqrt{17}}{2}$ Vrai

$x > \frac{7 + \sqrt{17}}{2}$ Faux

$x < \frac{7 - \sqrt{17}}{2}$ Faux

$\frac{7 - \sqrt{17}}{2} < x < \frac{7 + \sqrt{17}}{2}$ Vrai

$x > \frac{7 + \sqrt{17}}{2}$ Faux

Étape 11

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$\frac{7 - \sqrt{17}}{2} < x < \frac{7 + \sqrt{17}}{2}$

Étape 12

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$\frac{7 - \sqrt{17}}{2} < x < \frac{7 + \sqrt{17}}{2}$

Notation d’intervalle :

$(\frac{7 - \sqrt{17}}{2}, \frac{7 + \sqrt{17}}{2})$

Étape 13