Algèbre Exemples

$\frac{2 y^{2} - 6 y - 20}{4 y + 12} \div \frac{y^{2} + 5 y + 6}{3 y^{2} + 18 y + 27}$

Étape 1

Pour diviser par une fraction, multipliez par sa réciproque.

$\frac{2 y^{2} - 6 y - 20}{4 y + 12} \cdot \frac{3 y^{2} + 18 y + 27}{y^{2} + 5 y + 6}$

Étape 2

Annulez le facteur commun à $2 y^{2} - 6 y - 20$ et $4 y + 12$ .

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Étape 2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 y^{2}$ .

$\frac{2 (y^{2}) - 6 y - 20}{4 y + 12} \cdot \frac{3 y^{2} + 18 y + 27}{y^{2} + 5 y + 6}$

Étape 2.2

Factorisez $2$ à partir de $- 6 y$ .

$\frac{2 (y^{2}) + 2 (- 3 y) - 20}{4 y + 12} \cdot \frac{3 y^{2} + 18 y + 27}{y^{2} + 5 y + 6}$

Étape 2.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (y^{2}) + 2 (- 3 y)$ .

$\frac{2 (y^{2} - 3 y) - 20}{4 y + 12} \cdot \frac{3 y^{2} + 18 y + 27}{y^{2} + 5 y + 6}$

Étape 2.4

Factorisez $2$ à partir de $- 20$ .

$\frac{2 (y^{2} - 3 y) + 2 \cdot - 10}{4 y + 12} \cdot \frac{3 y^{2} + 18 y + 27}{y^{2} + 5 y + 6}$

Étape 2.5

Factorisez $2$ à partir de $2 (y^{2} - 3 y) + 2 \cdot - 10$ .

$\frac{2 (y^{2} - 3 y - 10)}{4 y + 12} \cdot \frac{3 y^{2} + 18 y + 27}{y^{2} + 5 y + 6}$

Étape 2.6

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.6.1

Factorisez $2$ à partir de $4 y$ .

$\frac{2 (y^{2} - 3 y - 10)}{2 (2 y) + 12} \cdot \frac{3 y^{2} + 18 y + 27}{y^{2} + 5 y + 6}$

Étape 2.6.2

Factorisez $2$ à partir de $12$ .

$\frac{2 (y^{2} - 3 y - 10)}{2 (2 y) + 2 (6)} \cdot \frac{3 y^{2} + 18 y + 27}{y^{2} + 5 y + 6}$

Étape 2.6.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (2 y) + 2 (6)$ .

$\frac{2 (y^{2} - 3 y - 10)}{2 (2 y + 6)} \cdot \frac{3 y^{2} + 18 y + 27}{y^{2} + 5 y + 6}$

Étape 2.6.4

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (y^{2} - 3 y - 10)}{2 (2 y + 6)} \cdot \frac{3 y^{2} + 18 y + 27}{y^{2} + 5 y + 6}$

Étape 2.6.5

Réécrivez l’expression.

$\frac{y^{2} - 3 y - 10}{2 y + 6} \cdot \frac{3 y^{2} + 18 y + 27}{y^{2} + 5 y + 6}$

Étape 3

Factorisez $y^{2} - 3 y - 10$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 3.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 10$ et dont la somme est $- 3$ .

$- 5, 2$

Étape 3.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(y - 5) (y + 2)}{2 y + 6} \cdot \frac{3 y^{2} + 18 y + 27}{y^{2} + 5 y + 6}$

Étape 4

Factorisez $2$ à partir de $2 y + 6$ .

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Étape 4.1

Factorisez $2$ à partir de $2 y$ .

$\frac{(y - 5) (y + 2)}{2 (y) + 6} \cdot \frac{3 y^{2} + 18 y + 27}{y^{2} + 5 y + 6}$

Étape 4.2

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$\frac{(y - 5) (y + 2)}{2 y + 2 \cdot 3} \cdot \frac{3 y^{2} + 18 y + 27}{y^{2} + 5 y + 6}$

Étape 4.3

Factorisez $2$ à partir de $2 y + 2 \cdot 3$ .

$\frac{(y - 5) (y + 2)}{2 (y + 3)} \cdot \frac{3 y^{2} + 18 y + 27}{y^{2} + 5 y + 6}$

Étape 5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1

Factorisez $3$ à partir de $3 y^{2} + 18 y + 27$ .

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Étape 5.1.1

Factorisez $3$ à partir de $3 y^{2}$ .

$\frac{(y - 5) (y + 2)}{2 (y + 3)} \cdot \frac{3 (y^{2}) + 18 y + 27}{y^{2} + 5 y + 6}$

Étape 5.1.2

Factorisez $3$ à partir de $18 y$ .

$\frac{(y - 5) (y + 2)}{2 (y + 3)} \cdot \frac{3 (y^{2}) + 3 (6 y) + 27}{y^{2} + 5 y + 6}$

Étape 5.1.3

Factorisez $3$ à partir de $27$ .

$\frac{(y - 5) (y + 2)}{2 (y + 3)} \cdot \frac{3 y^{2} + 3 (6 y) + 3 \cdot 9}{y^{2} + 5 y + 6}$

Étape 5.1.4

Factorisez $3$ à partir de $3 y^{2} + 3 (6 y)$ .

$\frac{(y - 5) (y + 2)}{2 (y + 3)} \cdot \frac{3 (y^{2} + 6 y) + 3 \cdot 9}{y^{2} + 5 y + 6}$

Étape 5.1.5

Factorisez $3$ à partir de $3 (y^{2} + 6 y) + 3 \cdot 9$ .

$\frac{(y - 5) (y + 2)}{2 (y + 3)} \cdot \frac{3 (y^{2} + 6 y + 9)}{y^{2} + 5 y + 6}$

Étape 5.2

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 5.2.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{(y - 5) (y + 2)}{2 (y + 3)} \cdot \frac{3 (y^{2} + 6 y + 3^{2})}{y^{2} + 5 y + 6}$

Étape 5.2.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$6 y = 2 \cdot y \cdot 3$

Étape 5.2.3

Réécrivez le polynôme.

$\frac{(y - 5) (y + 2)}{2 (y + 3)} \cdot \frac{3 (y^{2} + 2 \cdot y \cdot 3 + 3^{2})}{y^{2} + 5 y + 6}$

Étape 5.2.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , où $a = y$ et $b = 3$ .

$\frac{(y - 5) (y + 2)}{2 (y + 3)} \cdot \frac{3 {(y + 3)}^{2}}{y^{2} + 5 y + 6}$

Étape 6

Factorisez $y^{2} + 5 y + 6$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 6.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $6$ et dont la somme est $5$ .

$2, 3$

Étape 6.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(y - 5) (y + 2)}{2 (y + 3)} \cdot \frac{3 {(y + 3)}^{2}}{(y + 2) (y + 3)}$

Étape 7

Associez.

$\frac{(y - 5) (y + 2) (3 {(y + 3)}^{2})}{2 (y + 3) ((y + 2) (y + 3))}$

Étape 8

Annulez le facteur commun de $y + 2$ .

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Étape 8.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(y - 5) (y + 2) (3 {(y + 3)}^{2})}{2 (y + 3) ((y + 2) (y + 3))}$

Étape 8.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{(y - 5) (3 {(y + 3)}^{2})}{2 (y + 3) (y + 3)}$

Étape 9

Annulez le facteur commun à ${(y + 3)}^{2}$ et $y + 3$ .

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Étape 9.1

Factorisez $y + 3$ à partir de $(y - 5) (3 {(y + 3)}^{2})$ .

$\frac{(y + 3) ((y - 5) (3 (y + 3)))}{2 (y + 3) (y + 3)}$

Étape 9.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.2.1

Factorisez $y + 3$ à partir de $2 (y + 3) (y + 3)$ .

$\frac{(y + 3) ((y - 5) (3 (y + 3)))}{(y + 3) (2 (y + 3))}$

Étape 9.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{(y + 3) ((y - 5) (3 (y + 3)))}{(y + 3) (2 (y + 3))}$

Étape 9.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{(y - 5) (3 (y + 3))}{2 (y + 3)}$

Étape 10

Annulez le facteur commun de $y + 3$ .

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Étape 10.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(y - 5) (3 (y + 3))}{2 (y + 3)}$

Étape 10.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{(y - 5) \cdot (3)}{2}$

Étape 11

Déplacez $3$ à gauche de $y - 5$ .

$\frac{3 (y - 5)}{2}$

Étape 12

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 y + 3 \cdot - 5}{2}$

Étape 13

Multipliez $3$ par $- 5$ .

$\frac{3 y - 15}{2}$

Étape 14

Divisez la fraction $\frac{3 y - 15}{2}$ en deux fractions.

$\frac{3 y}{2} + \frac{- 15}{2}$

Étape 15

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{3 y}{2} - \frac{15}{2}$