Algèbre Exemples

$\frac{\sin (t)}{1 - \cos (t)} - \csc (t)$

Étape 1

Réécrivez $\csc (t)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\sin (t)}{1 - \cos (t)} - \frac{1}{\sin (t)}$

Étape 2

Pour écrire $\frac{\sin (t)}{1 - \cos (t)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{\sin (t)}{\sin (t)}$ .

$\frac{\sin (t)}{1 - \cos (t)} \cdot \frac{\sin (t)}{\sin (t)} - \frac{1}{\sin (t)}$

Étape 3

Pour écrire $- \frac{1}{\sin (t)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{1 - \cos (t)}{1 - \cos (t)}$ .

$\frac{\sin (t)}{1 - \cos (t)} \cdot \frac{\sin (t)}{\sin (t)} - \frac{1}{\sin (t)} \cdot \frac{1 - \cos (t)}{1 - \cos (t)}$

Étape 4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(1 - \cos (t)) \sin (t)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Multipliez $\frac{\sin (t)}{1 - \cos (t)}$ par $\frac{\sin (t)}{\sin (t)}$ .

$\frac{\sin (t) \sin (t)}{(1 - \cos (t)) \sin (t)} - \frac{1}{\sin (t)} \cdot \frac{1 - \cos (t)}{1 - \cos (t)}$

Étape 4.2

Multipliez $\frac{1}{\sin (t)}$ par $\frac{1 - \cos (t)}{1 - \cos (t)}$ .

$\frac{\sin (t) \sin (t)}{(1 - \cos (t)) \sin (t)} - \frac{1 - \cos (t)}{\sin (t) (1 - \cos (t))}$

Étape 4.3

Réorganisez les facteurs de $(1 - \cos (t)) \sin (t)$ .

$\frac{\sin (t) \sin (t)}{\sin (t) (1 - \cos (t))} - \frac{1 - \cos (t)}{\sin (t) (1 - \cos (t))}$

Étape 5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\sin (t) \sin (t) - (1 - \cos (t))}{\sin (t) (1 - \cos (t))}$

Étape 6

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Multipliez $\sin (t) \sin (t)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.1

Élevez $\sin (t)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sin^{1} (t) \sin (t) - (1 - \cos (t))}{\sin (t) (1 - \cos (t))}$

Étape 6.1.2

Élevez $\sin (t)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sin^{1} (t) \sin^{1} (t) - (1 - \cos (t))}{\sin (t) (1 - \cos (t))}$

Étape 6.1.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{{\sin (t)}^{1 + 1} - (1 - \cos (t))}{\sin (t) (1 - \cos (t))}$

Étape 6.1.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\sin^{2} (t) - (1 - \cos (t))}{\sin (t) (1 - \cos (t))}$

Étape 6.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sin^{2} (t) - 1 \cdot 1 - - \cos (t)}{\sin (t) (1 - \cos (t))}$

Étape 6.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{\sin^{2} (t) - 1 - - \cos (t)}{\sin (t) (1 - \cos (t))}$

Étape 6.4

Multipliez $- - \cos (t)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{\sin^{2} (t) - 1 + 1 \cos (t)}{\sin (t) (1 - \cos (t))}$

Étape 6.4.2

Multipliez $\cos (t)$ par $1$ .

$\frac{\sin^{2} (t) - 1 + \cos (t)}{\sin (t) (1 - \cos (t))}$

Étape 6.5

Remettez dans l’ordre $\sin^{2} (t)$ et $- 1$ .

$\frac{- 1 + \sin^{2} (t) + \cos (t)}{\sin (t) (1 - \cos (t))}$

Étape 6.6

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$\frac{- 1 (1) + \sin^{2} (t) + \cos (t)}{\sin (t) (1 - \cos (t))}$

Étape 6.7

Factorisez $- 1$ à partir de $\sin^{2} (t)$ .

$\frac{- 1 (1) - 1 (- \sin^{2} (t)) + \cos (t)}{\sin (t) (1 - \cos (t))}$

Étape 6.8

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (1) - 1 (- \sin^{2} (t))$ .

$\frac{- 1 (1 - \sin^{2} (t)) + \cos (t)}{\sin (t) (1 - \cos (t))}$

Étape 6.9

Réécrivez $- 1 (1 - \sin^{2} (t))$ comme $- (1 - \sin^{2} (t))$ .

$\frac{- (1 - \sin^{2} (t)) + \cos (t)}{\sin (t) (1 - \cos (t))}$

Étape 6.10

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\frac{- \cos^{2} (t) + \cos (t)}{\sin (t) (1 - \cos (t))}$

Étape 6.11

Factorisez $\cos (t)$ à partir de $- \cos^{2} (t) + \cos (t)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.11.1

Factorisez $\cos (t)$ à partir de $- \cos^{2} (t)$ .

$\frac{\cos (t) (- \cos (t)) + \cos (t)}{\sin (t) (1 - \cos (t))}$

Étape 6.11.2

Multipliez par $1$ .

$\frac{\cos (t) (- \cos (t)) + \cos (t) \cdot 1}{\sin (t) (1 - \cos (t))}$

Étape 6.11.3

Factorisez $\cos (t)$ à partir de $\cos (t) (- \cos (t)) + \cos (t) \cdot 1$ .

$\frac{\cos (t) (- \cos (t) + 1)}{\sin (t) (1 - \cos (t))}$

Étape 7

Annulez le facteur commun à $- \cos (t) + 1$ et $1 - \cos (t)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{\cos (t) (1 - \cos (t))}{\sin (t) (1 - \cos (t))}$

Étape 7.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{\cos (t) (1 - \cos (t))}{\sin (t) (1 - \cos (t))}$

Étape 7.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\cos (t)}{\sin (t)}$

Étape 8

Convertissez de $\frac{\cos (t)}{\sin (t)}$ à $\cot (t)$ .

$\cot (t)$