Algèbre Exemples

${(\frac{2}{3})}^{5 x + 2} = {(\frac{3}{2})}^{2 x}$

Étape 1

Prenez le logarithme des deux côtés de l’équation.

$\ln ({(\frac{2}{3})}^{5 x + 2}) = \ln ({(\frac{3}{2})}^{2 x})$

Étape 2

Développez $\ln ({(\frac{2}{3})}^{5 x + 2})$ en déplaçant $5 x + 2$ hors du logarithme.

$(5 x + 2) \ln (\frac{2}{3}) = \ln ({(\frac{3}{2})}^{2 x})$

Étape 3

Réécrivez $\ln (\frac{2}{3})$ comme $\ln (2) - \ln (3)$ .

$(5 x + 2) (\ln (2) - \ln (3)) = \ln ({(\frac{3}{2})}^{2 x})$

Étape 4

Développez $\ln ({(\frac{3}{2})}^{2 x})$ en déplaçant $2 x$ hors du logarithme.

$(5 x + 2) (\ln (2) - \ln (3)) = 2 x \ln (\frac{3}{2})$

Étape 5

Réécrivez $\ln (\frac{3}{2})$ comme $\ln (3) - \ln (2)$ .

$(5 x + 2) (\ln (2) - \ln (3)) = 2 x (\ln (3) - \ln (2))$

Étape 6

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 6.1

Simplifiez $(5 x + 2) (\ln (2) - \ln (3))$ .

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Étape 6.1.1

Réécrivez.

$0 + 0 + (5 x + 2) (\ln (2) - \ln (3)) = 2 x (\ln (3) - \ln (2))$

Étape 6.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$(5 x + 2) (\ln (2) - \ln (3)) = 2 x (\ln (3) - \ln (2))$

Étape 6.1.3

Développez $(5 x + 2) (\ln (2) - \ln (3))$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 6.1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$5 x (\ln (2) - \ln (3)) + 2 (\ln (2) - \ln (3)) = 2 x (\ln (3) - \ln (2))$

Étape 6.1.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$5 x \ln (2) + 5 x (- \ln (3)) + 2 (\ln (2) - \ln (3)) = 2 x (\ln (3) - \ln (2))$

Étape 6.1.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$5 x \ln (2) + 5 x (- \ln (3)) + 2 \ln (2) + 2 (- \ln (3)) = 2 x (\ln (3) - \ln (2))$

Étape 6.1.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.1.4.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$5 x \ln (2) + 5 \cdot - 1 x \ln (3) + 2 \ln (2) + 2 (- \ln (3)) = 2 x (\ln (3) - \ln (2))$

Étape 6.1.4.2

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$5 x \ln (2) - 5 x \ln (3) + 2 \ln (2) + 2 (- \ln (3)) = 2 x (\ln (3) - \ln (2))$

Étape 6.1.4.3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$5 x \ln (2) - 5 x \ln (3) + 2 \ln (2) - 2 \ln (3) = 2 x (\ln (3) - \ln (2))$

Étape 6.2

Simplifiez $2 x (\ln (3) - \ln (2))$ .

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Étape 6.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$5 x \ln (2) - 5 x \ln (3) + 2 \ln (2) - 2 \ln (3) = 2 x \ln (3) + 2 x (- \ln (2))$

Étape 6.2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.2.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$5 x \ln (2) - 5 x \ln (3) + 2 \ln (2) - 2 \ln (3) = 2 x \ln (3) + 2 \cdot - 1 x \ln (2)$

Étape 6.2.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$5 x \ln (2) - 5 x \ln (3) + 2 \ln (2) - 2 \ln (3) = 2 x \ln (3) - 2 x \ln (2)$

Étape 6.3

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 6.3.1

Soustrayez $2 x \ln (3)$ des deux côtés de l’équation.

$5 x \ln (2) - 5 x \ln (3) + 2 \ln (2) - 2 \ln (3) - 2 x \ln (3) = - 2 x \ln (2)$

Étape 6.3.2

Ajoutez $2 x \ln (2)$ aux deux côtés de l’équation.

$5 x \ln (2) - 5 x \ln (3) + 2 \ln (2) - 2 \ln (3) - 2 x \ln (3) + 2 x \ln (2) = 0$

Étape 6.3.3

Additionnez $5 x \ln (2)$ et $2 x \ln (2)$ .

$- 5 x \ln (3) + 2 \ln (2) - 2 \ln (3) - 2 x \ln (3) + 7 x \ln (2) = 0$

Étape 6.3.4

Soustrayez $2 x \ln (3)$ de $- 5 x \ln (3)$ .

$2 \ln (2) - 2 \ln (3) - 7 x \ln (3) + 7 x \ln (2) = 0$

Étape 6.4

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 6.4.1

Soustrayez $2 \ln (2)$ des deux côtés de l’équation.

$- 2 \ln (3) - 7 x \ln (3) + 7 x \ln (2) = - 2 \ln (2)$

Étape 6.4.2

Ajoutez $2 \ln (3)$ aux deux côtés de l’équation.

$- 7 x \ln (3) + 7 x \ln (2) = - 2 \ln (2) + 2 \ln (3)$

Étape 6.5

Factorisez $7 x$ à partir de $- 7 x \ln (3) + 7 x \ln (2)$ .

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Étape 6.5.1

Factorisez $7 x$ à partir de $- 7 x \ln (3)$ .

$7 x (- 1 \ln (3)) + 7 x \ln (2) = - 2 \ln (2) + 2 \ln (3)$

Étape 6.5.2

Factorisez $7 x$ à partir de $7 x \ln (2)$ .

$7 x (- 1 \ln (3)) + 7 x \ln (2) = - 2 \ln (2) + 2 \ln (3)$

Étape 6.5.3

Factorisez $7 x$ à partir de $7 x (- 1 \ln (3)) + 7 x \ln (2)$ .

$7 x (- 1 \ln (3) + \ln (2)) = - 2 \ln (2) + 2 \ln (3)$

Étape 6.6

Réécrivez $- 1 \ln (3)$ comme $- \ln (3)$ .

$7 x (- \ln (3) + \ln (2)) = - 2 \ln (2) + 2 \ln (3)$

Étape 6.7

Divisez chaque terme dans $7 x (- \ln (3) + \ln (2)) = - 2 \ln (2) + 2 \ln (3)$ par $7 (- \ln (3) + \ln (2))$ et simplifiez.

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Étape 6.7.1

Divisez chaque terme dans $7 x (- \ln (3) + \ln (2)) = - 2 \ln (2) + 2 \ln (3)$ par $7 (- \ln (3) + \ln (2))$ .

$\frac{7 x (- \ln (3) + \ln (2))}{7 (- \ln (3) + \ln (2))} = \frac{- 2 \ln (2)}{7 (- \ln (3) + \ln (2))} + \frac{2 \ln (3)}{7 (- \ln (3) + \ln (2))}$

Étape 6.7.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.7.2.1

Annulez le facteur commun de $7$ .

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Étape 6.7.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{7 x (- \ln (3) + \ln (2))}{7 (- \ln (3) + \ln (2))} = \frac{- 2 \ln (2)}{7 (- \ln (3) + \ln (2))} + \frac{2 \ln (3)}{7 (- \ln (3) + \ln (2))}$

Étape 6.7.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x (- \ln (3) + \ln (2))}{- \ln (3) + \ln (2)} = \frac{- 2 \ln (2)}{7 (- \ln (3) + \ln (2))} + \frac{2 \ln (3)}{7 (- \ln (3) + \ln (2))}$

Étape 6.7.2.2

Annulez le facteur commun de $- \ln (3) + \ln (2)$ .

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Étape 6.7.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x (- \ln (3) + \ln (2))}{- \ln (3) + \ln (2)} = \frac{- 2 \ln (2)}{7 (- \ln (3) + \ln (2))} + \frac{2 \ln (3)}{7 (- \ln (3) + \ln (2))}$

Étape 6.7.2.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 2 \ln (2)}{7 (- \ln (3) + \ln (2))} + \frac{2 \ln (3)}{7 (- \ln (3) + \ln (2))}$

Étape 6.7.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.7.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{2 \ln (2)}{7 (- \ln (3) + \ln (2))} + \frac{2 \ln (3)}{7 (- \ln (3) + \ln (2))}$

Étape 7

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = - \frac{2 \ln (2)}{7 (- \ln (3) + \ln (2))} + \frac{2 \ln (3)}{7 (- \ln (3) + \ln (2))}$

Forme décimale :

$x = - 0.\overline{285714}$