Algèbre Exemples

${(x - 2)}^{4} - {(y + 3)}^{4}$

Étape 1

Réécrivez ${(x - 2)}^{4}$ comme ${({(x - 2)}^{2})}^{2}$ .

${({(x - 2)}^{2})}^{2} - {(y + 3)}^{4}$

Étape 2

Réécrivez ${(y + 3)}^{4}$ comme ${({(y + 3)}^{2})}^{2}$ .

${({(x - 2)}^{2})}^{2} - {({(y + 3)}^{2})}^{2}$

Étape 3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = {(x - 2)}^{2}$ et $b = {(y + 3)}^{2}$ .

$({(x - 2)}^{2} + {(y + 3)}^{2}) ({(x - 2)}^{2} - {(y + 3)}^{2})$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Réécrivez ${(x - 2)}^{2}$ comme $(x - 2) (x - 2)$ .

$((x - 2) (x - 2) + {(y + 3)}^{2}) ({(x - 2)}^{2} - {(y + 3)}^{2})$

Étape 4.2

Développez $(x - 2) (x - 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$(x (x - 2) - 2 (x - 2) + {(y + 3)}^{2}) ({(x - 2)}^{2} - {(y + 3)}^{2})$

Étape 4.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$(x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2) + {(y + 3)}^{2}) ({(x - 2)}^{2} - {(y + 3)}^{2})$

Étape 4.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$(x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2 + {(y + 3)}^{2}) ({(x - 2)}^{2} - {(y + 3)}^{2})$

Étape 4.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$(x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2 + {(y + 3)}^{2}) ({(x - 2)}^{2} - {(y + 3)}^{2})$

Étape 4.3.1.2

Déplacez $- 2$ à gauche de $x$ .

$(x^{2} - 2 x - 2 x - 2 \cdot - 2 + {(y + 3)}^{2}) ({(x - 2)}^{2} - {(y + 3)}^{2})$

Étape 4.3.1.3

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$(x^{2} - 2 x - 2 x + 4 + {(y + 3)}^{2}) ({(x - 2)}^{2} - {(y + 3)}^{2})$

Étape 4.3.2

Soustrayez $2 x$ de $- 2 x$ .

$(x^{2} - 4 x + 4 + {(y + 3)}^{2}) ({(x - 2)}^{2} - {(y + 3)}^{2})$

Étape 4.4

Réécrivez ${(y + 3)}^{2}$ comme $(y + 3) (y + 3)$ .

$(x^{2} - 4 x + 4 + (y + 3) (y + 3)) ({(x - 2)}^{2} - {(y + 3)}^{2})$

Étape 4.5

Développez $(y + 3) (y + 3)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$(x^{2} - 4 x + 4 + y (y + 3) + 3 (y + 3)) ({(x - 2)}^{2} - {(y + 3)}^{2})$

Étape 4.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$(x^{2} - 4 x + 4 + y \cdot y + y \cdot 3 + 3 (y + 3)) ({(x - 2)}^{2} - {(y + 3)}^{2})$

Étape 4.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$(x^{2} - 4 x + 4 + y \cdot y + y \cdot 3 + 3 y + 3 \cdot 3) ({(x - 2)}^{2} - {(y + 3)}^{2})$

Étape 4.6

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.6.1.1

Multipliez $y$ par $y$ .

$(x^{2} - 4 x + 4 + y^{2} + y \cdot 3 + 3 y + 3 \cdot 3) ({(x - 2)}^{2} - {(y + 3)}^{2})$

Étape 4.6.1.2

Déplacez $3$ à gauche de $y$ .

$(x^{2} - 4 x + 4 + y^{2} + 3 y + 3 y + 3 \cdot 3) ({(x - 2)}^{2} - {(y + 3)}^{2})$

Étape 4.6.1.3

Multipliez $3$ par $3$ .

$(x^{2} - 4 x + 4 + y^{2} + 3 y + 3 y + 9) ({(x - 2)}^{2} - {(y + 3)}^{2})$

Étape 4.6.2

Additionnez $3 y$ et $3 y$ .

$(x^{2} - 4 x + 4 + y^{2} + 6 y + 9) ({(x - 2)}^{2} - {(y + 3)}^{2})$

Étape 4.7

Additionnez $4$ et $9$ .

$(x^{2} - 4 x + y^{2} + 6 y + 13) ({(x - 2)}^{2} - {(y + 3)}^{2})$

Étape 4.8

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x - 2$ et $b = y + 3$ .

$(x^{2} - 4 x + y^{2} + 6 y + 13) ((x - 2 + y + 3) (x - 2 - (y + 3)))$

Étape 4.9

Factorisez.

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Étape 4.9.1

Simplifiez

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Étape 4.9.1.1

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(x^{2} - 4 x + y^{2} + 6 y + 13) ((x - 2 + y + 3) (x - 2 - (y + 3)))$

Étape 4.9.1.2

Additionnez $- 2$ et $3$ .

$(x^{2} - 4 x + y^{2} + 6 y + 13) ((x + y + 1) (x - 2 - (y + 3)))$

Étape 4.9.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$(x^{2} - 4 x + y^{2} + 6 y + 13) ((x + y + 1) (x - 2 - y - 1 \cdot 3))$

Étape 4.9.1.4

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$(x^{2} - 4 x + y^{2} + 6 y + 13) ((x + y + 1) (x - 2 - y - 3))$

Étape 4.9.1.5

Soustrayez $3$ de $- 2$ .

$(x^{2} - 4 x + y^{2} + 6 y + 13) ((x + y + 1) (x - y - 5))$

Étape 4.9.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(x^{2} - 4 x + y^{2} + 6 y + 13) (x + y + 1) (x - y - 5)$