Algèbre Exemples

$f (x) = x^{6} - 13 x^{4} - 52 x^{2} + 64$

Étape 1

Factorisez $x^{6} - 13 x^{4} - 52 x^{2} + 64$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 1.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 64, \pm 2, \pm 32, \pm 4, \pm 16, \pm 8$

$q = \pm 1$

Étape 1.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 64, \pm 2, \pm 32, \pm 4, \pm 16, \pm 8$

Étape 1.3

Remplacez $- 1$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $- 1$ est une racine du polynôme.

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Étape 1.3.1

Remplacez $- 1$ dans le polynôme.

${(- 1)}^{6} - 13 {(- 1)}^{4} - 52 {(- 1)}^{2} + 64$

Étape 1.3.2

Élevez $- 1$ à la puissance $6$ .

$1 - 13 {(- 1)}^{4} - 52 {(- 1)}^{2} + 64$

Étape 1.3.3

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$1 - 13 \cdot 1 - 52 {(- 1)}^{2} + 64$

Étape 1.3.4

Multipliez $- 13$ par $1$ .

$1 - 13 - 52 {(- 1)}^{2} + 64$

Étape 1.3.5

Soustrayez $13$ de $1$ .

$- 12 - 52 {(- 1)}^{2} + 64$

Étape 1.3.6

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$- 12 - 52 \cdot 1 + 64$

Étape 1.3.7

Multipliez $- 52$ par $1$ .

$- 12 - 52 + 64$

Étape 1.3.8

Soustrayez $52$ de $- 12$ .

$- 64 + 64$

Étape 1.3.9

Additionnez $- 64$ et $64$ .

$0$

Étape 1.4

Comme $- 1$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x + 1$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{x^{6} - 13 x^{4} - 52 x^{2} + 64}{x + 1}$

Étape 1.5

Divisez $x^{6} - 13 x^{4} - 52 x^{2} + 64$ par $x + 1$ .

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Étape 1.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$13 x^{4}$

$0 x^{3}$

$52 x^{2}$

$0 x$

$64$

Étape 1.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x^{6}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

$x^{5}$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$13 x^{4}$

$0 x^{3}$

$52 x^{2}$

$0 x$

$64$

Étape 1.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$x^{5}$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$13 x^{4}$

$0 x^{3}$

$52 x^{2}$

$0 x$

$64$

$x^{6}$

$x^{5}$

Étape 1.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x^{6} + x^{5}$

$x^{5}$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$13 x^{4}$

$0 x^{3}$

$52 x^{2}$

$0 x$

$64$

$x^{6}$

$x^{5}$

Étape 1.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$x^{5}$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$13 x^{4}$

$0 x^{3}$

$52 x^{2}$

$0 x$

$64$

$x^{6}$

$x^{5}$

Étape 1.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$x^{5}$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$13 x^{4}$

$0 x^{3}$

$52 x^{2}$

$0 x$

$64$

$x^{6}$

$x^{5}$

$13 x^{4}$

Étape 1.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- x^{5}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

$x^{5}$

$x^{4}$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$13 x^{4}$

$0 x^{3}$

$52 x^{2}$

$0 x$

$64$

$x^{6}$

$x^{5}$

$13 x^{4}$

Étape 1.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$x^{5}$

$x^{4}$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$13 x^{4}$

$0 x^{3}$

$52 x^{2}$

$0 x$

$64$

$x^{6}$

$x^{5}$

$13 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

Étape 1.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- x^{5} - x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$13 x^{4}$

$0 x^{3}$

$52 x^{2}$

$0 x$

$64$

$x^{6}$

$x^{5}$

$13 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

Étape 1.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$x^{5}$

$x^{4}$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$13 x^{4}$

$0 x^{3}$

$52 x^{2}$

$0 x$

$64$

$x^{6}$

$x^{5}$

$13 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$12 x^{4}$

Étape 1.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$x^{5}$

$x^{4}$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$13 x^{4}$

$0 x^{3}$

$52 x^{2}$

$0 x$

$64$

$x^{6}$

$x^{5}$

$13 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$12 x^{4}$

$0 x^{3}$

Étape 1.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 12 x^{4}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

$x^{5}$

$x^{4}$

$12 x^{3}$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$13 x^{4}$

$0 x^{3}$

$52 x^{2}$

$0 x$

$64$

$x^{6}$

$x^{5}$

$13 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$12 x^{4}$

$0 x^{3}$

Étape 1.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$x^{5}$

$x^{4}$

$12 x^{3}$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$13 x^{4}$

$0 x^{3}$

$52 x^{2}$

$0 x$

$64$

$x^{6}$

$x^{5}$

$13 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$12 x^{4}$

$0 x^{3}$

$12 x^{4}$

$12 x^{3}$

Étape 1.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 12 x^{4} - 12 x^{3}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$12 x^{3}$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$13 x^{4}$

$0 x^{3}$

$52 x^{2}$

$0 x$

$64$

$x^{6}$

$x^{5}$

$13 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$12 x^{4}$

$0 x^{3}$

$12 x^{4}$

$12 x^{3}$

Étape 1.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$x^{5}$

$x^{4}$

$12 x^{3}$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$13 x^{4}$

$0 x^{3}$

$52 x^{2}$

$0 x$

$64$

$x^{6}$

$x^{5}$

$13 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$12 x^{4}$

$0 x^{3}$

$12 x^{4}$

$12 x^{3}$

Étape 1.5.16

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$x^{5}$

$x^{4}$

$12 x^{3}$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$13 x^{4}$

$0 x^{3}$

$52 x^{2}$

$0 x$

$64$

$x^{6}$

$x^{5}$

$13 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$12 x^{4}$

$0 x^{3}$

$12 x^{4}$

$12 x^{3}$

$52 x^{2}$

Étape 1.5.17

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $12 x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

$x^{5}$

$x^{4}$

$12 x^{3}$

$12 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$13 x^{4}$

$0 x^{3}$

$52 x^{2}$

$0 x$

$64$

$x^{6}$

$x^{5}$

$13 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$12 x^{4}$

$0 x^{3}$

$12 x^{4}$

$12 x^{3}$

$52 x^{2}$

Étape 1.5.18

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$x^{5}$

$x^{4}$

$12 x^{3}$

$12 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$13 x^{4}$

$0 x^{3}$

$52 x^{2}$

$0 x$

$64$

$x^{6}$

$x^{5}$

$13 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$12 x^{4}$

$0 x^{3}$

$12 x^{4}$

$12 x^{3}$

$52 x^{2}$

$12 x^{3}$

$12 x^{2}$

Étape 1.5.19

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $12 x^{3} + 12 x^{2}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$12 x^{3}$

$12 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$13 x^{4}$

$0 x^{3}$

$52 x^{2}$

$0 x$

$64$

$x^{6}$

$x^{5}$

$13 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$12 x^{4}$

$0 x^{3}$

$12 x^{4}$

$12 x^{3}$

$52 x^{2}$

$12 x^{3}$

$12 x^{2}$

Étape 1.5.20

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$x^{5}$

$x^{4}$

$12 x^{3}$

$12 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$13 x^{4}$

$0 x^{3}$

$52 x^{2}$

$0 x$

$64$

$x^{6}$

$x^{5}$

$13 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$12 x^{4}$

$0 x^{3}$

$12 x^{4}$

$12 x^{3}$

$52 x^{2}$

$12 x^{3}$

$12 x^{2}$

$64 x^{2}$

Étape 1.5.21

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$x^{5}$

$x^{4}$

$12 x^{3}$

$12 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$13 x^{4}$

$0 x^{3}$

$52 x^{2}$

$0 x$

$64$

$x^{6}$

$x^{5}$

$13 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$12 x^{4}$

$0 x^{3}$

$12 x^{4}$

$12 x^{3}$

$52 x^{2}$

$12 x^{3}$

$12 x^{2}$

$64 x^{2}$

$0 x$

Étape 1.5.22

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 64 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

$x^{5}$

$x^{4}$

$12 x^{3}$

$12 x^{2}$

$64 x$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$13 x^{4}$

$0 x^{3}$

$52 x^{2}$

$0 x$

$64$

$x^{6}$

$x^{5}$

$13 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$12 x^{4}$

$0 x^{3}$

$12 x^{4}$

$12 x^{3}$

$52 x^{2}$

$12 x^{3}$

$12 x^{2}$

$64 x^{2}$

$0 x$

Étape 1.5.23

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$x^{5}$

$x^{4}$

$12 x^{3}$

$12 x^{2}$

$64 x$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$13 x^{4}$

$0 x^{3}$

$52 x^{2}$

$0 x$

$64$

$x^{6}$

$x^{5}$

$13 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$12 x^{4}$

$0 x^{3}$

$12 x^{4}$

$12 x^{3}$

$52 x^{2}$

$12 x^{3}$

$12 x^{2}$

$64 x^{2}$

$0 x$

$64 x^{2}$

$64 x$

Étape 1.5.24

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 64 x^{2} - 64 x$

$x^{5}$

$x^{4}$

$12 x^{3}$

$12 x^{2}$

$64 x$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$13 x^{4}$

$0 x^{3}$

$52 x^{2}$

$0 x$

$64$

$x^{6}$

$x^{5}$

$13 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$12 x^{4}$

$0 x^{3}$

$12 x^{4}$

$12 x^{3}$

$52 x^{2}$

$12 x^{3}$

$12 x^{2}$

$64 x^{2}$

$0 x$

$64 x^{2}$

$64 x$

Étape 1.5.25

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$x^{5}$

$x^{4}$

$12 x^{3}$

$12 x^{2}$

$64 x$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$13 x^{4}$

$0 x^{3}$

$52 x^{2}$

$0 x$

$64$

$x^{6}$

$x^{5}$

$13 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$12 x^{4}$

$0 x^{3}$

$12 x^{4}$

$12 x^{3}$

$52 x^{2}$

$12 x^{3}$

$12 x^{2}$

$64 x^{2}$

$0 x$

$64 x^{2}$

$64 x$

Étape 1.5.26

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$x^{5}$

$x^{4}$

$12 x^{3}$

$12 x^{2}$

$64 x$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$13 x^{4}$

$0 x^{3}$

$52 x^{2}$

$0 x$

$64$

$x^{6}$

$x^{5}$

$13 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$12 x^{4}$

$0 x^{3}$

$12 x^{4}$

$12 x^{3}$

$52 x^{2}$

$12 x^{3}$

$12 x^{2}$

$64 x^{2}$

$0 x$

$64 x^{2}$

$64 x$

$64$

Étape 1.5.27

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $64 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

$x^{5}$

$x^{4}$

$12 x^{3}$

$12 x^{2}$

$64 x$

$64$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$13 x^{4}$

$0 x^{3}$

$52 x^{2}$

$0 x$

$64$

$x^{6}$

$x^{5}$

$13 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$12 x^{4}$

$0 x^{3}$

$12 x^{4}$

$12 x^{3}$

$52 x^{2}$

$12 x^{3}$

$12 x^{2}$

$64 x^{2}$

$0 x$

$64 x^{2}$

$64 x$

$64$

Étape 1.5.28

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$x^{5}$

$x^{4}$

$12 x^{3}$

$12 x^{2}$

$64 x$

$64$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$13 x^{4}$

$0 x^{3}$

$52 x^{2}$

$0 x$

$64$

$x^{6}$

$x^{5}$

$13 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$12 x^{4}$

$0 x^{3}$

$12 x^{4}$

$12 x^{3}$

$52 x^{2}$

$12 x^{3}$

$12 x^{2}$

$64 x^{2}$

$0 x$

$64 x^{2}$

$64 x$

$64$

$64 x$

$64$

Étape 1.5.29

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $64 x + 64$

$x^{5}$

$x^{4}$

$12 x^{3}$

$12 x^{2}$

$64 x$

$64$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$13 x^{4}$

$0 x^{3}$

$52 x^{2}$

$0 x$

$64$

$x^{6}$

$x^{5}$

$13 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$12 x^{4}$

$0 x^{3}$

$12 x^{4}$

$12 x^{3}$

$52 x^{2}$

$12 x^{3}$

$12 x^{2}$

$64 x^{2}$

$0 x$

$64 x^{2}$

$64 x$

$64$

$64 x$

$64$

Étape 1.5.30

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$x^{5}$

$x^{4}$

$12 x^{3}$

$12 x^{2}$

$64 x$

$64$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$13 x^{4}$

$0 x^{3}$

$52 x^{2}$

$0 x$

$64$

$x^{6}$

$x^{5}$

$13 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$12 x^{4}$

$0 x^{3}$

$12 x^{4}$

$12 x^{3}$

$52 x^{2}$

$12 x^{3}$

$12 x^{2}$

$64 x^{2}$

$0 x$

$64 x^{2}$

$64 x$

$64$

$64 x$

$64$

$0$

Étape 1.5.31

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$x^{5} - x^{4} - 12 x^{3} + 12 x^{2} - 64 x + 64$

Étape 1.6

Écrivez $x^{6} - 13 x^{4} - 52 x^{2} + 64$ comme un ensemble de facteurs.

$f (x) = (x + 1) (x^{5} - x^{4} - 12 x^{3} + 12 x^{2} - 64 x + 64)$

Étape 2

Factorisez $x^{3}$ à partir de $x^{5} - x^{4} - 12 x^{3}$ .

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Étape 2.1

Factorisez $x^{3}$ à partir de $x^{5}$ .

$f (x) = (x + 1) (x^{3} x^{2} - x^{4} - 12 x^{3} + 12 x^{2} - 64 x + 64)$

Étape 2.2

Factorisez $x^{3}$ à partir de $- x^{4}$ .

$f (x) = (x + 1) (x^{3} x^{2} + x^{3} (- x) - 12 x^{3} + 12 x^{2} - 64 x + 64)$

Étape 2.3

Factorisez $x^{3}$ à partir de $- 12 x^{3}$ .

$f (x) = (x + 1) (x^{3} x^{2} + x^{3} (- x) + x^{3} \cdot - 12 + 12 x^{2} - 64 x + 64)$

Étape 2.4

Factorisez $x^{3}$ à partir de $x^{3} x^{2} + x^{3} (- x)$ .

$f (x) = (x + 1) (x^{3} (x^{2} - x) + x^{3} \cdot - 12 + 12 x^{2} - 64 x + 64)$

Étape 2.5

Factorisez $x^{3}$ à partir de $x^{3} (x^{2} - x) + x^{3} \cdot - 12$ .

$f (x) = (x + 1) (x^{3} (x^{2} - x - 12) + 12 x^{2} - 64 x + 64)$

Étape 3

Factorisez.

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Étape 3.1

Factorisez $x^{2} - x - 12$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 3.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 12$ et dont la somme est $- 1$ .

$- 4, 3$

Étape 3.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$f (x) = (x + 1) (x^{3} ((x - 4) (x + 3)) + 12 x^{2} - 64 x + 64)$

Étape 3.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$f (x) = (x + 1) (x^{3} (x - 4) (x + 3) + 12 x^{2} - 64 x + 64)$

Étape 4

Factorisez $4$ à partir de $12 x^{2} - 64 x + 64$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Factorisez $4$ à partir de $12 x^{2}$ .

$f (x) = (x + 1) (x^{3} (x - 4) (x + 3) + 4 (3 x^{2}) - 64 x + 64)$

Étape 4.2

Factorisez $4$ à partir de $- 64 x$ .

$f (x) = (x + 1) (x^{3} (x - 4) (x + 3) + 4 (3 x^{2}) + 4 (- 16 x) + 64)$

Étape 4.3

Factorisez $4$ à partir de $64$ .

$f (x) = (x + 1) (x^{3} (x - 4) (x + 3) + 4 (3 x^{2}) + 4 (- 16 x) + 4 (16))$

Étape 4.4

Factorisez $4$ à partir de $4 (3 x^{2}) + 4 (- 16 x)$ .

$f (x) = (x + 1) (x^{3} (x - 4) (x + 3) + 4 (3 x^{2} - 16 x) + 4 (16))$

Étape 4.5

Factorisez $4$ à partir de $4 (3 x^{2} - 16 x) + 4 (16)$ .

$f (x) = (x + 1) (x^{3} (x - 4) (x + 3) + 4 (3 x^{2} - 16 x + 16))$

Étape 5

Factorisez.

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Étape 5.1

Factorisez par regroupement.

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Étape 5.1.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 3 \cdot 16 = 48$ et dont la somme est $b = - 16$ .

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Étape 5.1.1.1

Factorisez $- 16$ à partir de $- 16 x$ .

$f (x) = (x + 1) (x^{3} (x - 4) (x + 3) + 4 (3 x^{2} - 16 x + 16))$

Étape 5.1.1.2

Réécrivez $- 16$ comme $- 4$ plus $- 12$

$f (x) = (x + 1) (x^{3} (x - 4) (x + 3) + 4 (3 x^{2} + (- 4 - 12) x + 16))$

Étape 5.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$f (x) = (x + 1) (x^{3} (x - 4) (x + 3) + 4 (3 x^{2} - 4 x - 12 x + 16))$

Étape 5.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 5.1.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$f (x) = (x + 1) (x^{3} (x - 4) (x + 3) + 4 ((3 x^{2} - 4 x) - 12 x + 16))$

Étape 5.1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$f (x) = (x + 1) (x^{3} (x - 4) (x + 3) + 4 (x (3 x - 4) - 4 (3 x - 4)))$

Étape 5.1.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $3 x - 4$ .

$f (x) = (x + 1) (x^{3} (x - 4) (x + 3) + 4 ((3 x - 4) (x - 4)))$

Étape 5.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$f (x) = (x + 1) (x^{3} (x - 4) (x + 3) + 4 (3 x - 4) (x - 4))$

Étape 6

Factorisez $x - 4$ à partir de $x^{3} (x - 4) (x + 3) + 4 (3 x - 4) (x - 4)$ .

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Étape 6.1

Factorisez $x - 4$ à partir de $x^{3} (x - 4) (x + 3)$ .

$f (x) = (x + 1) ((x - 4) (x^{3} (x + 3)) + 4 (3 x - 4) (x - 4))$

Étape 6.2

Factorisez $x - 4$ à partir de $4 (3 x - 4) (x - 4)$ .

$f (x) = (x + 1) ((x - 4) (x^{3} (x + 3)) + (x - 4) (4 (3 x - 4)))$

Étape 6.3

Factorisez $x - 4$ à partir de $(x - 4) (x^{3} (x + 3)) + (x - 4) (4 (3 x - 4))$ .

$f (x) = (x + 1) ((x - 4) (x^{3} (x + 3) + 4 (3 x - 4)))$

Étape 7

Appliquez la propriété distributive.

$f (x) = (x + 1) ((x - 4) (x^{3} x + x^{3} \cdot 3 + 4 (3 x - 4)))$

Étape 8

Multipliez $x^{3}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 8.1

Multipliez $x^{3}$ par $x$ .

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Étape 8.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f (x) = (x + 1) ((x - 4) (x^{3} x + x^{3} \cdot 3 + 4 (3 x - 4)))$

Étape 8.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (x) = (x + 1) ((x - 4) (x^{3 + 1} + x^{3} \cdot 3 + 4 (3 x - 4)))$

Étape 8.2

Additionnez $3$ et $1$ .

$f (x) = (x + 1) ((x - 4) (x^{4} + x^{3} \cdot 3 + 4 (3 x - 4)))$

Étape 9

Déplacez $3$ à gauche de $x^{3}$ .

$f (x) = (x + 1) ((x - 4) (x^{4} + 3 x^{3} + 4 (3 x - 4)))$

Étape 10

Appliquez la propriété distributive.

$f (x) = (x + 1) ((x - 4) (x^{4} + 3 x^{3} + 4 (3 x) + 4 \cdot - 4))$

Étape 11

Multipliez $3$ par $4$ .

$f (x) = (x + 1) ((x - 4) (x^{4} + 3 x^{3} + 12 x + 4 \cdot - 4))$

Étape 12

Multipliez $4$ par $- 4$ .

$f (x) = (x + 1) ((x - 4) (x^{4} + 3 x^{3} + 12 x - 16))$

Étape 13

Factorisez.

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Étape 13.1

Factorisez.

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Étape 13.1.1

Réécrivez $x^{4} + 3 x^{3} + 12 x - 16$ en forme factorisée.

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Étape 13.1.1.1

Regroupez les termes.

$f (x) = (x + 1) ((x - 4) (x^{4} - 16 + 3 x^{3} + 12 x))$

Étape 13.1.1.2

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

$f (x) = (x + 1) ((x - 4) ({(x^{2})}^{2} - 16 + 3 x^{3} + 12 x))$

Étape 13.1.1.3

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$f (x) = (x + 1) ((x - 4) ({(x^{2})}^{2} - 4^{2} + 3 x^{3} + 12 x))$

Étape 13.1.1.4

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x^{2}$ et $b = 4$ .

$f (x) = (x + 1) ((x - 4) ((x^{2} + 4) (x^{2} - 4) + 3 x^{3} + 12 x))$

Étape 13.1.1.5

Simplifiez

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Étape 13.1.1.5.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$f (x) = (x + 1) ((x - 4) ((x^{2} + 4) (x^{2} - 2^{2}) + 3 x^{3} + 12 x))$

Étape 13.1.1.5.2

Factorisez.

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Étape 13.1.1.5.2.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 2$ .

$f (x) = (x + 1) ((x - 4) ((x^{2} + 4) ((x + 2) (x - 2)) + 3 x^{3} + 12 x))$

Étape 13.1.1.5.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$f (x) = (x + 1) ((x - 4) ((x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) + 3 x^{3} + 12 x))$

Étape 13.1.1.6

Factorisez $3 x$ à partir de $3 x^{3} + 12 x$ .

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Étape 13.1.1.6.1

Factorisez $3 x$ à partir de $3 x^{3}$ .

$f (x) = (x + 1) ((x - 4) ((x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) + 3 x (x^{2}) + 12 x))$

Étape 13.1.1.6.2

Factorisez $3 x$ à partir de $12 x$ .

$f (x) = (x + 1) ((x - 4) ((x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) + 3 x (x^{2}) + 3 x (4)))$

Étape 13.1.1.6.3

Factorisez $3 x$ à partir de $3 x (x^{2}) + 3 x (4)$ .

$f (x) = (x + 1) ((x - 4) ((x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) + 3 x (x^{2} + 4)))$

Étape 13.1.1.7

Factorisez $x^{2} + 4$ à partir de $(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) + 3 x (x^{2} + 4)$ .

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Étape 13.1.1.7.1

Factorisez $x^{2} + 4$ à partir de $(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)$ .

$f (x) = (x + 1) ((x - 4) ((x^{2} + 4) ((x + 2) (x - 2)) + 3 x (x^{2} + 4)))$

Étape 13.1.1.7.2

Factorisez $x^{2} + 4$ à partir de $3 x (x^{2} + 4)$ .

$f (x) = (x + 1) ((x - 4) ((x^{2} + 4) ((x + 2) (x - 2)) + (x^{2} + 4) (3 x)))$

Étape 13.1.1.7.3

Factorisez $x^{2} + 4$ à partir de $(x^{2} + 4) ((x + 2) (x - 2)) + (x^{2} + 4) (3 x)$ .

$f (x) = (x + 1) ((x - 4) ((x^{2} + 4) ((x + 2) (x - 2) + 3 x)))$

Étape 13.1.1.8

Développez $(x + 2) (x - 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 13.1.1.8.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (x) = (x + 1) ((x - 4) ((x^{2} + 4) (x (x - 2) + 2 (x - 2) + 3 x)))$

Étape 13.1.1.8.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (x) = (x + 1) ((x - 4) ((x^{2} + 4) (x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 (x - 2) + 3 x)))$

Étape 13.1.1.8.3

Appliquez la propriété distributive.

$f (x) = (x + 1) ((x - 4) ((x^{2} + 4) (x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2 + 3 x)))$

Étape 13.1.1.9

Associez les termes opposés dans $x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2$ .

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Étape 13.1.1.9.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $x \cdot - 2$ et $2 x$ .

$f (x) = (x + 1) ((x - 4) ((x^{2} + 4) (x \cdot x - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2 + 3 x)))$

Étape 13.1.1.9.2

Additionnez $- 2 x$ et $2 x$ .

$f (x) = (x + 1) ((x - 4) ((x^{2} + 4) (x \cdot x + 0 + 2 \cdot - 2 + 3 x)))$

Étape 13.1.1.9.3

Additionnez $x \cdot x$ et $0$ .

$f (x) = (x + 1) ((x - 4) ((x^{2} + 4) (x \cdot x + 2 \cdot - 2 + 3 x)))$

Étape 13.1.1.10

Simplifiez chaque terme.

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Étape 13.1.1.10.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$f (x) = (x + 1) ((x - 4) ((x^{2} + 4) (x^{2} + 2 \cdot - 2 + 3 x)))$

Étape 13.1.1.10.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$f (x) = (x + 1) ((x - 4) ((x^{2} + 4) (x^{2} - 4 + 3 x)))$

Étape 13.1.1.11

Remettez les termes dans l’ordre.

$f (x) = (x + 1) ((x - 4) ((x^{2} + 4) (x^{2} + 3 x - 4)))$

Étape 13.1.1.12

Factorisez.

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Étape 13.1.1.12.1

Factorisez $x^{2} + 3 x - 4$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 13.1.1.12.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 4$ et dont la somme est $3$ .

$- 1, 4$

Étape 13.1.1.12.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$f (x) = (x + 1) ((x - 4) ((x^{2} + 4) ((x - 1) (x + 4))))$

Étape 13.1.1.12.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$f (x) = (x + 1) ((x - 4) ((x^{2} + 4) (x - 1) (x + 4)))$

Étape 13.1.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$f (x) = (x + 1) ((x - 4) (x^{2} + 4) (x - 1) (x + 4))$

Étape 13.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$f (x) = (x + 1) (x - 4) (x^{2} + 4) (x - 1) (x + 4)$