Algèbre Exemples

$f (x) = 4^{x}$ et $g (x) = \log_{4} (x)$

Étape 1

Les fonctions exponentielles ont une asymptote horizontale. L’équation de l’asymptote horizontale est $y = 0$ .

Asymptote horizontale : $y = 0$

Étape 2

Tracer $g (x) = \log_{4} (x)$ .

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Étape 2.1

Déterminez les asymptotes.

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Étape 2.1.1

Définissez l’argument du logarithme égal à zéro.

$x = 0$

Étape 2.1.2

L’asymptote verticale se produit sur $x = 0$ .

Asymptote verticale : $x = 0$

Étape 2.2

Déterminez le point sur $x = 1$ .

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Étape 2.2.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f (1) = \log_{4} (1)$

Étape 2.2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.2.2.1

La base logarithmique $4$ de $1$ est $0$ .

$f (1) = 0$

Étape 2.2.2.2

La réponse finale est $0$ .

$0$

Étape 2.2.3

Convertissez $0$ en décimale.

$y = 0$

Étape 2.3

Déterminez le point sur $x = 4$ .

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Étape 2.3.1

Remplacez la variable $x$ par $4$ dans l’expression.

$f (4) = \log_{4} (4)$

Étape 2.3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.3.2.1

La base logarithmique $4$ de $4$ est $1$ .

$f (4) = 1$

Étape 2.3.2.2

La réponse finale est $1$ .

$1$

Étape 2.3.3

Convertissez $1$ en décimale.

$y = 1$

Étape 2.4

Déterminez le point sur $x = 2$ .

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Étape 2.4.1

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$f (2) = \log_{4} (2)$

Étape 2.4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.4.2.1

La base logarithmique $4$ de $2$ est $\frac{1}{2}$ .

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Étape 2.4.2.1.1

Réécrivez comme une équation.

$\log_{4} (2) = x$

Étape 2.4.2.1.2

Réécrivez $\log_{4} (2) = x$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b$ n’est pas égal à $1$ , $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$4^{x} = 2$

Étape 2.4.2.1.3

Créez dans l’équation des expressions qui ont toutes des bases égales.

${(2^{2})}^{x} = 2^{1}$

Étape 2.4.2.1.4

Réécrivez ${(2^{2})}^{x}$ comme $2^{2 x}$ .

$2^{2 x} = 2^{1}$

Étape 2.4.2.1.5

Les bases étant les mêmes, deux expressions ne sont égales que si les exposants sont également égaux.

$2 x = 1$

Étape 2.4.2.1.6

Résolvez $x$ .

$x = \frac{1}{2}$

Étape 2.4.2.1.7

La variable $x$ est égale à $\frac{1}{2}$ .

$f (2) = \frac{1}{2}$

Étape 2.4.2.2

La réponse finale est $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2}$

Étape 2.4.3

Convertissez $\frac{1}{2}$ en décimale.

$y = 0.5$

Étape 2.5

La fonction logarithme peut être représentée graphiquement en utilisant l’asymptote verticale sur $x = 0$ et les points $(1, 0), (4, 1), (2, 0.5)$ .

Asymptote verticale : $x = 0$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 0 \\ 2 & 0.5 \\ 4 & 1 \end{array}$

Asymptote verticale : $x = 0$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 0 \\ 2 & 0.5 \\ 4 & 1 \end{array}$

Étape 3

Représentez chaque graphe sur le même système de coordonnées.

$f (x) = 4^{x}$

$g (x) = \log_{4} (x)$

Étape 4