Algèbre Exemples

$\frac{3 x^{2}}{x^{2} + x + 1} - \frac{x^{3}}{x^{3} - 1} - \frac{2 x}{x - 1}$

Étape 1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.1

Réécrivez $1$ comme $1^{3}$ .

$\frac{3 x^{2}}{x^{2} + x + 1} - \frac{x^{3}}{x^{3} - 1^{3}} - \frac{2 x}{x - 1}$

Étape 1.2

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des cubes, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$\frac{3 x^{2}}{x^{2} + x + 1} - \frac{x^{3}}{(x - 1) (x^{2} + x \cdot 1 + 1^{2})} - \frac{2 x}{x - 1}$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{3 x^{2}}{x^{2} + x + 1} - \frac{x^{3}}{(x - 1) (x^{2} + x + 1^{2})} - \frac{2 x}{x - 1}$

Étape 1.3.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{3 x^{2}}{x^{2} + x + 1} - \frac{x^{3}}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{2 x}{x - 1}$

Étape 2

Pour écrire $\frac{3 x^{2}}{x^{2} + x + 1}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{3 x^{2}}{x^{2} + x + 1} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} - \frac{x^{3}}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{2 x}{x - 1}$

Étape 3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(x^{2} + x + 1) (x - 1)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 3.1

Multipliez $\frac{3 x^{2}}{x^{2} + x + 1}$ par $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{3 x^{2} (x - 1)}{(x^{2} + x + 1) (x - 1)} - \frac{x^{3}}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{2 x}{x - 1}$

Étape 3.2

Réorganisez les facteurs de $(x^{2} + x + 1) (x - 1)$ .

$\frac{3 x^{2} (x - 1)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{x^{3}}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{2 x}{x - 1}$

Étape 4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{3 x^{2} (x - 1) - x^{3}}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{2 x}{x - 1}$

Étape 5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $3 x^{2} (x - 1) - x^{3}$ .

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Étape 5.1.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $3 x^{2} (x - 1)$ .

$\frac{x^{2} (3 (x - 1)) - x^{3}}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{2 x}{x - 1}$

Étape 5.1.2

Factorisez $x^{2}$ à partir de $- x^{3}$ .

$\frac{x^{2} (3 (x - 1)) + x^{2} (- x)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{2 x}{x - 1}$

Étape 5.1.3

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{2} (3 (x - 1)) + x^{2} (- x)$ .

$\frac{x^{2} (3 (x - 1) - x)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{2 x}{x - 1}$

Étape 5.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} (3 x + 3 \cdot - 1 - x)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{2 x}{x - 1}$

Étape 5.3

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{x^{2} (3 x - 3 - x)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{2 x}{x - 1}$

Étape 5.4

Soustrayez $x$ de $3 x$ .

$\frac{x^{2} (2 x - 3)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{2 x}{x - 1}$

Étape 6

Pour écrire $- \frac{2 x}{x - 1}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x^{2} + x + 1}{x^{2} + x + 1}$ .

$\frac{x^{2} (2 x - 3)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{2 x}{x - 1} \cdot \frac{x^{2} + x + 1}{x^{2} + x + 1}$

Étape 7

Simplifiez les termes.

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Étape 7.1

Multipliez $\frac{2 x}{x - 1}$ par $\frac{x^{2} + x + 1}{x^{2} + x + 1}$ .

$\frac{x^{2} (2 x - 3)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{2 x (x^{2} + x + 1)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

Étape 7.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x^{2} (2 x - 3) - 2 x (x^{2} + x + 1)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

Étape 8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} (2 x - 3) - 2 x (x^{2} + x + 1)$ .

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Étape 8.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} (2 x - 3)$ .

$\frac{x (x (2 x - 3)) - 2 x (x^{2} + x + 1)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

Étape 8.1.2

Factorisez $x$ à partir de $- 2 x (x^{2} + x + 1)$ .

$\frac{x (x (2 x - 3)) + x (- 2 (x^{2} + x + 1))}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

Étape 8.1.3

Factorisez $x$ à partir de $x (x (2 x - 3)) + x (- 2 (x^{2} + x + 1))$ .

$\frac{x (x (2 x - 3) - 2 (x^{2} + x + 1))}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

Étape 8.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x (x (2 x) + x \cdot - 3 - 2 (x^{2} + x + 1))}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

Étape 8.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{x (2 x \cdot x + x \cdot - 3 - 2 (x^{2} + x + 1))}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

Étape 8.4

Déplacez $- 3$ à gauche de $x$ .

$\frac{x (2 x \cdot x - 3 \cdot x - 2 (x^{2} + x + 1))}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

Étape 8.5

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 8.5.1

Déplacez $x$ .

$\frac{x (2 (x \cdot x) - 3 \cdot x - 2 (x^{2} + x + 1))}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

Étape 8.5.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{x (2 x^{2} - 3 \cdot x - 2 (x^{2} + x + 1))}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

$\frac{x (2 x^{2} - 3 x - 2 (x^{2} + x + 1))}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

Étape 8.6

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x (2 x^{2} - 3 x - 2 x^{2} - 2 x - 2 \cdot 1)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

Étape 8.7

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$\frac{x (2 x^{2} - 3 x - 2 x^{2} - 2 x - 2)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

Étape 8.8

Soustrayez $2 x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{x (- 3 x + 0 - 2 x - 2)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

Étape 8.9

Additionnez $- 3 x$ et $0$ .

$\frac{x (- 3 x - 2 x - 2)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

Étape 8.10

Soustrayez $2 x$ de $- 3 x$ .

$\frac{x (- 5 x - 2)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

Étape 9

Simplifiez en factorisant.

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Étape 9.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- 5 x$ .

$\frac{x (- (5 x) - 2)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

Étape 9.2

Réécrivez $- 2$ comme $- 1 (2)$ .

$\frac{x (- (5 x) - 1 (2))}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

Étape 9.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (5 x) - 1 (2)$ .

$\frac{x (- (5 x + 2))}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

Étape 9.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 9.4.1

Réécrivez $- (5 x + 2)$ comme $- 1 (5 x + 2)$ .

$\frac{x (- 1 (5 x + 2))}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

Étape 9.4.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{x (5 x + 2)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$